第七章方差分析课件

1、第七章第七章 方差分析方差分析焦建玲第七章第七章 方差分析方差分析学习目标学习目标 理解方差分析的基本思想和原理。理解方差分析的基本思想和原理。2. 2. 掌握单因素方差分析的主要步骤，学会使用方差分析表。掌握单因素方差分析的主要步骤，学会使用方差分析表。3. 3. 了解单因素方差分析的多重比较法。了解单因素方差分析的多重比较法。4. 4. 了解双因素方差分析的主要步骤。了解双因素方差分析的主要步骤。5. 5. 熟悉方差分析的熟悉方差分析的SPSSSPSS软件操作软件操作。第七章第七章 方差分析方差分析7.1 7.1 方差分析的原理方差分析的原理7.1.1方差分析的定义对于工农业生产的每一种产

2、品，影响其评价指标的因素是众多的。对于工农业生产的每一种产品，影响其评价指标的因素是众多的。对于管理者来说，了解哪些因素对产品质量或产量等指标有显著影对于管理者来说，了解哪些因素对产品质量或产量等指标有显著影响具有重要意义。响具有重要意义。试验中称可控制的试验条件为试验中称可控制的试验条件为因素因素（factor），），因素变化的各个等级称为因素变化的各个等级称为水平水平（levellevel）。）。试验中只有一个因素改变，其他可控条件不变试验中有两个或者两个以上 因素发生改变单因素试验双因素试验方差分析（analysis of variance,简称ANOVA ）所要解决的问题是，根据试验结

3、果，判断哪些因素有显著作用，在什么样的水平和工艺条件下能使管理者关心的指标达到最优。第七章第七章 方差分析方差分析7.1 7.1 方差分析的原理方差分析的原理【例【例7-1】表表7-1 7-1 不同型号的生产线维修时间不同型号的生产线维修时间 某公司计划引进一条生产线，为了选择一条质量优良的生产线以减少日后的维修问题，某公司计划引进一条生产线，为了选择一条质量优良的生产线以减少日后的维修问题，他们对他们对6 6种型号的生产线做了初步调查，每种型号调查种型号的生产线做了初步调查，每种型号调查4 4条生产线，结果如表条生产线，结果如表7-17-1所示。所示。这些结果表示每个型号的生产线上个月维修的

4、小时数。试问这些结果能否判定由于生这些结果表示每个型号的生产线上个月维修的小时数。试问这些结果能否判定由于生产线型号不同而造成它们在维修时间上有显著差异？产线型号不同而造成它们在维修时间上有显著差异？序号型号1234A型B型C型D型E型F型9.54.36.56.110.09.38.87.88.37.34.88.711.43.28.64.25.47.27.86.58.24.19.610.1第七章第七章 方差分析方差分析7.1 7.1 方差分析的原理方差分析的原理在【例在【例7-17-1】中原假设是：不同型号的生产线平均维修时间中原假设是：不同型号的生产线平均维修时间均相同。如果这个原假设为真，那

5、么各型号的样本平均数之均相同。如果这个原假设为真，那么各型号的样本平均数之间的变异程度就不可能太大。因此考虑使用间的变异程度就不可能太大。因此考虑使用方差或观测值的方差或观测值的偏差平方和偏差平方和的概念进行检验。的概念进行检验。 7.1.2 方差分析的基本思想（1 1）总偏差平方和总偏差平方和= =由因素水平引起的偏差平方和由因素水平引起的偏差平方和+ +试验误差试验误差平方和平方和（2 2）上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不同水）上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不同水平是否使得各型号的平均维修时间存在显著性差异，为此需平是否使得各型号的平均维修时间存在显著性差异，为此需

6、要进行适当的统计假设检验要进行适当的统计假设检验。第七章 方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.1 数学模型与数据结构数学模型与数据结构 在单因素试验中，为了考察因素在单因素试验中，为了考察因素A A 的的k k个水平对指标个水平对指标Y Y的影响，设的影响，设想在固定的条件下做试验。所有可能的试验结果组成一个总体，它想在固定的条件下做试验。所有可能的试验结果组成一个总体，它是一个随机变量，可以把它分解为两部分，即是一个随机变量，可以把它分解为两部分，即其中其中 纯属纯属 作用的结果，称为在作用的结果，称为在 条件条件 下的真值；是试验误下的真值；是试验误差（

