层次分析法与matlab程序

1、层次分析法建模层次分析法（AHP AnalyticHierachyprocess ） -多目标决策方法70 年代由美国运筹学家 T · L· Satty 提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社

2、会现象）现象的规律。基本内容：（1 ）多目标决策问题举例AHP 建模方法（ 2） AHP 建模方法基本步骤（ 3） AHP 建模方法基本算法（ 3） AHP 建模方法理论算法应用的若干问题。参考书：1 、姜启源，数学模型（第二版，第9 章；第三版，第8 章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第 10 章），清华大学出版社3、运筹学编写组，运筹学（修订版），第11 章，第7 节，清华大学出版社一、问题举例：A 大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：能发挥自己的

3、才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；工作收入较好（待遇好）；生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；单位名声好（声誉-Reputation ）；工作环境好（人际关系和谐等）发展晋升（ promote, promotion ）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。问题： 现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？工作选择贡献收入发展声誉工作环境生活环境1可供选择的单位P1 P2 -Pn .假期旅游地点选择暑假有3 个旅游胜地可供选择。例如：P1 ：苏州杭州，P2 北戴河，P 3 桂林，到底到

4、哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：景色；费用；居住；环境；旅途条件等作一些比较建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。目标层选择旅游地准则层景费居饮旅色用住食途方案层P1P2P3C资源开发的综合判断7 种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。对经济发展、贡献 U经济价值开採费风险费要求量战略重要性交通条件铁 In铜 Co磷酸盐钿 Ur铝 Al金 Go二、问题分析：例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：2（ S1）将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择旅游地）准则层：（

5、景色、费用、居住、饮食、旅途等5 个准则）方案层：（有P1 ， P2 ， P3 三个选择地点）并用直线连接各层次。（ S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中常是定性的。例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择；经济不好的人：会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。（ S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。（ S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。以上步骤和方法即是AHP 的决策分析方法。三、确定各层次互相比较的方法成对比较矩阵和权向量

6、在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Santy 等人提出：一 致矩阵法 即： 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。因素比较方法成对比较矩阵法：目的是，要比较某一层n 个因素 C1 , C2 , , Cn 对上一层因素O 的影响 （例如： 旅游决策解中，比较景色等5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。採用的方法是：每次取两个因素Ci 和 C j 比较其对目标因素O 的影响，并用aij 表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：A(a ), aa1(或

7、 aa1)ijnxnij0,jiaij（ 1）ijijA ( a ij ) ,a0,a1由于上述成对比较矩阵有特点：ijijaji故可称 A 为正互反矩阵：显然，由a1，即： aija ji1 ，故有： a ji 1ijaji3例如：在旅游决策问题中：a（景色）C（景色）对目标O的重要性为1C 1112= C（费用）表示：（费用）对目标的重要性为12故：21 ( 即景色重要性为C2O2a 121，费用重要性为 2）2a（景色）C ( 景色）对目标 O的重要性为444=C1表示：113的重要性为1C（居住条件）（居住条件）对目标3C 3O1即：景色为4，居住为 1 。a（费用）C ( 费用）对目

8、标 O的重要性为777= CC 2表示：2的重要性为231（居住条件）（居住条件）对目标3C3O1即：费用重要性为7，居住重要性为1。11433221755A1111因此有成对比较矩阵：4712311211351131135？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：即存在有各元素的不一致性，例如：既然： a12C11a2;aC1431112113aC22C31a413aC 28C 2C12所以应该有：a2321C3aC 318311C14而不应为矩阵A 中的 a2371成对比较矩阵比较的次数要求太，因： n 个元素比较次数为：C n2n(n 1) 次，2!因此， 问题是： 如何改造成对比较

9、矩阵，使由其能确定诸因素C1, , Cn 对上层因素O 的权重？对此 Saoty 提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素C1 , C n 对因素（上层因素） O 的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。为此，先看成对比较矩阵的完全一致性成对比较完全一致性4四：一致性矩阵Def ：设有正互反成对比较矩阵：a11W1a12W11 ,a1nW1W1WW1n2a21W2a22W21 ,a2 nW2W1W2WnA(4)aWiijWjaWnaWnaWn1n1W1n2W2nnWn除满足：（ i）正互反性：即aij0a1( 或 aija1)ijajiji而且还满足：（ ii）一致性：即aaiai

