气体动力学讲义吴子牛第二章流体力学问题模拟的基础知识ppt课件

1、第二章第二章 流体力学问题实验模拟的基础知识流体力学问题实验模拟的基础知识 实验研究包括现场实验(如飞行试验、水利、环境或化工中的现场测量)和实验室模拟两种方法。现场实验耗费人力，是在实验研究未能充分发展时不得已的办法，对于某些大型项目和设施来说常常是对全部研究工作最后检验以及对实验室模拟中忽略和不足之处的必要补充。实验室模拟则是利用自然现象中惊人的相似性在实验室较简单设施中作精细的观察测量，从而使人们的认识过程产生新的飞跃。第二章第二章 流体力学问题实验模拟的基础知识流体力学问题实验模拟的基础知识 在研究某些具体流动现象时，必须要考虑哪些参量在流动中起主要作用，怎样利用流动过程的相似性来系统

2、地研究它们之间的函数关系，怎样在实验室简单条件下模拟大型工程或自然现象中的大尺度现象。这些都是实验流体力学首先关心的问题，也是相似理论首先研究的问题。因此在实验研究中从一开始就需要确定实验中主要满足的相似条件，从而可以有计划地对实验作系统的组织和安排；其次，必须考虑相应的实验手段，最有效地达成实验目的。2.1 流动的力学相似流动的力学相似 由于经济上的考虑和技术上的限制，对实物进行实验会遇到很大的困难。因此很多问题就是在实验室条件下进行模型研究的。 对于模型实验研究，必须解决如何制造模型，如何安排实验，以及如何把模型实验的结果换算到实物上去等一系列问题。流动的力学相似理论，对于如何布置实验以得

3、到正确的结果，可以提供指示或答案。而总结实验结果也只是对于力学相似的流动才有可能。 2.1 流动的力学相似流动的力学相似 在流体力学的范畴内，构成力学相似的两个流动，通常一个指实际的流动现象，称为原型；另一个是在实验室中进行重演或者预演的流动现象，称为模型。所谓力学相似，系指两个流动系统中相应点处的各种物理量彼此之间互相平行指向量物理量，如速度与力等），并且互相成一定的比例指向量或标量物理量的数值，标量如压力与时间等）。对于一般的流体运动，力学相似要求满足下面几个相似：2.1 流动的力学相似流动的力学相似一、几何相似一、几何相似 模型的边界形状和原型的边界形状相似，这模型的边界形状和原型的边界

4、形状相似，这就是几何相似。设以就是几何相似。设以Ly Ly 代表原型的特征长度，代表原型的特征长度，LmLm代表模型的特征长度，以代表模型的特征长度，以LL代表原型长度代表原型长度与模型长度之比值，简称模型比尺，即：与模型长度之比值，简称模型比尺，即：.constLLmyL2.1 流动的力学相似流动的力学相似显然，面积比和体积比分别为：.2constAALmyA.3constWWLmyW2.1 流动的力学相似流动的力学相似 从理论上讲，最好能做到所有模型尺寸全按一个比尺缩小或放大，这种长、宽、高比尺均一致的模型称为正态模型。在流体力学模型实验中，通常遇到的是这类模型。在有的情况下，不能做到这一

5、点，例如进行天然河道流动的模型实验，由于天然河道的长度比宽度和水深要大得多，如果按照同一比例尺缩制模型，势必造成水深太小甚至改变了模型中水流的性质。对于这种情况，就要分别采用不同的长度比尺、宽度比尺和高度比尺，因而这种模型就改变了原有的形状。这种比尺不一样的模型称为变态模型。2.1 流动的力学相似流动的力学相似 模型与原型表面粗糙度的相似，也是属于几何相似的范畴。严格来讲，要实现这种相似是非常困难的。因而，一般情况下是不考虑粗糙度相似的。只有在流体阻力实验、附面层实验等情况下才考虑表面粗糙度的相似，此时只要使模型与原型的平均相对粗糙度相等即可，这是可以实现的。2.1 流动的力学相似流动的力学相

