高等数学电子第一章第一节ppt课件

1、第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质第一章第一章 函数的极限与延续函数的极限与延续 第一节第一节 函数及其性质函数及其性质第二节第二节 极限极限第三节第三节 函数的延续性函数的延续性分析根底分析根底 函数函数 极限极限 延续延续 研讨对象研讨对象 研讨方法研讨方法 研讨桥梁研讨桥梁第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质第一节第一节 函数及其性质函数及其性质一、函数的概念一、函数的概念二、函数的性质二、函数的性质本节主要内容本节主要内容: :第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函

2、数及其性质函数及其性质一、函数的概念一、函数的概念 ( (一一) )区间与邻域区间与邻域 1 .区间区间研讨函数时研讨函数时,经常要用到区间的概念经常要用到区间的概念.设设开区间开区间 (,) a bx axb 闭区间闭区间 , a bx axb ,) abx axb (, abx axb 右半开区间右半开区间左半开区间左半开区间实数实数a ,b叫相应区间的端点叫相应区间的端点,数数b - a 称为区间的长度称为区间的长度.,a bRab 且且规定规定:第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质无限区间无限区间 ,) ax xa (, bx xb (,

3、) x xR (,) ax xa (,) bx xb 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 2 .邻域邻域a a 0(,) N xx 点点 的的 邻域邻域a ( ,) N ax axa x x a 00 x x 其中其中, , 称为邻域中心称为邻域中心 , , 正数正数 称为邻域称为邻域半径半径 . .点点 的去心的去心 邻邻域域点点 的左的左 邻域邻域 : :00(,),xx 右右 邻域邻域 :00(,).xx ()以以 为中心的任何开区间称为点的邻域为中心的任何开区间称为点的邻域, ,记作记作 0 x0()N x0().N x0 x0 x00

4、00(,)(,)xxxx 0 x0 x00(,)xx 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 ( (二二) )函数的概念函数的概念子集，恣意子集，恣意 xD，变量，变量 y 按照某个对应关系按照某个对应关系那么称那么称 f 是定义在是定义在 D 上的函数，上的函数，x 称为自变称为自变量量,f ,有独一确定的实数与之对应有独一确定的实数与之对应(记作记作 y=f (x) ) ,定义定义1.1.1 设设x , y 是两个变量，是两个变量，D 是是 R 的非空的非空y 称为因变量称为因变量. D 称为函数称为函数 f 的定义域，数集的定义域，数集f (

5、D)= f (x) | xD 称为函数称为函数 f 的值域的值域 . 1 .函数的定义函数的定义第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义域定义域: : 是指使表达式及实践问题都有意义的自是指使表达式及实践问题都有意义的自变量集合变量集合. .确定函数的两要素：确定函数的两要素：(1)(1)对应关系对应关系; (2); (2)定义域定义域. .xyo|yx ( ) |f xx 如如, , 绝对值函数绝对值函数0,xx0,xx定义域定义域RD 值值 域域()0 ,)f D 与函数与函数 g (x) = x, g (x) = x, 定义域定义域 D

6、= R, 值域值域 f ( D ) = R,在在 x 0 x 0时，时， 11,01,12,1ttfttt 解解例例5 设设(1 2),(1 ).fft(1 )ft第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义定义1. 1. 5 设函数设函数y=f (x)的定义域关于的定义域关于原点对称，假设对于定义域中的任何原点对称，假设对于定义域中的任何x，都有，都有 二二. .函数的性质函数的性质 ( (一一) )奇偶性奇偶性()( ),fxf x ()( ),fxf x 假设对于定义域中的任何假设对于定义域中的任何x ，都有，都有 不是偶函数也不是奇函数的函

7、数，称为不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数非奇非偶函数.那么称那么称 y =f (x)为奇函数为奇函数那么称那么称 y =f (x)为偶函数为偶函数.第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 假设一个函数是奇函数假设一个函数是奇函数, ,那么这个函数的那么这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. . 反之，假设一个函数的图象是以坐标原点为反之，假设一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形对称中心的中心对称图形, ,那么这个函数是奇那么这个函数是奇函数函数. . 奇函数与偶函数图