10、kaaihj 1, 2, n /有点点错误ijkji,a ja j h则称满足上述条件的正互反对称矩阵A 为一致性矩阵，简称一致阵。一致性矩阵（一致阵）性质：性质：A的秩显然1Rank(A)=1/A 的唯一非 0 的特征根为 n性质2： A 的任一列（行）向量都是对应特征根n 的特征向量：即有 (特征向量、特征值)：W1W1W1W1W2WnW1W2W2W2W2AW2Wn，则向量 WW 1WnWnWnW3W1W2Wn5W1W1W 1W1nW 1W1W2W nW2nW 2满足： AWnWWnWnW nW1W2W nWnnW n即： ( A nI )W0我的理解 :通过 A( 变换 A 与 W 中的

11、元素有关 ) 变换将一致 W 矩阵变成权向量 W( 特征向量 ),如果正互反矩阵 W接近一致矩阵 ,同样的道理变换 A 可以将 W变成权向量 (这里的权向量与 W稍有不同 )W1启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即n 个元素 W W W? W 构成的向量 W1,2,3,nW 2W n是一致矩阵A 的特征向量，则可以把向量W 归一化后的向量，看成是诸元素W W W? W1,2,3,n目标的权向量，因此，可以用求1,W2, W3,?Wn 相对于A 的特征根和特征向量的办法，求W出元素目标 O 的劝向量。解释：一致矩阵即：n 件物体M 1 , M 2 , M n ，它们重量分别为W1 , W 2

12、, , W n ，将他们两两比较W1重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量WW2右乘 A，则Wn6的特征根为n,AW1以 为特征根的特征向量为：重量向量 W2 ，则归一化后的特征向量nW：WnW1 ，就表示诸因素 C ，C， ，C对上层因素 O 的权重， 即为WWi112nW权向量，此种用特征向 量求权向量的方法称特征根法，分析：W1若重量向量WW2 未知时，则可由决策者对物体M 1 , M 2 , M n 之间两两相比关系，Wn主观作出比值的判断，或用Delphi （调查法）来确定这些比值，使A 矩阵（不一定有一致性）为已知的， 并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵A ，并且此A （不

13、一致）在不一致的容许范围内，再依据：A 的特征根或和特征向量W 连续地依赖于矩阵的元素 aij ，即当 aij 离一致性的要求不太远时， A 的特征根 i 和特征值（向量） W 与一致矩阵 A 的特征根 和特征向量W 也相差不大的道理： 由特征向量 W 求权向量 W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。问题： Remark以上讨论的用求特征根来求权向量W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题：1 一致阵的性质1 是说：一致阵的最大特征根为n （即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互7反矩阵A 的最大特征

14、根maxn 时， A 是否为一致阵？2 用主观判断矩阵A 的特征根和特征向量W 连续逼近一致阵A 的特征根和特征向量W时，即：由 limkkk得到： lim W kWk即：lim A kAk是否在理论上有依据。3一般情况下，主观判断矩阵A 在逼近于一致阵A 的过程中，用与A 接近的 A* 来代替 A，即有 A*A，这种近似的替代一致性矩阵A 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要两两比较构造主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得

15、（见教材P325 ，定理 1 、定理 2）。第3 个问题： Satty给出一致性指标（TH1,TH2介绍如下：）附：）对于正矩阵A （ A 的所有元素为正数）：（教材，比隆Th1P326perronTh1970（1） A 的最大特征根是正单根；（2）对应正特征向量W （ W 的所有分量为正数）1（3） limAk eW其中： e1为半径向量，W 是对应的归一化特征向量TkkeA e1证明：（ 3）可以通过将A 化为标准形证明Th2 ： n 阶正互反阵A 的最大特征根n ；当n 时， A 是一致阵8五、一致性检验一致性指标：1一致性检验指标的定义和确定C I （平均值）的定义：当人们对复杂事件的

16、各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵A ，一般不可直接保证正互反矩阵A 就是一致正互反矩阵A ，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必然导致特征值和特征向量之间的误差()及 W W 。此时就导致问题A W max W 与问题 AWnW 之间的差别。（上述问题中max 是主观判断矩阵A 的特征值，W 是带有偏差的相对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵A 的一致性。因为：当主观判断矩阵A 为一致阵 A 时就有：nnnnk kakk1nA 为一致阵时有： aii1 （ aii 为对角线k 1n 1k 1k 1上的值，按照一致性矩阵的理

17、解，它应该为1）n此时存在唯一的非ma x1： Rark(4)=1， A 有唯一非O 最大特征根且n）（由一致阵性质max当主观判断矩阵A 不是一致矩阵时，此时一般有：此时，应有：maxn（ Th2 ）amaxhiin（不大理解）kmax即：maxnkk max所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，即：显然：kmaxnkmaxC I1n1n（ 1）当maxn 时，有：CI0 ，A 为完全一致性9（ 2）C I 值越大，主观判断矩阵A 的完全一致性越差，即：A 偏离 A 越远 (用特征向量作为权向量引起的误差越大)（ 3）一般 CI0 1，认为主观判断矩阵A 的一致性可以