6、似二、运动相似二、运动相似 运动相似系指两个流动现象的运动状态与运动轨迹呈几运动相似系指两个流动现象的运动状态与运动轨迹呈几何相似；或者说，原型流动与模型流动中对应点处的速何相似；或者说，原型流动与模型流动中对应点处的速度向量是相互平行的，而且大小互成比例，即速度比尺度向量是相互平行的，而且大小互成比例，即速度比尺为：为： .constVVmyV2.1 流动的力学相似流动的力学相似 两个流动现象达成运动相似时，它们之间相应质点的运动轨迹也达成几何相似，并且通过相应线段的时间也成固定的比例。即时间比尺为：.constttmyt2.1 流动的力学相似流动的力学相似于是得到速度比尺加速度比尺与模型比

7、尺、时间比尺的关系式： .1constttLLtLtLVVtLmymymmyymyV.122222constttLLtLtLaatLmymymmyymya2.1 流动的力学相似流动的力学相似在流体机械中，对应的转速比尺和流量比尺分别为式中dy和dm分别为叶轮原型与模型的直径，Ny和Nm分别为它们的转速。 ）：.1constNNtmyN.3constQQtLmyQ.333constNdNdQQmmyyNLQmy.33constNdQNdQmmmyyy2.1 流动的力学相似流动的力学相似三、动力相似三、动力相似动力相似系指原型流动和模型流动中对应点作用着同样性质的动力相似系指原型流动和模型流动中对

8、应点作用着同样性质的外力，并且互相平行大小互成比例，即力的比尺为：外力，并且互相平行大小互成比例，即力的比尺为：由牛顿第二定律得知：由牛顿第二定律得知：因而有：因而有： .constFFmyFWamaFaLmmmyyymyFaWaWFF32.1 流动的力学相似流动的力学相似而加速度比尺可写成于是可得到力的比尺：可以写成：.2consttLtVa222223VLLLtLLFt2222mmmmyyyyVLFVLF2.1 流动的力学相似流动的力学相似显然， 为一个无量纲数，称为牛顿数，用Ne表示。即于是有： 就是说，如果两个几何相似的流动现象达成动力相似，则它们的牛顿数必相等；反之如果两个流动现象的

9、牛顿数相等，那么它们之间是动力相似的。这个最基本的动力相似条件称为牛顿相似定律。22VLF22VLFNemyNeNe)()(2.1 流动的力学相似流动的力学相似四、热相似四、热相似 热相似的条件是：对于几何相似的流场，还必须要温度热相似的条件是：对于几何相似的流场，还必须要温度场相似和热流量相似即要求对应点的温度成比例，并是，场相似和热流量相似即要求对应点的温度成比例，并是，在对应点上，通过其相互对应的微元上的热流量方向相问、在对应点上，通过其相互对应的微元上的热流量方向相问、大小成比例若我们用大小成比例若我们用麦示温度用麦示温度用q q表示热流量，则有：表示热流量，则有：.constmy.c

10、onstqqmyq2.1 流动的力学相似流动的力学相似 显然，要使模型中的流动与原型相似，除了上述的几何相显然，要使模型中的流动与原型相似，除了上述的几何相似、运动相似和动力相似热相似外，还必须使两个流似、运动相似和动力相似热相似外，还必须使两个流动的边界条件和起始条件相似。上述的这种物理相似称为动的边界条件和起始条件相似。上述的这种物理相似称为流动的力学相似。流动的力学相似。 2.1 流动的力学相似流动的力学相似 流体的运动微分方程式，实际上就是惯性力、压力、弹性力、粘性力流体的运动微分方程式，实际上就是惯性力、压力、弹性力、粘性力以及其他外力的平衡关系式。在两个力学相似的流动中，对应质点上

11、这以及其他外力的平衡关系式。在两个力学相似的流动中，对应质点上这些力应当方向一致，大小互成比例。因而，力学相似的两个流动具有相些力应当方向一致，大小互成比例。因而，力学相似的两个流动具有相同的微分方程式。反之，如果两个流动具有相同的运动微分方程式，则同的微分方程式。反之，如果两个流动具有相同的运动微分方程式，则它们将具有运动相似和动力相似的性质，而几何相似实质上是包含在动它们将具有运动相似和动力相似的性质，而几何相似实质上是包含在动力相似和运动相似之中的。因而，如果两个流动满足同一运动微分方程，力相似和运动相似之中的。因而，如果两个流动满足同一运动微分方程，并且具有相似的边界条件和起始条件，那