7、也称随机误差），假设为服从正态分布的随机变量。差（也称随机误差），假设为服从正态分布的随机变量。如果在独立试验中，除了如果在独立试验中，除了 不同外，其余条件均不变，则不同外，其余条件均不变，则 是独立同分布的随机变量，即是独立同分布的随机变量，即 ，因为，因为 所以所以 ，其中，其中 和和 都是未知参数（都是未知参数（i=1,2,ki=1,2,k）。）。 iiiY（7-1）iiAiAikAAA,21i), 0(2Ni2)()(,)(iiiiDYDYE),(2iiNYi2第七章 方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析为了估计和检验上述参数需要做重复试验。假定在水平为了

8、估计和检验上述参数需要做重复试验。假定在水平 下，下，重复做重复做m m次试验。得到观测值次试验。得到观测值 。这相当于从第。这相当于从第i i个正态个正态总体总体 （i=1,2,ki=1,2,k）中，随机抽取一个容量为）中，随机抽取一个容量为m m的样本，的样本，见表见表7-27-2所示。所示。表表7-2 7-2 不同水平条件下重复试验结果不同水平条件下重复试验结果iAimiiYYY,21),(2iN 1 2 j m合计平均 1A11Y12YjY1mY12A21Y22YjY2mY2iA1 iY2iYijYimYkA1kY2kYkjYkmY1T1Y2T2YiTiYkTkY第七章 方差分析7.2

9、 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析满足：满足：), 2 , 1( ,11kiYmYmjiji（7-2）其中其中), 2 , 1;, 2 , 1( ,mjkiYijiij（7-3）值得注意的是，每次试验都能得到一个值得注意的是，每次试验都能得到一个 ，而，而 和和 不能直接观测不能直接观测到。为了便于比较和分析因素到。为了便于比较和分析因素A A的水平对指标的水平对指标 的影响大小，通常的影响大小，通常把把 进一步分解为：进一步分解为：ijYiijiAi),2, 1( ,kiii（7-4）其中其中 称为一般平均（称为一般平均（grand meangrand mean），它是比较）

10、，它是比较 作用大小的作用大小的一个基点，并且称一个基点，并且称 为第为第i i个水平个水平 的效应，它表示真值的效应，它表示真值 与与一般水平一般水平 的差值。的差值。kiik11iAiiiAiAi第七章 方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析显见显见 满足约束条件满足约束条件i021k（7-5）把（把（7-37-3）（）（7-47-4）（）（7-57-5）代入（）代入（7-17-1）中，得到：）中，得到：ijiijY0i 在单因素试验的方差分析中，常常采用这种分解式，并称满足条件式在单因素试验的方差分析中，常常采用这种分解式，并称满足条件式（7-57-5）的）的

11、为单因素方差分析的数学模型，称式为单因素方差分析的数学模型，称式（7-57-5）为结构方程，）为结构方程， 为模型参数。单因素方差分析要解为模型参数。单因素方差分析要解决的问题是：决的问题是： （1 1）找出）找出 和和 的估计量；的估计量； （2 2）分析观测值的偏差；）分析观测值的偏差； （3 3）检验各水平效应）检验各水平效应 有无显著差异有无显著差异。), 2 , 1( ,kiiik,21k,212k,21第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.2 参数点估计参数点估计下面介绍用最小二乘法求参数下面介绍用最小二乘法求参数 的估计量，

12、然后寻求的估计量，然后寻求 的无偏估的无偏估计量。根据问题描述，参数计量。根据问题描述，参数 的理想估计值应能使在水平的理想估计值应能使在水平 下下 的观测值与真值之间的偏差尽可能小。可考虑用最小平方和的原则，即观测的观测值与真值之间的偏差尽可能小。可考虑用最小平方和的原则，即观测值与真值值与真值 的偏差平方和达到最小。由（的偏差平方和达到最小。由（7-37-3）可知，此偏差平方和就是误）可知，此偏差平方和就是误差平方和（记作差平方和（记作 ），可以写成：），可以写成：k,212iAiYiSkimjiijkimjiijkimjijYYS112112112)()(k,21（7-6）所以，根据所以

13、，根据最小平方和法则最小平方和法则，就是求当未知参数，就是求当未知参数 为何值时，为何值时， 达到最小。达到最小。 k,21S第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.2 参数点估计参数点估计根据微积分知识，令根据微积分知识，令 。化简并整理得到如下方。化简并整理得到如下方程组：程组：), 2 , 1(0, 0kiSSimjiijkimjkimjiijYY111110)(20)( 2（7-7）解得：解得： ，YYkmkimjij111mjijiYm11由此得到由此得到 的估计量为：的估计量为：iiiiY（7-8）第七章第七章 方差分析方差分析

