第讲余数问题

1、第十讲 余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题： 带余除法。一般地，如果.是整数，b是整数（b0），那么一定有另外两个整数q和r，使得 ÷bqr 或 b×qr当r=0时，我们称能被b整除。当r0时，我们称不能被b整除，r为除以b的余数，q为除以b的不完全商(也简称为商)。带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。 余数周期。这其中又分为递推数列（给一串数，要求第

2、个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。 同余问题。1、什么是“同余”？整数和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数、b对于模c同余。记作： b （mod c）例如：15÷43323÷453 15和23对于除数4同余。记作：15 23 （mod4） 可以理解为15和23除以4的余数相同。2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1： 如果 b (mod m)， 则m（b） 若两数同余，他们的差必

3、是除数的倍数。例如， 73 23 (mod 10) 则 10（7323） 73与23的差是10的倍数。同余性质2： 如果 b (mod m)，c d (mod m), 则 ± c b ± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。两数差的余数等于余数的差。例如， 73 3 (mod 10) 84 4 (mod 10) 73+84 3+4 7 (mod 10) 8473431 (mod 10)同余性质3： 如果 b (模m)，c d (模m), 则 × c b×d (模m) 两数积的余数等于余数的积。例如， 73 3 (模10) 84 4 (模10)

4、73×84 3×4 2 (模10) 同余性质4： 如果 b (模m)则 n bn (模m) 某数乘方的余数，等于余数的乘方。 例如，401 （mod13） 40311311 （mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。4、 “物不知其数”。与同余问题相对应的是“物不知其数” ，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求

5、这个数。” 这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。 我们在解决 “物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3 绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3绝招三：中国剩余定理。 绝招四：逐级满足法。例1 （31303031）被13除所得的余数是多少? 分析： 31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，时，5n被

6、I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，8，l，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。即3130除以13的余数为12。 30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。所以，（31303031）被13除所得的余数是I24133 解： 315 （模13） 3130530 5212 （模13） 304 （模13） 3031431414 （模13） 313030311

7、243 （模13） 答：（31303031）被13除所得的余数是3。 点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。例2 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，十2，十5，则这个自然数是多少?分析： 根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为)。既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。29023357 23319538 29019595除数是57、38、95的公约数， （57，38，95）19 答：这个自然数是19。例3 学前班有几十位小朋友，老师买

8、来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是123，问学前班有多少位小朋友？分析： 设分完后余下苹果个，余下饼干2个，余下糖3粒。 176÷人数A个 216÷人数B个2 324÷人数C个3 176×2216136； 176×3324204 （136，68，204）68 学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。 检验：176÷345个6 216÷346个12 324÷349个18 3

9、4人符合题意。 检验：176÷682个40 216÷683个12 68人不符合题意。 答：学前班有34位小朋友。 例4 200以内除以3余I，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个？分别是多少？分析： 通过观察我们发现，除数和余数的差都为2。 被除数补上2之后，除以3、4、5都能整除；也就是说，被除数补上2之后是3、4、5的公倍数。3，4，560，补上2之后是60的倍数。200以内60的倍数有60、120、180共3个。相应的，符合要求的自然数也有3个，分别是：58、118、178。例5 （1998年小学数学奥林匹克预赛）某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那

10、么这个数的最小可能值是 。分析： 观察到11813103，某数补上3之后是11和13的公倍数。 11，13 11×13143设某数为143n3。 143n7n （模17） 33 （模17） 143n37n3 （模17） 只有当n7时，7×7346，45÷17余12。 n最小等于7，那么这个数的最小可能值是143×73998 答：这个数的最小可能值是998 。例6 （2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赉试题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是 ， ， 。分析： 设所得的商为，余数为b （1

11、9b）（23b）（31b）2001 733b2001 b19 2001÷732730 27，b10 这三个数分别是19×2710523；23×2710631；31×2710847； 答：这三个数分别是523、631、847。超 常 挑 战三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少? 分析： 设这三个自然数分别为1，1 。5的倍数7的倍数原数12倍222转化272727既是5的倍数也是7的倍数，是5和7的公倍数。5，735， 设 2735K，（K为自然数） 当K1时，2735 21 120是5的倍数；21是7的倍数；1