12、么，这两个流动就是力学相似并且具有相似的边界条件和起始条件，那么，这两个流动就是力学相似的。的。2.2模型相似准则模型相似准则 牛顿相似定律是判别两个流动动力相似的一般规律。牛顿相似准则中的外力F是作用于流体的所有外力之和。这个相似对作用于流体的各种不同性质的力是普遍适用的。在自然界，作用于流体的外力是多种多样的，例如重力，阻力，弹性力，压力，表面张力等。一般情况下，某一流动现象发生的原因，不外是上述5种力的某几种同时作用下发生的。动力相似中应该包括所有外力相似，而实际上同时满足所有外力是不可能的。对于某个具体的流动来说，总有一种和两种外力居于支配地位，它们决定着流体的运动状态。因此在模型实验

13、中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条件，就能基本上反映出流体的运动状态。这种只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则和特种模型定律。2.2模型相似准则模型相似准则一、重力相似准则佛汝德相似准则）一、重力相似准则佛汝德相似准则） 如果两个相似水流中起主导作用的是重力，作用于原型和模如果两个相似水流中起主导作用的是重力，作用于原型和模型的相应部分的重力分别以型的相应部分的重力分别以Gy和和Gm表示，由于表示，由于 ，因，因而重力的比尺为：而重力的比尺为：要使在重力作用下原型与模型相似，同样必须满足动力相似的要使在重力作用下原型与模型相似，同样必须满足动力相似的一般规律，而由于作用力一般规律，

14、而由于作用力F中仅考虑重力中仅考虑重力G，因而，因而F=G，即。，即。于是得到：于是得到： gWG3LgmmmyyymyGWgWgGG322LgVL2.2模型相似准则模型相似准则上式可以简化为：或者：而 为一无量纲的纯数，代表惯性力与重力的比值，用Fr表示，称为佛汝德数。即：则有 上式表明，如果两个几何相似的水流在重力作用下达成动力相似，则它们的佛汝德数必相等，反之，如果两个水流的佛汝德数相等，则这两个水流一定是在重力作用下动力相似的。这就是重力相似准则，又称佛汝德相似准则。12LgVmmmyyyLgVLgV22gLV2gLVFr2myFrFr)()(2.2模型相似准则模型相似准则 在水流状态

15、中，急流跟缓流的性质很不一样。缓流中干扰微波可以往上游传播，急流则不能。这两种水流的定量界限就是用佛汝德数Fr来表示的。佛汝德数综合反映了水流运动的惯性作用和重力作用。当惯性力作用大于重力作用时，Fr1，水流的性质为急流，当重力作用大于惯性力作用时，Fr2320） 式中， , 管壁绝对粗糙度，单位 mm d 管径，单位 mm 25. 0)Re64(11. 0d2.2模型相似准则模型相似准则 尼古拉兹为确切表征管壁粗糙特性对阻力系数的影响而进行了一系列管流实验。发现当紊流发展到相当程度时，阻力系数的数值 与雷诺数Re无关，而只是相对粗糙度的函数。此时，沿程水头损失与流速的平方成正比，所以此类流动

16、称为阻力平方区的紊流。工程实际中的流动多属于阻力平方区的紊流。尼古拉兹提出阻力平方区的阻力系数公式为： 在阻力平方区内的流动，满足紊动阻力相似的准则是它们的相对粗糙度相等，即： 或者： 阻力平方区称为自动模拟区。 2)21lg274. 1 (185. 0)21(4160Remymmyydd2.2模型相似准则模型相似准则三、压力相似准则欧拉相似准则）三、压力相似准则欧拉相似准则） 如果两个相似流动中起主导作用的力是压力，作用于原如果两个相似流动中起主导作用的力是压力，作用于原型和模型的相应部分的压力分别以型和模型的相应部分的压力分别以Py和和Pm表示，由于表示，由于P=pA因而压力比尺：因而压力

17、比尺： 要使在压力作用下原型和模型流动动力相似，同样必须要使在压力作用下原型和模型流动动力相似，同样必须满足牛顿相似定律，于是得到：满足牛顿相似定律，于是得到：化简后得到：化简后得到： 2LPmmyymyPApApPP222LpVL12VP2.2模型相似准则模型相似准则于是得到：而 为一个无量纲的数，它代表压力表面力与惯性力的比值，用Eu表示，称为欧拉数。 此即如果两个几何相似的流动在压力表面力作用下达成动力相似，则它们的欧拉数相等；反之，如果两个流动的欧拉数相等，则这两个流动一定是在压力表面力作用下动力相似。这就是压力相似准则，或称为欧拉相似准则。 在一般情况下欧拉数不是决定性准则，因为压力

