34函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1、第四节 函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如2012年浙江T4等2.与三角恒等变换相结合考查yAsin(x)的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如2012年安徽T16等.归纳·知识整合1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A

2、Tfx2用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0探究1.用五点法作yAsin(x)的图象，应首先确定哪些数据？提示：先确定x，即先使x等于0，2，然后求出x的值3函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A>0，>0)的图象的步骤 法一法二探究2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？提示：可以看出，前者平移|个单位，后者平移个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时

3、一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误自测·牛刀小试1(教材习题改编)为了得到函数y3sin的图象，只要把函数y3sin的图象上所有的点()A向右平行移动个单位长度B向左平行移动个单位长度C向右平行移动个单位长度D向左平行移动个单位长度解析：选Cy3sin3sin，要得到函数y3sin的图象，应把函数y3sin的图象上所有点向右平行移动个单位长度2(教材习题改编)y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2，B2，C2， D2，解析：选A由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin的振幅为2，周期为，频率为，初相为.3将函数ysin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再

4、把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()Aysin BysinCysin Dysin解析：选C将ysin x的图象向右平移个单位得到ysin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到ysin的图象4将函数ysin(2x)(0)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则的值是_解析：函数ysin(2x)的图象向左平移个单位后，得ysin，则k.又0，故.答案：5函数yAsin(x)(A、为常数，A>0，>0)在闭区间，0上的图象如图所示，则_.解析：由函数yAsin(x)的图象可知：，则T.T，3.答案：3函数yAsin(x)的图象

5、及变换例1已知函数y2sin，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到自主解答(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)法一：把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象法二：将ysin

6、x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图象若将本例(3)中“ysin x”改为“y2cos 2x”，则如何变换？解：y2cos 2x2siny2sin 2xy2sin，即将y2cos 2x的图象向右平移个单位即可得到y2sin的图象 函数yAsin(x)(A0，0)的图象的作法(1)五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出

7、五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换法：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”1(2012·山东高考)已知向量m(sin x,1)，nAcos x，cos 2x(A>0)，函数f(x)m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的值域解：(1)f(x)m·nAsin xcos xcos 2xAAsin.因为A>0，由题意知A6.(2)由(1)知f(x)6s

8、in.将函数yf(x)的图象向左平移个单位后得到y6sin6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y6sin的图象因此g(x)6sin.因为x，所以4x，故g(x)在上的值域为3,6.求函数yAsin(x)的解析式例2(1)函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)的部分图象如图(1)所示，则f(0)_.(2)如图(2)所示是函数f(x)Asin(x)B图象的一部分，则f(x)的解析式为_图(1)图(2)自主解答(1)由图可知A.，T.又T，2.又图象过点，sin0.由图可知2k，kZ.2k，kZ.故f(x)sin，f(0)sin.(2)由于最大值和最小

9、值之差等于4，故A2，B1.把(0,2)代入f(x)，得22sin 1，取.由图，可知01，令()2k，得.所以函数的解析式是f(x)2sin1.答案：(1)(2)f(x)2sin1确定yAsin(x)b(A0，0)的解析式的步骤(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的

10、“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.2设函数f(x)sin(x)(0,0)的部分图象如图所示，直线x是它的一条对称轴，则函数f(x)的解析式为()Af(x)sin Bf(x)sinCf(x)sin Df(x)sin解析：选D由题意可知，T，2.再将x代入B，D检验直线x是否是对称轴，得D选项正确.函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用例3函数f(x)6cos2sin x3(0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形(1)求的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x

11、0)，且x0，求f(x01)的值自主解答(1)由已知可得，f(x)3cos xsin x2·sin.又正三角形ABC的高为2，从而BC4.所以函数f(x)的周期T4×28，即8，.函数f(x)的值域为2，2(2)因为f(x0)，由(1)有f(x0)2sin，即sin.由x0，知，所以cos .故f(x01)2sin2sin22.解决三角函数图象与性质的综合问题的方法认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握3已知函数f(x)Asin(x)，xR，其部分图象如图所示(1)求函

12、数f(x)的解析式；(2)已知横坐标分别为1、1、5的三点M、N、P都在函数f(x)的图象上，求sinMNP的值解：(1)由图可知，最小正周期T4×28，所以T8，.又f(1)sin1，且，所以，所以，.所以f(x)sin(x1)(2)因为f(1)sin(11)0，f(1)sin(11)1，f(5)sin(51)1，所以M(1,0)，N(1,1)，P(5，1)，所以|MN|，|MP|，|PN|，从而cosMNP，由MNP(0，)，得sinMNP.1个区别两种图象变换的区别由ysin x的图象变换到yAsin(x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个

13、单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值2个注意作函数yAsin(x)的图象应注意的问题(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象3种方法由函数图象求解析式的方法方法一如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式yAsin(x)中的参数A和，再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“x0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得.方法二通过若干特殊点代入函数式，可以求得

14、相关待定系数A，.依据是五点法方法三运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数. 答题模板由三角函数图象确定解析式典例(2012·湖南高考)(本小题满分12分)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)ff的单调递增区间快速规范审题第(1)问1审条件，挖解题信息观察条件：函数f(x)Asin(x)的部分图象(0,1)，T2.2审结论，明确解题方向观察所求结论：求函数f(x)的解析式应建立关于A，的三个方程3建联系，找解题突破口结合条件和求解可知，即22×2k，kZ，即f(x)Asinf(0)1Asin1A2f(

