放缩法技巧全总结【精选文档】

1、放缩法技巧全总结【精选文档】 放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1。（1）求的值； （2)求证:。解析：（1）因为，所以 （2）因为,所以奇巧积累：（1） (2) （3） （4） （5) （6) （7) （8） （9） （10) （11) (11） （12） （13） （14） (15) (15）

2、 例2.（1)求证:（2）求证： （3）求证：（4) 求证：解析:(1）因为,所以 （2） (3）先运用分式放缩法证明出，再结合进行裂项，最后就可以得到答案 （4）首先，所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3。求证:解析： 一方面： 因为，所以 另一方面: 当时，当时，,当时，所以综上有例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足。.设，整数.证明：。解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列， 故 若存在正整数， 使， 则,若,则由知,，因为，于是例5。已知,求证： 。 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证： 故只要证,即等价于，即等价于 而正是成立的,所以原命题成

3、立.例6。已知，求证:。解析：所以 从而例7。已知,，求证:证明: ，因为 ，所以 所以二、函数放缩 例8。求证：。 解析:先构造函数有,从而所以 例9。求证：(1)解析：构造函数,得到,再进行裂项，求和后可以得到答案 函数构造形式： ,例10。求证：解析:提示：函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数，首先：，从而，取有,所以有，,，,相加后可以得到： 另一方面,从而有取有，,所以有，所以综上有例11。求证：和。解析：构造函数后即可证明例12.求证： 解析:，叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:（加强命题）例13。证明: 解析：构造函数,求导，可以得到: ，令有，令有，

4、 所以，所以，令有, 所以，所以例14. 已知证明解析： ，然后两边取自然对数，可以得到然后运用和裂项可以得到答案）放缩思路:。于是, 即注：题目所给条件(）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然,本题还可用结论来放缩: ，即例16。(2008年福州市质检）已知函数若 解析:设函数 函数）上单调递增，在上单调递减。的最小值为，即总有而即令则 例15.（2008年厦门市质检） 已知函数是在上处处可导的函数，若在上恒成立. （I)求证：函数上是增函数; (II）当； （III)已知不等式时恒成立,求证：解析:(I），所以函数上是增函数 (II）因为上是增函数，所以 两式相加后可以

5、得到 （3） 相加后可以得到： 所以令,有 所以（方法二） 所以 又，所以三、分式放缩 姐妹不等式：和 记忆口诀"小者小，大者大”，解释：看b,若b小，则不等号是小于号，反之.例19。 姐妹不等式：和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即例20。证明:解析: 运用两次次分式放缩： (加1） （加2) 相乘，可以得到： 所以有四、分类放缩 例21。求证：解析： 例22。 在平面直角坐标系中， 轴正半轴上的点列与曲线（0）上的点列满足,直线在x轴上的截距为.点的横坐标为，。（1）证明>4，； (2）证明有，使得对都有<。 解析：(1） 依题设有:,由得: ,又直

6、线在轴上的截距为满足 显然,对于,有 （2）证明：设,则 设，则当时，。所以,取,对都有：故有成立。例23.已知函数，若的定义域为1，0,值域也为1，0。若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析：首先求出，,，故当时，因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时，必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立。例24. 设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为。设， 当时，求证：。 解析：容易得到，所以，要证只要证，因为,所以原命题得证五、迭代放缩例25. 已知，求证：当时， 解析:通过迭代的方法得到，然后相加就可以得到结论

7、例26。 设,求证：对任意的正整数k,若kn恒有：Sn+kSn|< 解析： 又 所以六、借助数列递推关系例27。求证： 解析： 设则，从而，相加后就可以得到所以例28。 求证: 解析： 设则，从而,相加后就可以得到例29。 若，求证： 解析： 所以就有七、分类讨论例30。已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有 解析:容易得到, 由于通项中含有,很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 （减项放缩），于是 当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。八、线性规划型放缩 例31. 设函数。若对一切，求的最大值。 解析:由知 即 由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为因此对一切，

8、的充要条件是, 即,满足约束条件,由线性规划得，的最大值为5九、均值不等式放缩 例32。设求证 解析: 此数列的通项为，即注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用.例33.已知函数，若,且在0,1上的最小值为,求证：解析： 例34。已知为正数，且，试证:对每一个，.解析： 由得，又，故,而,令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=,所以，即对每一个,。例35.求证解析： 不等式左=，原结论成立。例36。已知,求证: 解析： 经过倒序相乘,就可以得到例3

9、7。已知，求证： 解析： 其中:,因为 所以 从而,所以.例38。若，求证：.解析:因为当时,，所以,所以,当且仅当时取到等号. 所以 所以所以例39。已知,求证：。 解析：.例40。已知函数f（x)=x2（1)k·2lnx（kN*）。k是奇数, nN时,求证： f(x)n2n1·f(xn）2n（2n2）. 解析: 由已知得，(1）当n=1时，左式=右式=0。不等式成立。(2)， 左式= 令 由倒序相加法得： , 所以 所以综上，当k是奇数，时，命题成立例41.已知函数(1）求函数的最小值,并求最小值小于0时的取值范围； (2)令求证: 例42。 (2008年江西高考试题）

10、已知函数，.对任意正数，证明:解析:对任意给定的,，由，若令 ，则 ，而 （一）、先证;因为，,又由 ，得 所以（二)、再证；由、式中关于的对称性，不妨设则（）、当,则，所以，因为 ，此时 （）、当，由得 ,，因为 所以 同理得 ,于是 今证明 , 因为 ,只要证 ，即 ,也即 ，据，此为显然 因此得证故由得 综上所述,对任何正数，皆有例43。求证：解析：一方面：（法二） 另一方面：十、二项放缩 , 例44. 已知证明解析： ，即45。 已知是正整数，且（1）证明;（2)证明 简析 对第(2)问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减,且故即。当然,本题每小题的证明方法都