18、差的出现是由于流体运动的结果，并不决定流动相似，一般可用牛顿数来代替。对于动力载荷，如管中的水击，空泡现象和空泡阻力问题，则要满足欧拉相似准则。2VpEu22mmmyyyVpVp2Vp2.2模型相似准则模型相似准则四、弹性力相似准则柯西相似准则或马赫相似准则）四、弹性力相似准则柯西相似准则或马赫相似准则）如果两个几何相似的流动中起主导作用的力是弹性力，作用于如果两个几何相似的流动中起主导作用的力是弹性力，作用于原型和模型的相应部分的弹性力分别以原型和模型的相应部分的弹性力分别以Ey、Em表示。弹性力表示。弹性力的表达式为：的表达式为： 式中式中E0 单位面积上的弹性力，称为弹性系数。因而弹性力

19、单位面积上的弹性力，称为弹性系数。因而弹性力比尺为：比尺为： 弹性力作用下原型与模型流动动力相似，同样必须满足牛顿弹性力作用下原型与模型流动动力相似，同样必须满足牛顿相似定律，于是得到：相似定律，于是得到： 化简后得到：化简后得到： 即：即：AEE02000LEmmyymyEAEAEEE2220LEVL102EVmmmyyyEVEV02022.2模型相似准则模型相似准则而 为一无量纲的数，代表惯性力与与弹性力的比值，用Ca表示，称为柯西数。即于是，可有： 上式表明，如果两个几何相似的流动在弹性力作用下达成动力相似，则它们的柯西数相等，这就是弹性力相似准则，或称为柯西相似准则。 在水力学中，柯西

20、相似准则应用较少。在空气动力学中柯西相似准则应用较为普遍。对于弹性气体即可压缩气体），弹性摸数可用下式表示：式中： 为气体介质的声速02EV02EVCamyCaCa)()(20addpEddpa 2.2模型相似准则模型相似准则于是 :两边开平方：而 是一个无量纲的数，用M表示，称为马赫数。于是 上式表明，如果两个几何相似的气流在弹性力作用下达成动力相似，则它们的马赫数必相等，反之，如果两个气流的马赫数相等，则这两个气流一定是在弹性力作用下动力相似的。这就是马赫相似准则。当气流速度大于100m/s时，气体压缩性就比较显著，如果不去研究分离或激波与附面层的相互干扰问题，则模型流动与原型流动保证动力

21、相似的条件就是满足马赫相似准则，即保证它们的马赫数相等。2222mmyyaVaVmmyyaVaVaVmyMM2.2 模型相似准则模型相似准则 五、时间相似准则斯特罗哈相似准则）五、时间相似准则斯特罗哈相似准则） 非定常流动时，原型与模型要保证力学相似，还必须满足非定常流动时，原型与模型要保证力学相似，还必须满足时间相似条件，运动相似条件下，速度比尺可表示为：时间相似条件，运动相似条件下，速度比尺可表示为：而而 为一无量纲的数，用为一无量纲的数，用St表示，称为斯特里哈数。于是可以表示，称为斯特里哈数。于是可以写成：写成： 该式表明如果两个几何相似的流动在非定常流动下达成力该式表明如果两个几何相

22、似的流动在非定常流动下达成力学相似，则它们的斯特里哈数必相等；反之，如果这两个流学相似，则它们的斯特里哈数必相等；反之，如果这两个流动的斯特里哈数相等，则这两个流动一定是非定常流动下动动的斯特里哈数相等，则这两个流动一定是非定常流动下动力相似的。这就是非定常流动的相似准则，称为时间相似准力相似的。这就是非定常流动的相似准则，称为时间相似准则、均时性相似准则，或称为斯特罗哈相似准则。则、均时性相似准则，或称为斯特罗哈相似准则。tLV1LtVmmmyyyLtVLtVLVtmyStSt)()(2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 一、量纲和量纲和谐的概念一、量纲和量纲和谐的概念 任何一个