14、7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.2 7.2.2 参数点估计参数点估计 故参数故参数 的最小二乘估计量分别为：的最小二乘估计量分别为：ii,YYYiiiiY（7-9） 可以证明，上述估计量分别是参数可以证明，上述估计量分别是参数 的无偏估计量。的无偏估计量。ii,为了从观测值的偏差中分析出各水平为了从观测值的偏差中分析出各水平 的效应，下面研究三种的效应，下面研究三种偏差偏差 。 根据前面的讨论，它们分别表示对根据前面的讨论，它们分别表示对 和和 的估计。关于这三种偏差的平方和有以下关系式成立：的估计。关于这三种偏差的平方和有以下关系式成立：iAiijiijYYY

15、YYY,iijY,ij第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.2 7.2.2 参数点估计参数点估计 21121211)()()(ikimjijkiikimjijYYYYmYY（7-10）证明如下：证明如下：令令)()(iijiijYYYYYY两边平方后得到：两边平方后得到： 222)()(2)()(iijiijiiijYYYYYYYYYY依次对依次对i i，j j求和得：求和得：右边第一项为右边第一项为 21112)()(YYmYYkiikimji第二项为第二项为0 0，因为，因为 0)(1imjijYY可见可见7-107-10成立。成立。

16、第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.2 7.2.2 参数点估计参数点估计 7-107-10可改写成可改写成 ：EATSSS其中其中2)(YYSijT2)(YYmSiA2)(iijEYYS总偏差平方和总偏差平方和因素因素A A的效应平方和的效应平方和 误差平方和误差平方和 平方和分解定理平方和分解定理第八章第八章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.2 7.2.2 参数点估计参数点估计上式称为平方和分解定理，其中，上式称为平方和分解定理，其中， 称为总偏差平方和，它反称为总偏差平方和，它反映了全

17、部数据映了全部数据 相对于一般水平的差异和离散程度；相对于一般水平的差异和离散程度； 称为误差称为误差平方和（或组内平方和），它反映试验误差的大小；平方和（或组内平方和），它反映试验误差的大小； 称为因素称为因素A A的效应平方和（或组间平方和），它除了反映因素的效应平方和（或组间平方和），它除了反映因素A A各水平效应各水平效应的差异程度外，实际上还包括试验误差，关于这一点下面有进一的差异程度外，实际上还包括试验误差，关于这一点下面有进一步解释步解释. .平方和的平方和的自由度自由度是指和式中独立项的项数，与是指和式中独立项的项数，与 分布自由度的分布自由度的意义相一致。意义相一致。当平方和

18、的各项间有当平方和的各项间有r r个约束条件时，自由度应该是个约束条件时，自由度应该是项数减项数减r r。TSijYESAS2第七章第七章 方差分析方差分析7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.2 7.2.2 参数点估计参数点估计 的自由度的自由度 ，因为它的项数是，因为它的项数是 ，有一个约束条件见式（，有一个约束条件见式（7-97-9）TS1 kmfTkm 的自由度的自由度 ，因为它的项数是，因为它的项数是 ，有一个约束条件，有一个约束条件AS1 kfAk0)(1YYmkii 的自由度的自由度 ，因为它的项数是，因为它的项数是 ，有，有k k个约束条件见式个约束条件见式（

19、7-27-2），因此自由度之间也有类似于平方和分解定理的关系。即），因此自由度之间也有类似于平方和分解定理的关系。即ES) 1(mkkkmfAkmEATfff定理：定理： 和和 的期望值分别是的期望值分别是ESASkiiAEmkSEmkSE1222) 1()(,) 1()(第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.3 7.2.3 显著性检验显著性检验 单因素参数检验的条件（1 1）观测值）观测值 是相互独立的是相互独立的 ；（2 2）在水平）在水平 下，下， 服从正态分布服从正态分布 。这时，要判断在因。这时，要判断在因素素 的的 个水平个水

20、平 下真值下真值 之间是否有显著性差之间是否有显著性差异，即检验原假设异，即检验原假设 是否成立。是否成立。ijYiAijY),(2iNAkkAAA,21k,21kH210:相当于检验相当于检验; 0:210kH1H： 不全为不全为0 0；i1Hi1H： 不全为不全为0 0；i1H： 不全为不全为0 0；i1H; 0:210kH： 不全为不全为0 0；i1H1Hi1H： 不全为不全为0 0；i1H; 0:210kH： 不全为不全为0 0；i1H; 0:210kH： 不全为不全为0 0；i1H; 0:210kH： 不全为不全为0 0；i1H第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验

