小船渡河问题

1、小船渡河问题小船渡河的问题 , 可以分解为它同时参与的两个分运动, 一是小船相对水的运动 （ 设水不流时船的运动 ,即在静水中的运动 ）, 一是随水流的运动 （ 即水冲船的运动 ,等于水流的运 动）, 船的实际运动为合运动 .两种情况：船速大于水速；船速小于水速。 两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。【例 1】一条宽度为 L 的河，水流速度为 v水 ，已知船在静水中速度为 v船 ，那么： （1）怎样渡河时间最短？（2）若 v船 v水 ，怎样渡河位移最小？（ 3）若 v船 v水 ，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？ 解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一

2、是 小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示， 船头与河岸垂直渡河，L渡河时间最短： t min。v船V船V合此时，实际速度（合速度）v合22 v船v水V水22实际位移（合位移） sLL v 船v 水sinv船（ 2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L，必须使船的合速度 v 合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0 。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度，所以有v 船 cosv 水 ，即v水 arccos 。因为为锐角，0 cos 1 ，所以 只有在 v船 v水 时，船头与河岸上游的夹角arccosv 水 ，船才有可 v船能垂直河岸渡河

3、，此时最短位移为河宽，即smin L 。实际速度（合速度） v合 v船 sin ，运动时间 tLv合Lv船sin3）若 v 船 v水 ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如右图所示， 设船头 v 船与河岸成角。 合速度 v 合 与河岸成角。 可以看出： 角越大，船漂下的距离 x 越短，那么，在什么条件下角最大呢？以 v 水的矢尖为圆心， v 船为半径画 圆，当 v 合与圆相切时， 角最大， 根据 cosv船 ，船头与河岸的夹角应为arccosv船 ，v水v水此时 渡河的最短位移：LLv 水scosv船渡河时间： tL， v船 sin船沿河漂下的最短距离为：xmi

4、n(v水v船 cosLv船 sin误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最 小对应。【练习 1】小河宽为 d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水 kx，k 4v0 ，x 是各点到近岸的距离， 小船船头垂直河岸渡河， 小船划水速度为 v0 ， d则下列说法中正确的是（ ）A. 小船渡河的轨迹为曲线B. 小船到达离河岸 d 处，船渡河的速度为2v020C. 小船渡河时的轨迹为直线D. 小船到达离河岸 3d / 4处，船的渡河速度为 10v0【练习 2】小船过河 ,船对水的速率保持不变 .若船头垂直于河岸向前划行 ,则经 10min可 到达

5、下游 120m 处的对岸 ; 若船头指向与上游河岸成角向前划行 , 则经可到达正对岸 , 试问 河宽有多少米 ?例 2】如图 1 所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0 拉水平面上的物体 A，当绳与水平方向成角时，求物体A的速度。图1解：本题的关键是正确地确定物体 A的两个分运动。 物体 A的运动 （即绳的末端的运动） 可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于 v1 v0 ；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度的值。这样就可以将 vA按图示方向进行分解。 所以v1及v2实际上就是 vA的两个分速度， 如图 1所示，由此可得 vA1cosv0。cos练习 3】如图所示 , 在水平地面上做匀速直线运动的汽车 , 通过定滑轮用轻绳吊起一个物体 m,若汽车和物体 m在同一时刻的速度分别为A. 物体 m 做匀速运动且 v1=v2B. 物体 m 做减速运动且 v1<v2C. 物体 m 做匀加速运动且 v1>v2D. 物体 m 做加速运动且 v1>v2v2P点时，绳子与水平方向的练习 4】如图所示，汽车以速度 v 匀速行驶，当汽车到达夹角为，此时物体M的速度大小为、v0<v、以上答案都不对