18、接受，否则应重新进行两两比较，构造主观判断矩阵。2随机一致性检验指标R I问题：实际操作时发现：主观判断矩阵A 的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩阵的一致性要求。于是引入修正值 R I 来校正一致性检验指标：即定义 R I 的修正值表为：A 的维数123456789R I0.000.000.580.921.411.45并定义新的一致性检验指标为：C RC IR I随机一致性检验指标R I 的解释：为确定A 的不一致程度的容许范围，需要确定衡量A 的一致性指示CI 的标准。于是Satty又引入所谓随机一致性指标R I ，其定义和计算过程为：n ，随机构造正互反

19、阵A ，其元素aij (ij) 从 1 9 和 11 对固定的9 中随机取值，且满足1a ji，且1.aij与 a ji 的互反性，即：aijaii然后再计算A 的一致性指标CI ，因此A 是非常不一致的，此时，C I 值相当大 .如此构造相当多的A ，再用它们的C I 平均值作为随机一致性指标。Satty 对于不同的n( n1 11) ，用 100 500 个样本A 计算出上表所列出的随机一致性指标 R I 作为修正值表。3. 一致性检验指标的定义一致性比率C R 。由随机性检验指标CR可知：当 n1, 2 时， R I0 ，这是因为1, 2 阶正互反阵总是一致阵。对于 n3 的成对比较阵A

20、 ，将它的一致性指标C I 与同阶（指n 相同）的随机一致性指标 R I 之比称为 一致性比率 简称一致性指标，即有： 一致性检验指标的定义一致性比率10CICI定义：CR：C RRIRI当： CCIA 的不一致程度在容许范围之内，R0 1 时，认为主观判断矩阵RI可用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵A 重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵A 。注：上式 C RCIR0 1 的选取是带有一定主观信度的。I六、标度比较尺度解：在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素Ci 和 C j 对于上层因素O的影响时，採用什么样的相对刻度较好，即aij 的元素的值在（ 1 9 ）或（

21、 1 19 ）或更多的数字， Satty 提出用 1 9 尺度最好，即aij 取值为 19 或其互反数11，心理学家也9提出： 人们区分信息等级的极限解能力为7 ±2。可见对 n n 阶矩阵，只需作出n(n 1) 个判断值即可2标度 aij定义1因素 i 与因素 j相同重要3因素 i 比因素 j稍重要5因素 i 比因素 j较重要7因素 i 比因素 j非常重要9因素 i 比因素 j绝对重要2， 4， 6， 8，因素 i 与因素 j的重要性的比较值介于上述两倒数 1，1,1,1,1,1,1,1,个相邻等级之间1aij 的互反因素 j 与因素 i 比较得到判断值为23456789数，11a

22、 jiaiiaij注：以上比较的标度Satty曾用过多种标度比较层，得到的结论认为：1 9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度。Satty 曾用的比较尺度为： 1 3, 1 5, 1 6，, , 111，以及 ( d0.1) ( d0.9) ，其中 d1, 2, 3, 4111p 9P ，其中P2, 3, 4, 5 ?等共 27 种比较尺度，对放在不同距离处的光源亮度进行比较判断，并构造出成对比较矩阵，计算出权向量。同时把计算出来的这些权向量与按照物理学中光强度定律和其他物理知识得到的实际权向量进行对比。结果也发现 1 9 的比较标度不仅简单，而效果也较好（至少不

23、比其他更复杂的尺度差）因而用1 9 的标度来构造成对比较矩阵的元素较合适。七、组合权向量的计算层次总排序的权向量的计算层次分析法的基本思想：（1）计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量Wdef ：层次总排序，计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值。当然要先：构造下一层每个元素对上一次每个元素的成对比较矩阵计算出成对比较矩阵的特征向量（和法，根法，幂法）由特征向量求出最大特征根max （由和法，根法，幂法求得）用最大特征根 max 用方式阵进行一致性检，并通过。C In 及 C RC Rm a x对成对比较矩n 1R I（ 2） 并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下

24、表格形式：例，假定：上层 A 有 m 个元素，A1 , A2 , Am ，且其层次总排序权向量为a1 , a2 , a m ，下层 B 有 n 个元素B1, B2 , Bn ，则按Bj 对A i 个元素的单排序权向量的列向量为 bij ，即有：B 层总是排序权重（权向层次A1A1,A1 m量、列向量）12a1a2,ambbbmB1W1a j b1 j11121mj1ma bW2Bbbbj 2 j212222mj1mBnbbbWa bn1n 2nmnj njj 1max计算出最大特根（方法：和法、根法、幂法）nC Imax一致性检验C In1一致性检验比率mCICICRa j CI 301否？j