21、的方差分析单因素试验的方差分析7.2.3 7.2.3 显著性检验显著性检验 可以证明，当可以证明，当 为真时，有为真时，有 0H)() 1() 1(222222kkmSkSkmSEAT（7-11）并且并且 与与 相互独立。由此可得相互独立。由此可得2AS2ES)1(, 1() 1(/) 1/() 1(/) 1/(22mkkFmkSkSmkSkSFEAEAA（7-127-12）因素均方因素均方误差均方误差均方第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.3 7.2.3 显著性检验显著性检验; 0:210kH： 不全为不全为0 0；i1H给定的显著性

22、给定的显著性水平水平 可以根据上述结果对原假设可以根据上述结果对原假设 进行检验进行检验 ，从从F F分布表中查出临界分布表中查出临界值值 ，再计算样本统计量值，再计算样本统计量值 。0H)1(, 1(mkkFAF)1(, 1(mkkFFA)1(, 1(mkkFF拒绝原假设拒绝原假设接受原假设接受原假设)18(025. 0t第七章第七章 相关与回归分析相关与回归分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.3 7.2.3 显著性检验显著性检验 方差分析表方差分析表AS1k1kSA) 1(/) 1/(mkSkSFEAAESkkmkkmSETS1km方差来源方差来源平方和平方

23、和自由度自由度均方均方F F统计量统计量组间（因素组间（因素 A A）组内（试验误差）组内（试验误差）总和总和第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.3 7.2.3 显著性检验显著性检验【引例引例】 根据统计实践，一般认为各种型号的生产时间服从正态分布。根据统计实践，一般认为各种型号的生产时间服从正态分布。做出统计假设：做出统计假设：6 6种型号的生产线平均维修时间无显著差异，即：种型号的生产线平均维修时间无显著差异，即：计算计算 和和iiHiH:);6 , 3 , 2 , 1(0:10不全为不全为0 0ASESkmTmTYYmSikiiA

24、2212)(mjijiYT1iTT计算列表计算列表 台号台号型号型号1 12 23 34 4T Ti iT Ti i2 2A A型型9.59.58.88.811.411.47.87.837.537.51406.251406.25358.49358.49B B型型4.34.37.87.83.23.26.56.521.821.8475.24475.24131.82131.82C C型型6.56.58.38.38.68.68.28.231.631.6998.56998.56252.34252.34D D型型6.16.17.37.34.24.24.14.121.721.7470.89470.89124

25、.95124.95E E型型10.010.04.84.85.45.49.69.629.829.8888.04888.04244.36244.36F F型型9.39.38.78.77.27.210.110.135.335.31246.091246.09316.03316.03mjijY127 .177iT07.54852iT99.14272ijY8.2.4 显著性检验显著性检验第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验方差分析单因素试验方差分析7.2.3 7.2.3 显著性检验显著性检验 计算可得

26、：计算可得：55.55467 .177407.5485222kmTmTSiA72.56407.548599.1427)(222mTYYYSiijiijE5161 kfA1836) 1(mkfE第一自由度第一自由度第二自由度第二自由度第七章第七章 相方差分析相方差分析7.2.3 7.2.3 显著性检验显著性检验 7.2 7.2 单因素试验方差分析单因素试验方差分析列出方差分析表列出方差分析表53. 315. 311.11AF方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F F统计量统计量组间（因素组间（因素 A A）55.5555.555 511.1111.11组内（试验误差）组内（试验误差）

27、56.7256.7218183.153.15总和总和112.27112.272323表表7-4 方差分析表方差分析表第七章第七章 方差分析方差分析8.2 8.2 单因素试验方差分析单因素试验方差分析7.2.3 7.2.3 显著性性检验显著性性检验 查查F F分布表得：分布表得： ，由于，由于=3.532.77=3.532.77，故拒，故拒绝原假设，结论表明，至少有一种生产线型号的效应不绝原假设，结论表明，至少有一种生产线型号的效应不等于等于0 0，或者说至少有两种型号的生产线的平均维修时，或者说至少有两种型号的生产线的平均维修时间有显著差异间有显著差异。77. 2)18, 5(05. 0F第七