15、x)2sin.第(2)问1审条件，挖解题信息观察条件：f(x)2sin.2审结论，明确解题方向观察所求结论：求函数g(x)ff的单调递增区间g(x)2sin.3建联系，找解题突破口联想函数ysin x的单调性2k2x2kkxk，kZg(x)的单调递增区间是，kZ. 准确规范答题(1)由题设图象知，周期T2，所以2.(2分)易忽视的范围或点为第二个平衡点而导致解题错误.因为点(，0)在函数图象上，所以Asin0，即sin0.又因为0<<，所以<<.从而，即.(4分)又点(0,1)在函数图象上，所以Asin 1，得A2.(5分)故函数f(x)的解析式为f(x)2sin.(6

16、分)(2)g(x)2sin2sin2sin 2x2sin(7分)2sin 2x2易忽视易将单调区间写成不等式kxk，kZ或漏写kZ造成结论表述不准确sin 2xcos 2x(8分)2sin.(9分)由2k2x2k，得kxk，kZ.(11分)所以函数g(x)的单调递增区间是，kZ.(12分)答题模板速成由图象确定函数yAsin(x)的解析式，一般可用以下几步解答：第一步观察图象根据图象确定五点作图中的第一个平衡点、第二个平衡点的坐标或图象的最高点、最低点第二步明确方向将“x”作为一个整体，找到对应的值(通常利用周期求，利用图象的某一个点(通常选取平衡点)确定)第三步给出证明列方程组求解(求时，往

17、往要利用的范围)第四步写解析式写出所求的函数解析式第五步反思回顾查看关键点，易错点及答题规范如本题中在求时，要注意是“五点作图”中的第二个零点一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012·浙江高考)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析：选A变换后的三角函数为ycos(x1)，结合四个选项可得A选项正确2设函数f(x)cos x(0)，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于()A.B3C6 D9解析：选C将f(x)向右平

18、移个单位长度得g(x)coscos，则2k，即6k(kZ)0，k0.当k1时，有最小值6.3.已知函数f(x)Asin(x)h(>0，0<<)的图象如图所示，则f(x)()A4sin2B4sin2C2sin4D2sin4解析：选C由题中的图象可知，A2，h4，函数f(x)的周期为44，所以.点相当于五点作图法的第二个点，所以×，所以，根据以上分析结合函数的图象特征可知函数f(x)的解析式为f(x)2sin4.4已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图，则f等于()A2B.C. D2解析：选B由图象可知：T2，2，2×k.又|，.又f(0)1

19、，Atan1，得A1，f(x)tan，ftantan.5(2013·江西九校联考)已知A，B，C，D是函数ysin(x)0,0一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为()A2， B2，C， D，解析：选A由在x轴上的投影为，知OF，又A，所以AF，所以2.同时函数图象可以看做是由ysin x的图象向左平移而来，故可知，即.6(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)若初始位置为P0，当秒针从P0(注

20、：此时t0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()Aysin BysinCysin Dysin解析：选C由题意可得，函数的初相位是，排除B、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T60，所以|，即.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知函数f(x)3sin(0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x，则f(x)的取值范围是_解析：f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，f(x)与g(x)的最小正周期相等0，2，f(x)3sin.0x，2x，sin1，3sin3，即f(x)的取值范围为.答案：8已知直线yb(b0)与曲线f(x)si

21、n在y轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b的值是_解析：设三个横坐标依次为x1，x2，x3，由图及题意有，解得x2，所以bf.答案：9(2013·苏州模拟)设f(x)asin 2xbcos 2x，其中a，bR，ab0，若f(x)对一切xR恒成立，则f0；f(x)既不是奇函数也不是偶函数；f(x)的单调递增区间是(kZ)；存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交以上结论正确的是_(写出所有正确结论的编号)解析：f(x)asin 2xbcos 2xsin(2x)，因为对一切xR，f(x)恒成立，所以sin±1，可得k(kZ)，故f(x)±sin.而

22、f±·sin0，所以正确；，所以，故错误；明显正确；错误；由函数f(x)sin和f(x)sin的图象可知(图略)，不存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，故错答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知函数f(x)Asin(x)A0，0，|的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02，2)(1)求函数f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角满足cos ，求f(4)的值解：(1)由题意可得A2，2，即T4，4，.f(x)2sin.由图象经过点(0,1)得，f(0)2sin 1，

23、又|，.故f(x)2sin.又f(x0)2sin2，x02k(kZ)，x04k(kZ)，根据图象可得x0是最小的正数，x0.(2)由(1)知，f(4)2sinsin 2cos 2.，cos ，sin ，cos 22cos21，sin 22sin cos ，f(4)×.11已知函数f(x)2·sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)sinsin xcos xsin x22sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，g(x)f2sin2sin.x0，x，当x，即x时，sin1，g(x)取得最大值2.当x，即x时，sin，g(x)取得最小值1.12已知函数f(x)2acos2xbsin xcos x，且f(0)，f.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？解：(1)由f(0)，得2a，2a，则a.由f，得，b1.f(x)cos2xsin xcos xcos 2xsin 2xsin，函数f(x)的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，f(x)的单调