23、物理规律所反映的都是物理量之间的关系，而物任何一个物理规律所反映的都是物理量之间的关系，而物理量是需要用某种物理单位来量度的。（表示物理量的类别，理量是需要用某种物理单位来量度的。（表示物理量的类别，如长度、质量、时间和力等称为量纲在流体力学中，诸如如长度、质量、时间和力等称为量纲在流体力学中，诸如长度、质量、体积、速度、密度、力和力矩等物理量都有位，长度、质量、体积、速度、密度、力和力矩等物理量都有位，称作有量纲量；而机翼的攻角、气体的比热比等是无量纲量。称作有量纲量；而机翼的攻角、气体的比热比等是无量纲量。表示某种物理规律的函数形式不应受到单位选取的影响。在表示某种物理规律的函数形式不应受

24、到单位选取的影响。在国际单位制中，以长度、质量和时间作为基本量纲，分别用国际单位制中，以长度、质量和时间作为基本量纲，分别用LL，MM，TT来表示。其他各物理量的量纲，可以用基本量来表示。其他各物理量的量纲，可以用基本量纲的不同指数幂的乘积来表示。例如：纲的不同指数幂的乘积来表示。例如：2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 速度 V 单位为米/秒 力 F 导出单位为千克米/秒2牛顿 能量e 导出单位为牛顿米焦耳 压力p的量纲 导出单位为牛顿米-2帕 密度的量纲 单位千克米-3； 粘性系数的量纲 单位 牛顿米/秒2帕米 重度的量纲 单位牛顿米-3 加速度的量纲 单位米/秒2 运动粘性

25、系数的量纲 单位 米秒-11 LTV2 MLTF22TMLe21TMLp3 ML11TML22TML2 LTa12TL2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 在物理学中，不同量纲的物理量不能相加减，或方程中各项的量纲都要一致，这就称为量纲和谐。换句话说，就是任何完善正确的物理方程，其中各项的量纲必须相同；式中各项的数值可以随选用的度量单位而变动，但是其变化率与单位大小变换之比率相当的。根据量纲和谐的特性，量纲分析可以用来检验复杂方程是否有错误，以及经验公式系数的量纲是否正确。2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 二、量纲分析方法的应用二、量纲分析方法的应用 由量纲和量纲和

26、谐的概念，可以得出以下由量纲和量纲和谐的概念，可以得出以下4点结论：点结论： 1自然界物理现象的规律，可以用完整的物理公式来表示；自然界物理现象的规律，可以用完整的物理公式来表示； 2完整的物理公式不随采用的计量单位不同而改变公式的完整的物理公式不随采用的计量单位不同而改变公式的形式；形式； 3完整的物理公式必须符合量纲和谐的条件；完整的物理公式必须符合量纲和谐的条件； 4量纲和谐的条件为各个变量积的基本量纲指数彼此相等。量纲和谐的条件为各个变量积的基本量纲指数彼此相等。 量纲分析就是利用以上量纲分析就是利用以上4点结论来探求物理现象函数关系点结论来探求物理现象函数关系的一种方法。的一种方法。

27、2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 假定某个物理现象可以以一个变量积来表示，即：式中：x1、x2、x3、xn及Y为影响物理现象的因素，它们相应的量纲为: (i=1,2,3,n)式中ABC为基本量纲。由量纲和谐的条件可知，各变量的指数必须满足下列方程： 此即量纲和谐方程组，解之，便得到指数ki 的数值。若ki 的数目n多于方程个数，即基本量纲个数m，则有n-m个指数可以用其他指数值的函数来表示。nknkkkxxxxY321321iiicbaiCBAxcbaCBAYckckckckcbkbkbkbkbakakakakannnnnn3322113322113322112.3量纲分析和量

28、纲分析和 定理的应用定理的应用 量纲分析方法用来探求物理现象函数关系的具体步骤如下： 1找出影响一物理现象的独立物理量，假定函数关系变量积的关系），这一步骤是量纲分析方法是否得出正确正确结果的关键； 2将各物理量的量纲用基本量纲表示，列出量纲公式； 3排列量纲和谐方程，联立解出各个物理量的指数； 4代入原假定的函数关系式，必要时将公式整理化简； 5最好通过模型实验，验证公式的形式是否正确，并且求出公式中的待定常数，建立该物理现象的经验公式。 以下通过一个流体力学具体问题的探讨，以说明量纲分析方法的具体应用。确定物体在流体中运动时由于粘滞力作用所引起的阻力问题，具体步骤如下：2.3量纲分析和量纲