28、章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.4 7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 通过引例看到，单因素方差分析结果只显示至少有一对水平之间存通过引例看到，单因素方差分析结果只显示至少有一对水平之间存在显著差异，但没有明确哪些水平之间存在差异。为了找出哪些水平在显著差异，但没有明确哪些水平之间存在差异。为了找出哪些水平之间存在差异，下面介绍两种最常见的多重比较的方法之间存在差异，下面介绍两种最常见的多重比较的方法q q检验法检验法和和Fisher LSDFisher LSD法法。q q检验法检验法假设试验因素假设试验因素A A共有共有

29、k k个水平，每个水平重复做个水平，每个水平重复做m m次试验，并且方差分次试验，并且方差分析的结论是各水平之间差异显著，为进一步做多重比较，可按以下步析的结论是各水平之间差异显著，为进一步做多重比较，可按以下步骤进行。骤进行。第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.4 7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 q q检验法要求首先从检验法要求首先从“多重比较的多重比较的q q表表”（见附表（见附表5 5）中查出临界值）中查出临界值值值 ，其中，其中 为显著水平，为显著水平，k k为水平数、为水平数、 为误差平方和的自由为误差平方和

30、的自由度。对于前面的试验度。对于前面的试验 ， 然后由然后由 、 、 和和m m计算计算),(EfkqEf) 1(mkfE),(EfkqESmfSfkqDEEE),(（7-13）比较分比较分析析DYYsiDYYsi， 与与 差异显著；差异显著； ， 与与 差异显著；差异显著； iYsYiYsYEf第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.4 7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 由于由于 不仅取决于不仅取决于 与与 的自由度，而且与水平数的自由度，而且与水平数k k有关，有关，k k越越大，大， 值也愈大，从而保证在做多重比较时，

31、犯第一类错误的概率值也愈大，从而保证在做多重比较时，犯第一类错误的概率不至于增大。此外进行两两比较时，虽然需要做不至于增大。此外进行两两比较时，虽然需要做 个比较，但因均以个比较，但因均以统一的统一的D D值作为标准，计算工作量只有一个值作为标准，计算工作量只有一个D D值和水平间的差数值和水平间的差数 ，因此计算得到简化。因此计算得到简化。继续研究前例，现在想要以继续研究前例，现在想要以 =0.05=0.05的显著性水平判断哪些型号的生的显著性水平判断哪些型号的生产线在维修时间上有显著差异。具体做法如下：产线在维修时间上有显著差异。具体做法如下：将前例中将前例中各各 依大小顺序排列依大小顺序

32、排列，按照表，按照表7-57-5的形式进行逐个比较以免的形式进行逐个比较以免遗漏。遗漏。 ),(EfkqES),(Efkq2kCsiYY iY第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.4 7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 iY6YYi5YYi4YYi3YYi2YYi4 . 91Y8 . 82Y9 . 73Y5 . 74Y5 . 55Y4 . 56YA A型型F F型型C C型型E E型型B B型型D D型型两两差值两两差值4.04.03.93.91.91.91.51.50.60.63.43.43.33.31.31.30.90.

33、92.52.52.42.40.40.42.12.12 20.10.1表表7-5 7-5 单因素试验的多重比较结果单因素试验的多重比较结果第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.4 7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 由前面的方差分析可知由前面的方差分析可知 ，相应的自由度，相应的自由度 ，水平数，水平数 以显著性水平以显著性水平=0.05=0.05，查，查q q表得：表得： ，所以：，所以：从表从表7-5可以看到，全部两两比较的结果中，属于可以看到，全部两两比较的结果中，属于 =3.98的情况的情况只有一个，即只有一个，即A型

34、与型与F型在平均维修时间上存在显著差异。型在平均维修时间上存在显著差异。72.56ES18Ef4, 6mk49. 4)18, 6(05. 0q98. 3415. 349. 4/)18, 6(05. 0mfSqDEEDYYsi第七章第七章 方差分析方差分析8.2 8.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 若方差分析拒绝了等总体均值的零假设若方差分析拒绝了等总体均值的零假设 Fisher LSDFisher LSD方法方法 Fisher 最小显著差异(least significant difference, LSD)方法判定哪些总体均值间存

35、在显著差异 第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.4 7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 总体均值配对比较的总体均值配对比较的Fisher LSD方法检验步骤方法检验步骤 jiH:0jiH:1)11(jijinnMSExxt 拒绝法则拒绝法则如果如果 ， 则拒绝则拒绝 2/tt 0H式中式中t t统计量是服从自由度为统计量是服从自由度为 的的t t分布。分布。 是是 的均方误差，的均方误差，即即 ； 与与 分别代表水平分别代表水平i i和水平和水平j j的样本容量的样本容量m m。 kmkMSEESMSEkkmSEinjn第