8、象的对称性奇函数与偶函数图象的对称性 假设一个函数是偶函数，那么它的图形假设一个函数是偶函数，那么它的图形是以是以y y轴为对称轴的轴对称图形；反之，假设轴为对称轴的轴对称图形；反之，假设一个函数的图象关于一个函数的图象关于y y 轴对称，那么这个函轴对称，那么这个函数是偶函数数是偶函数. . 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质定义域定义域 D = 且有且有2()ln(1)fxxx例例 6 判别函数判别函数2( )ln(1)f xxx221lnln(1)1( )xxxxf x 所以该函数是奇函数所以该函数是奇函数解解(,), 的奇偶性的奇偶性第

9、一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义定义1. 1. 6 设函数设函数y=f (x), x1, x2为区间为区间(a,b)内恣意两个数，内恣意两个数， 假设当假设当x1 x2时，有时，有f (x1) f (x2)，那么称函，那么称函数数f (x)在区间在区间(a, b)内是单调添加的；内是单调添加的； 假设当假设当x1 f (x2)，那么称函，那么称函数数f (x)在区间在区间(a, b)内是单调减少的内是单调减少的 ( (二二) )单调性单调性第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质几何特征几何特征

10、单调添加单调添加单调减少单调减少第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义定义1. 1. 7 设函数设函数 y = f (x)在区间在区间I上有定上有定义，当恣意义，当恣意xI， 恒有恒有| f (x) |M 成立，那么成立，那么称函数称函数 y=f (x) I上的有界函数上的有界函数; 假设不存在这样假设不存在这样的正数的正数M ，那么称函数，那么称函数 y = f (x)为为I上的无界函上的无界函数数 ( (三三) )有界性有界性第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质几何特征几何特征 我们说一个函

11、数是有界的或是无界我们说一个函数是有界的或是无界的，应同时指出其自变量的相应范围的，应同时指出其自变量的相应范围 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质 定义定义1. 1. 8 对于函数对于函数 y=f (x) ，假设存在，假设存在一个不为零的正数一个不为零的正数L ，使得对于定义域内的一，使得对于定义域内的一切切x,等式等式 f (x +L)= f (x) 都成立，那么都成立，那么 y = f (x) 叫做叫做 周期函数，周期函数，L 叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期 ( (四四) )周期性周期性 周期函数假设存在最小正周期，通常将最周期函数

12、假设存在最小正周期，通常将最小正周期简称为周期小正周期简称为周期.第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质复习反三角函数复习反三角函数arcsin,yx 1,1, 1.1.反正弦函数反正弦函数: :arcsin()arcsinxx ,2 2 sin arcsin,xx （）定义域定义域: :值域值域: : 函数单调添加且有界函数单调添加且有界. .在在 上的上的sinyx 2,2 反函数叫反正弦函数反函数叫反正弦函数, ,记作记作: :它的它的 1,1x 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质2. 2.

13、反余弦函数反余弦函数: :arcc,osyx 定义域定义域:-1,1,:-1,1, 值域值域: : 0, cos(arccos )cos ,xx 函数单调减少且有界函数单调减少且有界. .arcsinarccos2xx 1,1x 在在cosyx 0, 叫反余弦函数叫反余弦函数, , 记作记作: :它的它的arccos()arccos ,xx 上的反函数上的反函数第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质arct,anyx (,) ，渐近线渐近线渐近线渐近线2y 2y 3.3.反正切函数反正切函数: :(,)22 tanyx 在在内的反函数内的反函数叫反

14、正切函数叫反正切函数, ,记作记作: :它的定义域它的定义域:值域值域: :(,),22 函数单调添加且有界函数单调添加且有界. .tan(arctan ),xx arctan()arctan ,(,)xx x 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第一节第一节 函数及其性质函数及其性质4.4.反余切函数反余切函数: :arcc,otyx (,) ，叫反余切函数叫反余切函数, ,记作记作: :它的定义域它的定义域:值域值域: :(0,), 函数单调减少且有界函数单调减少且有界. .(0,) cotyx 在在内的反函数内的反函数y 0y 渐近线渐近线渐近线渐近线xyocot(arccot )cot ,xx arctanarccot2,(,).xxx arccot(