29、分析和 定理的应用定理的应用 1、假定阻力的函数关系假设阻力D与表征流体性质的密度 及动力粘度 ，物体与流体的相对速度V，以及表征物体的特征面积A有关。于是可以得到阻力的函数关系为： 由于所有物理量的量纲只能是基本量纲的积和商，而不能是加和减的关系，因此上式可写成变量积的形式：2、列出量纲公式查出阻力公式中各物理量的量纲，代入以上公式可得：按基本量纲L，M，T分项归类，并整理各项指数，得L1M1T-2=L-3a-b+c+2dMa+bT-b-cAVfD,dcbaAVKD dcbaLLTMTLMLLMT2111322.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 3、求解量纲和谐方程组对于基本量纲

30、LMT来说，由于量纲和谐，上式两边的指数分别相等，即得量纲和谐方程组：解方程组，得：4、代入原式，化简公式2: 1: 123: cbTbaMdcbaLbdbcba211212.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 将a，b，c，d之值代入原假定公式，可得阻力的表达式：通常，阻力用阻力系数CD表示，即：5、通过试验，确定常数。bbbbbbAVKVLAVKAVKDRe21)(212221121bDKAVDCRe2122.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 三、定理的应用三、定理的应用 定理及应用步骤定理及应用步骤 某一物理现象，涉及到某一物理现象，涉及到n个变量，其中个变量，其中

31、m个基本变量个基本变量不能由别的变量组合的变量），则此不能由别的变量组合的变量），则此n个变量间的关个变量间的关系，可以用系，可以用n-m个无量纲的个无量纲的 项的关系式来表示，即项的关系式来表示，即此即著名的此即著名的 定理，也称为布金汉定理，是量纲分析的一定理，也称为布金汉定理，是量纲分析的一般定理。般定理。0),(21mnF2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 以一个实例来说明。 设影响圆球在液体中运动的阻力与液体的密度 和动力粘度 ，圆球直径d，相对速度V等因素有关系，则可得如下的函数关系：两边除以 ，得：左边已经无质量的量纲M，所以右边也必须是无质量的量纲，所以),(dV

32、fD ),(dVfD),(1dVfD2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 进一步可使左边无时间的量纲T：同样：同理：式中 和 均为无量纲的量，分别以和表示，即 于是 212),(VdVfVD),(22VdfVD)(322VdfdVD221dVDVd20),(21f22dVDVd2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 结论： 1定理的主要根据是完整的物理公式必须遵循量纲和谐的基本原则； 2包括n个变量的函数关系，可用(n-m)个 项的函数来表示，m等于和少于n个变量中所包含的基本量纲的个数；3每个 项的组成为m个基本变量与其余各个变量的配合，配合的要求是各个基本变量的指数得

33、到合理的确定，而使 项不包含任何量纲。4m个基本变量可以从n个变量中选择，但必须包含n个变量中的所有的基本量纲。5无量纲的物理量如坡度，角度等本身便是 项。6公式中各 项的自乘及相互乘除，其物理意义不变。因而在组成各 项时，各个被组成的变量的指数可以任意选择，一般选1或者1。2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 应用定理来探求物理现象函数关系的具体步骤如下：应用定理来探求物理现象函数关系的具体步骤如下： 1找出影响某物理现象的找出影响某物理现象的n个独立物理变量。这一个独立物理变量。这一步是关键步是关键; 2从从n个变量中选择个变量中选择m个基本变量，基本变量的条件个基本变量，基本

34、变量的条件为其量纲中包括为其量纲中包括n个变量中所有的基本量纲。个变量中所有的基本量纲。m一般一般等于这些变量所涉及的基本量纲的个数。基本变量应等于这些变量所涉及的基本量纲的个数。基本变量应选取最简单。最有代表性和容易测得的物理量，如物选取最简单。最有代表性和容易测得的物理量，如物体的长度，流体的密度和粘度，相对速度等。体的长度，流体的密度和粘度，相对速度等。 3排列排列n-m个项，如果该物理现象中的个项，如果该物理现象中的m个基本变个基本变量为，各个被组成的变量为量为，各个被组成的变量为Qi ,则各个项的组成为：则各个项的组成为： 指数指数k一般取一般取-1或或1，ai bi ci为待定的指

