立体几何题型总结

1、立体几何点线面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。1、公理的理解与应用 例1 已知为不同的平面，A、B、M、N为不同的点，为直线，下列推理错误的是 （）A.B.C.D. 且A、B、M不共线重合 例2 下列条件中，能得到平面平面的是（）A. 存在一条直线B. 存在一条直线C. 存在两条平行直线D. 存在两条异面直线例3 对于直线和平面，下列命题中的真命题是（）A. 如果是异面直线，那么B. 如果是异面直线，那么和相交C. 如果共面，

2、那么D. 如果共面，那么例4 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）ABCD2、 共线、共面、共点问题例5 如图所示，四边形ABCD中，已知(或延长线)分别与平面交于E、F、G、H必在同一直线上。3、 直线与直线之间的关系例6 给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 平行于同一直线的两条直线平行； 若直线满足则； 若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是 （ ） A、1 B、2 C、3 D、4立体几何-空间中的平行问题公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行定理：空间中如果两个角的两边分别对于平行，那么这两个角相等

3、或互补。定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。定理：一个平面与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。证明平行的方法：线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）线面平行：依定义采用反证法；根据定理证明（）；面面平行的性质定理（）面面平行的：依定义采用反证法；用判断定理或推论；用“垂直与同一条直线的两个平面平行”这一性质证明。1、平行关系的概念例1 若

4、为异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是A相交 B异面 C平行 D 异面或相交例2 垂直于同一平面的两条直线一定 A平行 B相交 C异面 D以上都有可能2、 线面平行例3 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是 （ ）A、平行 B、相交 C、在内 D、不能确定 例4 如图所示，在正方体中，E、F分别是棱BC、的中点。求证：平面.例5 如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE：EA=BF：FD. 求证：平面PBC例6 有下列几个命题 平面内有无数个点到平面的距离相等，且

5、； ，且（为平面；a,b为直线），则； 平面内一个三角形三边分别平行于平面内的一个三角形的三边，则； 平面内一个平行四边形的两边分别与平面内的一个平行四边形的两边对应平行，则。其中正确的有 例7 如图所示，B为所在平面外一点，M,N,G分别为，的重心。（1） 求证平面MNG平面ACD；（2） 求.例8 ABCD是平行四边形，点P事平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G做AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH立体几何第四讲-空间中的垂直问题定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。定理：垂直

6、于同一个平面的两条直线平行。定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。最小角定理：斜线和它在平面的射影所成角（即线面角），是斜线和这个平面的最小角，并满足设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么OAC,BAC,OAB三角的余弦关系为：只能是锐角，通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影与平面直线夹角(BAC)x

7、cos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角 证明垂直的方法：线线垂直：三垂线定理；线面垂直判断定理；勾股定理等线面垂直：判断定理；面面垂直的性质面面垂直：判断定理题型一：对空间中垂直的概念的理解例1：对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使和（ ）A 平行 B 相交 C垂直 D互为异面直线例2、用、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.A. B. C. D.题型二：线线垂直例3：如图，四面体中，求证：（三垂线逆定理）题型三：线面垂直FGEDCABA1B1D1C1例4：如图，在棱长为的正方体中，

8、分别是 的中点。（1）求证：平面平面；（2）求证：平面。例5：如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，,点是棱的中点.（）求证：平面；ABCC1B1A1D（）求证：平面；题型四：面面垂直例6：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。（1）求证：BC1/平面CA1D；（2）求证：平面CA1D平面AA1B1B。例7：正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示(1)求证：APEF；(2)求证：平面APE平面APF.知识梳理空间平面与平面的位

9、置关系1、空间两平面的位置关系：平行、相交位置关系定义图示符号语言交点个数两个平面相交斜交有一条公共直线(不垂直)无数个垂直相交如果两个相交平面所成二面角为直二面角，那么两个平面互相垂直无数个两个平面平行如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行没有2、空间两平面平行名称文字语言符号语言图形面面平行的定义没有公共点面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行垂直于同一直线的两平面平行补充平行于同一平面的两平面平行,两个平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线直线都平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面都与第三个平面相交

10、，那么交线平行。3、空间两平面垂直名称文字语言符号语言图形面面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角为直二面角面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直。4、空间角的概念二面角作法图形示例及步骤：方法定义法垂面法三垂线定理及逆定理步骤在棱上取一特殊点，分别两个面内找棱的垂线。（通常两面是等腰三角行，或对称的全等三角形）找一个垂直于二面角的棱的垂面，那么它于二面角的面的交线所成的角是二面角的平面角1、从二面角的一个面内的一点作另一个面的垂线PF，2、从垂足作棱的

11、垂线FE，3、连接PE，由三垂线定理得PEF是二面角的平面角图形综合练习1、过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD，若PA = AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 （ ）（A）30 （B）45 （C）60 （D）902、四面体ABCD中，其余棱长均为1，则二面角ABCD的大小是_ AA1BB1CC1D1DCABDC 3、正方体中，二面角的大小是_4、RtABC的斜边在平面内，直角顶点C是外一点，AC、BC与所成角分别为30和45，则平面ABC与所成角为 5、 如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（1）证明平面；（1）求异面直线与所成的角的大小；（3）求二面角的大小6、 如图，