36、七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.2.4 7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 下面应用下面应用LSDLSD检验方法判断引例中六个水平的均值是否有显著差异。如检验方法判断引例中六个水平的均值是否有显著差异。如A A型和型和D D型配对比较，根据前文数据可得型配对比较，根据前文数据可得A与与D存在显著差异存在显著差异 18. 3)4141(15. 34 . 54 . 9)11(jijinnMSExxt)18(025. 0t2.1012/tt 第七章第七章 方差分析方差分析7.2 7.2 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析7.

37、2.4 7.2.4 多重比较与区间估计多重比较与区间估计 iY6YYi5YYi4YYi3YYi2YYi4 . 91Y8 . 82Y9 . 73Y5 . 74Y5 . 55Y4 . 56YA型F型C型E型B型D型两两差值3.187276（*）3.107594（*）1.5139561.1952290.4780912.709185（*）2.629503（*）1.0358650.7171371.9920481.9123660.3187281.673321.5936380.079682表表7-6 Fisher LSD7-6 Fisher LSD方法配对比较结果方法配对比较结果第七章第七章 方差分析方差分

38、析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.1 数据结构数据结构 在管理问题中，有时需要考虑两个因素对试验结果的影响，在管理问题中，有时需要考虑两个因素对试验结果的影响，如服装的销售问题，除了考虑服装的式样外，还关心销售地如服装的销售问题，除了考虑服装的式样外，还关心销售地区是否对销售量产生影响。若把式样看做影响销售量的因素区是否对销售量产生影响。若把式样看做影响销售量的因素A A，销售地区是影响因素销售地区是影响因素B B。对对A A、B B两个因素同时进行分析，就属两个因素同时进行分析，就属于双因素方差分析。于双因素方差分析。双因素方差分析双因素方差分析第七章第七章

39、方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.1 数据结构数据结构 iX1A2ArA1B11x12xrx11x2B21x22xrx22xkB1kx2kxkrxkxjX1x2xrxx因素因素A因因素素B表表7-77-7双因素方差分析的数据结构双因素方差分析的数据结构第七章第七章 方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.1 数据结构数据结构 表中，因素表中，因素A A位于列的位置，共有位于列的位置，共有r r个水平，个水平， 代表第代表第j j种水平的样本种水平的样本平均数；因素平均数；因素B B位于行的位置，共有位于行的位

40、置，共有k k个水平，个水平， 代表第代表第i i种水平的样本种水平的样本平均数。平均数。 为样本总平均数，样本容量为为样本总平均数，样本容量为 。每一个观察值每一个观察值 都看作由都看作由A A因素的因素的r r个水平和个水平和B B因素的因素的k k个水平所组合成个水平所组合成的的rkrk个总体中抽取样本容量为个总体中抽取样本容量为1 1的独立随机样本。这的独立随机样本。这rkrk个总体的每一个个总体的每一个总体均服从正态分布，且有相同的方差。这是进行双因素方差分析的假总体均服从正态分布，且有相同的方差。这是进行双因素方差分析的假定条件。定条件。jX iXxrkn ijx双因素方差分析的假

41、定条件双因素方差分析的假定条件第七章第七章 方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.2离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解离差平方和的分解进行双因素方差分析，需要将总离差平方和进行双因素方差分析，需要将总离差平方和 进行分解。与单因素进行分解。与单因素平方和分解定理的区别在于，这里需要将总离差平方和分解为三个组成平方和分解定理的区别在于，这里需要将总离差平方和分解为三个组成部分，即部分，即 和和 。SSTSSBSSA,SSE分别反映因素分别反映因素A A的组间差异、因素的组间差异、因素B B的组间差异的组间

42、差异 SSBSSA,反映随机误差的离散状况反映随机误差的离散状况 SSE第七章第七章 方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.2离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和计算公式离差平方和计算公式2)(xxSSTij22)()(xxkxxSSAjj22)()(xxrxxSSBiiSSBSSASSTSSE总的离差平方和因素A的离差平方和因素B的离差平方和随机误差第七章第七章 方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.1离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析