25、检验 CRmR Ia j RI jj注：若下层元素Bk 与上层元素A j 无关系时，取bkj0m总排序权向量各分量的计算公式：W ia j bij (i 1, , n)j1(3) 对层次总排序进行一致性检验：从高层到低层逐层进行，如果如果 B 层次某些元素对Aj 单的排序的一致性指标为CI j ，相应的平均随机一致性指标为ma j CI jRI j ，则 B 层总排序随机一致性比率为：C Rj 1 ma j RI jj 1当 CR0 1 时，认为层次总排序里有满意的一致性，否则应重新调整判断矩阵的元素取值。八、层次分析法的基本步骤：（ S1）建立层次结构模型将有关因素按照属性自上而下地分解成若

26、干层次：同一层各因素从属于上一层因素，或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的影响。13最上层为目标层（一般只有一个因素），最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有1 个或几个层次，通常为准则层或指标层。当准则层元素过多（例如多于9 个）时，应进一步分解出子准则层。（S2 ）构造成对比较矩阵，以层次结构模型的第2 层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1 9 比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。（S3 ）计算（每个成对比较矩阵的）权向量并作一致性检验对每一个成对比较矩阵计算最大特征根max 及对应的特征向量（和法、根法、幂法等）W1WW

27、n利用一致性指标CI ，随机一致性指标C R 和一致性比率作一致性检验C ICRR IW1若通过检验（即CR0.1 ，或 C I0.1 ）则将上层出权向量W归一化之后W n作为（ B j 到 Aj ）的权向量（即单排序权向量）若 CR0.1 不成立，则需重新构造成对比较矩阵（S4 ）计算组合权向量并作组合一致性检验即层次总排序W1利用单层权向量的权值W jj1, m 构组合权向量表：并计算出特征根，组Wn合特征向量，一致性14上单W1层AA1,Am计算组合权向量 W层重11权量Wn向m下层量a1a2,am其中 Wia Wjij层次j 1mB1WWWW1a j b1 j11121mj1WWWmW

28、2j 2 jB212222ma bj1WWWa bmBnn1n 2nmWnj njj 1(i )最大特征根max和法、根法、幂法( j )maxn一致性检验一致性随机检验CICI jCI0.1 ?n1RIRI j 对照表m一致性比率CRCICRRIa j CI jCR0 1 ？jma j RI 2 jjW1W1若通过一致性检验，则可按照组合权向量W的表示结果进行决策（ WWnWn中 Wi 中最大者的最优），即： W *max W : W iW1 ,W n T若未能通过检验，则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率，CR 较大的成对比较矩阵九、特征根的近似求法（实用算法）层次分析法的基本思路是计

29、算上层每个元素对下一层次各元素的权向量（即最大特征根15W1max 对应的特征向量W），以及组合权向量及一致性检验问题。Wn计算判断矩阵最大特征根和对应阵向量，并不需要追求较高的精确度，这是因为判断矩阵本身有相当的误差范围。而且优先排序的数值也是定性概念的表达，故从应用性来考虑也希望使用较为简单的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法：“和法”、“根法”、“幂法”，具体如下：1“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解）Waij（S1 ）将矩阵 A(aij ) nxm 的每一列向量的归一化得：n(利用数据验证即为：每个ijaiji 1位置的数除以该列的合计)（S2 ）对 Wij 按行求和得：

30、Wi（S3 ）将 Wi 归一化，即有：W in Wijj1W1Win ，则有特征向量：WWiWni 1W1（S4 ）计算与特征向量W对应的最大特征根max 的近似值：1 n( AW ) imaxn i 1WiWn此方法：实际上是将A 的列向量归一化后取平均值作为A 的特征向量。解释：当 A 为一致矩阵时，它的每一列向量都是特征向量W可以在 A 的不一致性不严重时，取 A 的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的（有依据的） 。2“根法”求最大特征根特征向量近似值：步骤与“和法”相同，只是在（S2）时：对归一化后的列向量按行“求和”改为按行“求积”再取n 次方根，即：Wi1n nWij。j1即有具体步骤：16aij(S1) 将矩阵A ( a ij ) min 的每一列向量归一化得：Wijnaiji 1aij（S2 ）对归一化以后的列向量各元素：W ijnaiji 11nn按行“求和”并开n 次方根