12、四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDAD,点E是线段SD上任意一点。 （1）求证：ACBE；（2）若二面角C-AE-D的大小为，求线段的长。7、已知是正方形所在平面外一点， A B C D S.（1）求二面角的大小；（2）求与平面所成的角。8、四面体ABCD中，AB3，ACAD2，且。（1）求二面角A-CD-B的大小；（2）求异面直线AC与BD所成角的大小。A1CB1C1D1BADO9、在长方体中，与交于点.（1）求证：平面（2）求二面角的大小(结果用反三角函数值表示) ；10 、如图在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1，AB2，点E是AB上的动点。（1）若直线D

13、E与EC垂直，试确定点E的位置，并说明理由；（2）在（1）的条件下求出异面直线AD与EC所成的角；（3）在（1）的条件下求二面角DECD的大小。 立体几何-距离问题空间中的距离：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离；异面直线的距离（公垂线）。题型一：点面距离例1：已知正四棱柱的地面边长为1，则棱场为2，点E为的中点，求点到平面BDE的距离。例2：在中,AB=15，若所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 （ ）A、13 B、11 C、9 D、7练习：1、在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且则点到平面的距离为（）2、如图，为平

14、面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A，B，AA3，BB2.若二面角的大小为，求，点B到平面的距离为_; 题型二：线面距离：例3： 在长方体中,AB=2，=1,E、F分别为AB、CD的中点，求直线AF到平面的距离。题型三：面面距离：例4： 在棱长为4的正方体中，M、N、E、F分别是的中点，求平面AMN与平面BDEF间的距离。题型三：综合类型：例5：(2010北京)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），则四面体PE的体积 ( )A. 与，都有关B. 与有关，与，无关C. 与有关，与，无关D. 与有关，

15、与，无关例6：（2008 安徽理 18 本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。例7：在四面体 中，面和面都是边长为的等边三角形，且AD=。设M、N 分别是棱AB、CD的中点。 求：M、N在四面体表面上的最短距离。立体几何-夹角角问题知识点：夹角的分类：线线夹角 线面夹角 面面夹角三者在计算或证明时的转换关系：面面 线面 线线计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤，找角，证明所找的角，计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明

16、就开始计算）题型一：异面直线的夹角问题例1、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，与底面成30角.（1）若为垂足，求证：；（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；例2、如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点求异面直线NE与AM所成角的余弦值例3、已知正四面体中，各边长均为，如图所示，分别为的中点，连接，求异面直线所成角的余弦值。练习：1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2、（12分）如图,在正方体中

17、，分别是的中点。 （1）若为的中点，证明：平面平面 （2）求异面直线与所成的角来源:Z+xx+k.Com题型二：线面夹角例4、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E（如图）。现将沿折起，使二面角为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的两线与平面BCDE所成角的大小等于 例5、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一点， 设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。 例6、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD例7、如图，直三棱柱中

18、，,D、E分别是，的中点， 平面.（1）证明：AB=AC（2）设二面角A-BD-C为，求与平面BCD所成的角的大小 练习：1已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD题型三：面面夹角： 例8、如图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：二面角A-EC-B的大小的余弦值。例9：四边形为等腰梯形, ,FC面ABCD,(1) 求证: BD面AED;(2) 求二面角的余弦值.例10、如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，已知AB=3,AD=2,PD=,=(1) 证明：平面PAB(2) 求异面

19、直线PC与AD所成的角的大小(3) 求二面角P-BD-A的大小练习：CD1、如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .2、如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ( ) （A） （B） （C）三棱锥的体积为定值 （D）异面直线所成的角为定值立体几何-空间向量及其运算一、知识点精析考点一、空间向量及其加法与数乘运算1、定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模。空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为或。2、几个

20、特殊向量（1）零向量：规定长度为0的向量记作零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合时，=0.（2）单位向量：模长为1的向量称为单位向量。（3）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a。（4）相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量。在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，称为同一平面内的两个向量。3、空间向量的基础运算（1）加法：a+b,（2）减法： a-b.如图所示。（3）运算律：加法交换律 ;加法结合;数乘分配律 考点二、共线向量与共面向量 1、共线向量（1）定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的

21、有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量，记作 （2）表示： 存在实数，使唯一)（3）推论：如果为经过已知点且平行于已知非零向量的直线，那么对于空间任一点，点在直线上的充要条件是存在实数,等式；其中叫做直线的方向向量，如图所示：由，；在中如令则是线段AB的中点公式2、共面向量（1）定义：通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量（2）表示：如图，如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对、， （3）推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对，使或对空间一点O来说，有由3、空间向量基本定理:如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在一

22、个唯一的有序实数组，使其中叫做空间的个基底，都叫做基向量对于基底除了应知道,不共面外，还应明确：(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；(2)基底中的三个向量,都不是；(3)个基底是由不共面的三个向量构成一个基向量是指基底中的某一个向量（推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的有序实数组,使）考点三、空间两个向量的数量积1、空间向量夹角：空间两个向量的夹角:已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作2、定义: 叫做向量与的数量积 3、性质: ； 二、典例讲解题型一 向量的基础运算例1、直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 则 （ ）A B C D 练习、如图所示，已知空间四边形，点分别为的中点，且，用表示向量_题型二：共线与共面问题例2、在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一