43、表离差平方和的自由度离差平方和的自由度SST自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度自由度SST自由度自由度SST自由度自由度自由度自由度自由度自由度7.3.2离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析表11nrkSSA自由度自由度1rSSB自由度自由度1kSSE自由度自由度) 1)(1(kr1,1kSSBMSBrSSAMSA) 1)(1(krSSEMSE误差均方误差均方第七章第七章 方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.2 离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析

44、表 1rSSAMSAMSEMSAFA1kSSBMSBMSEMSBFB) 1)(1(krSSEMSE方差来源方差来源离差平方和离差平方和自由度自由度均方差均方差F F统计量统计量因素因素A ASSASSAr-1r-1因素因素B BSSBSSBk-1k-1误差误差SSESSE(r-1)(k-1)(r-1)(k-1)_合计合计SSTSSTn-1n-1_表表7-87-8双因素方差分析表双因素方差分析表第七章第七章 方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.2 离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析表 【例例7-1】某企业有三台不同型号的

45、设备，生产同一产品，现有五名工某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。试根据方差人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（ =0.05=0.05）。）。 工人一工人一工人二工人二工人三工人三工人四工人四工人五工人五设备设备A A64647272636381817878设备设备B B75756666616173738080设备设备C C78786767808069697171第七章第七章 方差

46、分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.2 离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析表 解：检验的假设有二个。解：检验的假设有二个。 第一个假设是针对设第一个假设是针对设备，设为备，设为A A因素因素 H01H01：三台设备对日产量没有显著影响：三台设备对日产量没有显著影响H11H11：三台设备对日产量有显著影响：三台设备对日产量有显著影响 第二个假设是针对人第二个假设是针对人员，设为员，设为B B因素因素 H02H02：工人技术对日产量没有显著影响：工人技术对日产量没有显著影响 H12H12：工人技术对日产量有显著影响：工人技术对

47、日产量有显著影响 第七章第七章 方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.2 离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析表 方差来源方差来源离差平方离差平方和和自由度自由度均方差均方差F F统计量统计量行（行（A A因素）因素）10.533310.53332 25.26675.26670.0923710.092371列（列（B B 因素）因素）161.0667161.06674 440.266740.26670.7062260.706226误差误差456.133456.1338 857.016657.0166合计合计627.7336

48、27.7331414表表7-97-9双因素方差分析结果双因素方差分析结果 第七章第七章 方差分析方差分析7.3 7.3 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析7.3.2 离差平方和的分解与双因素方差分析表离差平方和的分解与双因素方差分析表 从表从表7-97-9可知：可知： 没有证据证明三台设备对日产量有显著影响没有证据证明三台设备对日产量有显著影响 同理同理也没有证据证明五名工人的技术对日产量有显著影响。也没有证据证明五名工人的技术对日产量有显著影响。区间估计区间估计区间估计区间估计区间估计区间估计区间估计区间估计46. 4)8 , 2(092. 005. 0FFA接受接受 01H84. 3

49、)8 , 4(706. 005. 0FFB接受接受 02H【引例引例】，为了研究型号因素对生产线维修时间的影响，首先需要把表，为了研究型号因素对生产线维修时间的影响，首先需要把表7-17-1中的数据录入到中的数据录入到SPSSSPSS。把表。把表7-17-1中的时间变量命名为中的时间变量命名为“时间时间”，生产，生产线型号变量命名为线型号变量命名为“型号型号”，具体格式见下图。，具体格式见下图。步骤：步骤：第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差分析进行单因素方差分析1.1.数据录入数据录入【引例引例】在在“Analyze”Analyze”菜单中的菜

50、单中的“Compare Means”Compare Means”子菜单中选择子菜单中选择“One One way ANOVA”way ANOVA”命令。命令。 步骤：步骤：第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差分析进行单因素方差分析2.2.方差分析方差分析【引例引例】在在“Analyze”Analyze”菜单中的菜单中的“Compare Means”Compare Means”子菜单中选择子菜单中选择“One One way ANOVA”way ANOVA”命令。命令。 步骤：步骤：第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSP

51、SS进行单因素方差分析进行单因素方差分析2.2.方差分析方差分析【引例引例】在弹出“ANOVA”对话框中，将“时间”变量选入“Dependent list”（因变量框），“型号”变量选入“Factor ”（研究因素框） 单击“option”选项，弹出“One way ANOVA：option”对话框，选中“Homogeneity of variance test”。如图 步骤：步骤：第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差分析进行单因素方差分析2.2.方差分析方差分析第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差