12、22是11的倍数。家 庭 作 业1、 著名的裴波那契数列是这样的：l、2、3、5、8、13、21、，这串数列当中第2010个数除以3所得的余数为多少?分析： 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。根据“两数和的余数等于余数的和”将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： I、l、2、0、2、2、1、0、I、l、2、0、2、2、1、0、 裴波那契数列被3除的余数每8个余数为一个周期循环出现。由于2010÷82512，所以第2010项被3除所得的余数与第2项被3除所得的余数相同，余数为1。2. 一个数去除70、103所得的余数为、22，求的值。解：用数学表

13、达式表述题意 70÷nAa 103÷nB2a2 把式转化为（70×22）÷n2A2a2 70×22142 142与103除以n的余数相同，根据同余的性质定理（1），n能整除142与103的差。14210339，n能整除39，n是39的约数。 39的约数有1、3、13、39，经检验，n13。 70÷1355 103÷13712（122×52） 所以，n53. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？ 解：设这个大于10的自然数为n。 根据同余的

14、性质定理（二），两数和的余数等于余数的和。用n去除90、164后所得的两个余数的和等于用n去除220所得的余数，而90164254。254和220除以n所得的余数相同，于是25422034是n的倍数，n是34的约数。34的约数有1、2、17、34，因为n是大于10的自然数，所以n只能是17或34。 当n34时，90÷34222；164÷34428；220÷34616 222816 所以，n34 当n17时，90÷1755；164÷17911；220÷171216 51116 所以，n17 答：符合要求的自然数是17。 .4. 一个小于

15、200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少?解： 先把已知条件用数学表达式写出来，设所求的自然数为N。 N÷118 N÷1310 这两个除法算式的余数与除数的差都是“3”， 11813103。把被除数N加上3之后除以11和13都能整除，也就是说（N3）是11和13的公倍数。11，13 143，1433140，140就是所求的数。5. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余l，求满足条件的最小的自然数。解：用数学式子表示题意 N÷53 N÷64 N÷71根据前两个条件，N2后除以5和6都能整除，没有余数。N2是5和6的公倍数，N比5

16、和6的公倍数少2，符合前两个条件的最小的自然数是5×6228。在比5和6的公倍数少2的数中寻找除以7余1的数。5和6的最小公倍数是30。3022830×225830×328830×4211830×52148除以7的余数02461 答：除以5余3，除以6余4，除以7余1的最小的自然数是148。6、 （2004年福州市“迎替杯”小学数学竞赉试题） 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是 。解： 设这个自然数除以11的商和余数都是A，除以9所得的余数是B。 这个数÷11AA 这个数11A

17、A12 A （A11） 这个数÷93BB 这个数27BB28B （B9） 12A28B 3A7B A7, B3 这个数12 A12×7 84 这个数28 A28×3 84 答：这个自然数是84。尖子班学案【学案1】 （2007年实验中学考题） 1222324252622001220022除以7所得的余数为多少？解： 1222324252622001220022 1001×2003×1335 1001是7的倍数， 1001×2003×1335也是7的倍数。所以1222324252622001220022除以7所得的余数为0。【

18、学案2】甲、乙、丙三个数分别为603、939、393。某数A除甲数所得的余数是A除乙数所余数的2倍，A除乙数所得的余数是A除丙数所的余数的2倍。求A等于多少？解： 603÷AB14r 939÷AB22r 393÷AB3r 把余数处理成相同，再相减 603÷AB14r （939×2）÷AB2×24r （393×4）÷AB3×44r 393×41572，939×21878，原题转化成“1572、1878、603除以A的余数相同，求A是多少”。这三个数两两相减的差18786031275；1572603969。A是306、1275、969的公约数。（306、1275、969）513×17 A是51或17，不会是1和3。经检验，A等于17。 603÷17358 939÷17554 393÷17232 答：A等于17。【学案3】 五班同学上体育课，排成3行少l人，排成4行多3人，排成5行少l人，排成6行