11、有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文1。例46.已知a+b=1，a0,b0，求证:解析: 因为a+b=1，a>0，b>0，可认为成等差数列，设,从而47。设,求证。解析： 观察的结构，注意到，展开得，即，得证。例48.求证：. 解析：参见上面的方法，希望读者自己尝试！)例42。（2008年北京海淀5月练习） 已知函数，满足：对任意,都有;对任意都有。（I)试证明：为上的单调增函数；（II)求；（III)令，试证明:. 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题。 (1)运用抽象函数的性质

12、判断单调性： 因为，所以可以得到， 也就是,不妨设,所以，可以得到，也就是说为上的单调增函数. （2）此问的难度较大，要完全解决出来需要一定的能力！ 首先我们发现条件不是很足，,尝试探索看看按（1)中的不等式可以不可以得到什么结论，一发现就有思路了! 由(1）可知，令,则可以得到，又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到 接下来要运用迭代的思想: 因为，所以，, ,， 在此比较有技巧的方法就是： ,所以可以判断 当然，在这里可能不容易一下子发现这个结论，所以还可以列项的方法，把所有项数尽可能地列出来，然后就可以得到结论。 所以,综合有= （3）在解决的通项公式时也会遇到困难。 ，所以数列的方

13、程为,从而， 一方面,另一方面 所以,所以，综上有.例49。 已知函数f(x)的定义域为0，1，且满足下列条件： 对于任意0，1，总有，且； 若则有(）求f(0)的值；（)求证：f(x)4;（）当时，试证明:。解析： （）解:令，由对于任意0，1，总有, 又由得即 (）解：任取且设 则 因为，所以,即 。 当0,1时，。 （)证明：先用数学归纳法证明：（1） 当n=1时，不等式成立；（2） 假设当n=k时,由 得即当n=k+1时，不等式成立由(1）、（2）可知,不等式对一切正整数都成立.于是,当时，而0，1，单调递增 所以， 例50。 已知： 求证：解析：构造对偶式：令 则又 （十一、积分放缩

14、利用定积分的保号性比大小，保号性是指,定义在上的可积函数，则.例51。求证:. 解析： ，, 时，,，,。利用定积分估计和式的上下界:定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.例52。 求证：，。 解析： 考虑函数在区间上的定积分。如图,显然-对求和，.例53。 已知。求证：。解析：考虑函数在区间上的定积分。-.例54。设，如图，已知直线及曲线：,上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴,交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列。（）试求与的关系，并求的通项公式； (）当时，证明; （）当时,证明。解析：（过程略)。证明（II）

15、：由知，。当时，。证明（）：由知。恰表示阴影部分面积，显然 。奇巧积累： 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如：； ；.十二、部分放缩（尾式放缩) 例55。求证: 解析: 例56。 设求证：解析： 又(只将其中一个变成，进行部分放缩）,，于是例57。设数列满足，当时证明对所有 有;解析： 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时,成立. 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例58.求证：. 解析：（i)当时， （ii）当时，构造单位圆，如图所示: 因

16、为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 (iii）当时, ,由（ii）可知: 所以综上有十四、使用加强命题法证明不等式 (i）同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧，也可以是右侧）进行加强。如要证明,只要证明，其中通过寻找分析,归纳完成.例59.求证:对一切,都有.解析： 从而 当然本题还可以使用其他方法，如: 所以. （ii）异侧加强(数学归纳法） （iii）双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时，不妨"返璞归真”，通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式。其基本原理为: 欲证明,只要证明:.例60。已知数列满足：

17、,求证： 解析： ，从而,所以有 ,所以 又,所以，所以有 所以 所以综上有引申:已知数列满足:,求证： 。解析：由上可知，又，所以 从而 又当时，,所以综上有。同题引申： （2008年浙江高考试题)已知数列，。记，。求证：当时。(1）； （2）； （3）. 解析：（1）,猜想，下面用数学归纳法证明： (i)当时，,结论成立； （ii)假设当时,则时， 从而，所以 所以综上有，故 (2)因为则， ，相加后可以得到: ,所以,所以 (3)因为，从而,有，所以有 ，从而，所以，所以 所以综上有。例61。已知数列的首项，, （1)证明：对任意的，； （2）证明：。 解析：(1)依题，容易得到，要证，

18、,，即证即证，设所以即证明从而，即，这是显然成立的。 所以综上有对任意的， （法二） ,原不等式成立 (2）由(1）知，对任意的，有取,则原不等式成立十四、经典题目方法探究 探究1.(2008年福建省高考）已知函数。若在区间上的最小值为,令。求证：.证明：首先：可以得到。先证明 (方法一） 所以 (方法二）因为，相乘得： ，从而。 （方法三)设A=，B=,因为A<B,所以A2AB， 所以， 从而.下面介绍几种方法证明（方法一）因为，所以，所以有 （方法二)，因为,所以 令，可以得到,所以有(方法三)设所以，从而，从而又，所以(方法四)运用数学归纳法证明: (i）当时,左边=,右边=显然不等式成立；（ii)假设时,则时， ，所以要证明，只要证明，这是成立的。这就是说当时,不等式也成立，所以，综上有探究2.设函数。如果对任何，都有,求的取值范围解析:因为,所以，设,则， 因为，所以 （i)当时， 恒成立，即，所以当时, 恒成立. （ii）当时,，因此当时，不符合题意。 （iii）当时,令，则故当时，。 因此在上单调增加.故当时,， 即.于是，当时， 所以综上有的取值范围是 变式:若，其中且,，求证:。证明：容易得到由上面那个题目知道就可以知道同型衍变：已知