52、分析进行单因素方差分析“Homogeneity of variance test”即方差齐性检验，是检验不同水平（或不同组别）的总体方差是否相等的检验方法。SPSS会自动运行出检验结果和伴随概率值。 伴随概率小于或等于显著性水平 拒绝原假设，即认为各个水平（各个组别）的总体方差是不等的，此时对不同组别进行方差分析是不合适的 伴随概率大于显著性水平 接受原假设，即认为各个水平的总体方差是相等的，此时可以继续进行方差分析。【引例引例】单击图“Post Hoc”按钮，弹出“One way ANOVA：Post Hoc Multiple Comparisons”对话框，如图7-5所示。其中最常见的有以

53、下几种：LSD：最小显著差异法（前面已做过介绍）；S-N-K：Student-Newman-Keul检验法，即前面介绍的q检验。本例中选择“LSD”显著性检验法。单击“continue”按钮，返回“One way ANOVA”对话框，单击“OK”。步骤：步骤：第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差分析进行单因素方差分析3.3.多重比较多重比较第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差分析进行单因素方差分析3.3.结果和讨论结果和讨论表表7-97-9说明各个组别总体方差在说明各个组别总体方差在显著性水平显著性

54、水平 下存在显著下存在显著差异，但在差异，但在 下，认为方差是相等的下，认为方差是相等的，可以继续进行方，可以继续进行方差分析。差分析。0.050.01Levene StatisticLevene Statisticdf1df1df2df2Sig.Sig.3.8453.8455 51818.015.015表表7-9 Test of Homogeneity of Variances 第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差分析进行单因素方差分析3.3.结果和讨论结果和讨论表表7-107-10是方差分析的结果，从方差来源看，组间方差为是方差分析的结果，从

55、方差来源看，组间方差为55.54755.547，组内方差，组内方差为为56.72256.722，检验统计量，检验统计量F F的值是的值是3.5253.525，伴随概率为，伴随概率为0.0210.050.0210.05。因此在显。因此在显著性水平著性水平 下，各个水平的均值存在显著差异。下，各个水平的均值存在显著差异。0.05Sum of Sum of SquaresSquaresdfdfMean Mean SquareSquareF FSig.Sig.Between Between GroupsGroups55.54755.5475 511.10911.1093.5253.525.021.02

56、1Within GroupsWithin Groups56.72256.72218183.1513.151TotalTotal112.270112.2702323表表7-10 ANOVA7-10 ANOVA 第七章第七章 方差分析方差分析7.4 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差分析进行单因素方差分析3.3.结果和讨论结果和讨论表表7-11 Multiple Comparisons7-11 Multiple Comparisons Dependent Variable: 时间LSD(I) 型号型号(J) 型号型号Mean Difference (I-J)Std. ErrorSig.

57、95% Confidence IntervalLower BoundUpper Bound1.002.003.92500*1.25524.0061.28786.56223.001.475001.25524.255-1.16224.11224.003.95000*1.25524.0061.31286.58725.001.925001.25524.143-.71224.56226.00.550001.25524.666-2.08723.18722.001.00-3.92500*1.25524.006-6.5622-1.28783.00-2.450001.25524.067-5.0872.18724

58、.00.025001.25524.984-2.61222.66225.00-2.000001.25524.128-4.6372.63726.00-3.37500*1.25524.015-6.0122-.73783.001.00-1.475001.25524.255-4.11221.16222.002.450001.25524.067-.18725.08724.002.475001.25524.064-.16225.11225.00.450001.25524.724-2.18723.08726.00-.925001.25524.471-3.56221.7122第七章第七章 方差分析方差分析7.4

59、 7.4 利用利用SPSSSPSS进行单因素方差分析进行单因素方差分析3.3.结果和讨论结果和讨论表表7-11 Multiple Comparisons7-11 Multiple Comparisons 4.001.00-3.95000*1.25524.006-6.5872-1.31282.00-.025001.25524.984-2.66222.61223.00-2.475001.25524.064-5.1122.16225.00-2.025001.25524.124-4.6622.61226.00-3.40000*1.25524.014-6.0372-.76285.001.00-1.925

60、001.25524.143-4.5622.71222.002.000001.25524.128-.63724.63723.00-.450001.25524.724-3.08722.18724.002.025001.25524.124-.61224.66226.00-1.375001.25524.288-4.01221.26226.001.00-.550001.25524.666-3.18722.08722.003.37500*1.25524.015.73786.01223.00.925001.25524.471-1.71223.56224.003.40000*1.25524.014.76286