35、数。为待定的指数。iiicbakiiQ2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 4根据各个项必须为无量纲量的条件，决定待定指数,列出具体的项。 5某物理现象可用n-m个无量纲的 项的函数关系来表示。 6必要时，可将各 项互相或自相乘除，尽量使各个 项为一般熟悉的数，如雷诺数，马赫数等。 7根据实验，决定具体的函数关系。 应用 定理探求物理现象内在的函数关系时，首先要假定n个独立变量。而检验假定的正确与否是实验证明。因而，对某物理现象没有一定程度的理解，要正确应用定理是不可能的。下面举两个例子说明 定理的具体应用。2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 例1粘性流体在光滑圆管中

36、的均匀流动（1液流在圆管中的压力降 ，它的大小与管长L，管径d，平均流速V，液体的密度 ，和动力粘度系数 有关，则得：（2在六个变量中选取 ，V，d作为基本变量，于是可得3个项为：p0,VdLpf1111cbadVp22212cbadV3333cbadVL2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 （3） 的量纲公式为： 量纲和谐方程组为：得到： a1=1 , b1=2, c1=0于是： 1 1111321000cbaLLTMLMTLTML 111112131000bacbaTMLTML02: 01: 031: 11111bTaMcbaLEuVp212.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用

37、定理的应用 同样可以得到 : （4因而，对于任意选取的基本变量 ，V，d的函数关系可以写成： 或者 ： （5在均匀流中，压力降等于水头损失，即实验证明，水头损失hf与管长L成正比，与管径d成反比，于是上式可以写成：而由流体力学理论分析，得：所以： Re2VddL30Re,321dLEuffdLFEuRe,fhp(Re)222gVdLhfgVdLhf22Re22.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 即光滑圆管的沿程阻力系数仅仅是雷诺数的函数。对于层流运动，理论分析和实验研究都得到一致的结论，即沿程阻力系数 与雷诺数Re成反比关系，即 对于光滑圆管的均匀湍流运动，根据大量实验的研究得出，

38、沿程阻力系数 和雷诺数的四分之一次方成反比关系，即： （Re 105） Re6441Re3164. 02.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 例2风洞中模拟空气动力现象的问题（1在风洞中模拟空气动力现象的任务是利用风洞模型实验来确定飞行器或其他绕流物体的空气动力特性，也就是决定总空气动力系数和力矩系数。假定在空气中运动的物体所受到的空气动力F与物体的特征长度L、物体与气流的相对速度V、空气的密度 、动力粘度 、音速a和绝热指数k有关。于是得到如下的函数关系式：（2选用V，L和作为基本变量，应用 定理，选择各 项为：0,kaVLFf1111cbaLFV22212cbaLV33313cb

39、aLVak42.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 （3依照量纲和谐条件，求得各 项中的待定指数的数值，代入上列 项，得：（4对于所选用的基本变量，可得由各 项表示的函数式：或者： 于是得到总空气动力系数为：NeLVF221Re2VLMaV3k40,Re,4321kMNeff),(Re,22kMFNeLVF2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 （5上式表明，总空气动力系数CF是雷诺数Re，马赫数M和绝热指数k的函数。因此在设计模型实验原则上要满足雷诺准则、马赫准则和绝热指数相等的条件。但是在实际上是不可能的。因为当用同一气体进行实验时， ， ，则由同时满足两个相似准则导出

40、： 对于普通风洞，模型流速一般比原型流速低，模型尺寸也比原型尺寸小，显然不能满足上述条件。即使在特殊风洞，也不能完全满足完全相似的要求。因而在风洞中模拟空气动力学现象只能做到部分相似。mymymykkmyLL myVV 2.3量纲分析和量纲分析和 定理的应用定理的应用 （6低速流动的模拟。M0.3时，压缩性的影响比较小，因而动力相似条件只要满足雷诺准则即可。 （7高速流动的模拟。流速增加时，雷诺数的影响减小，马赫数的影响增加，空气动力特性重要取决于马赫数。此时：(Re)1FCF),(2kMFCF2.4相似理论的应用相似理论的应用 一、相似理论的基本定理一、相似理论的基本定理1 1相似第一定理相

41、似第一定理 彼此相似的现象，它们的同名相似准则必定相等，即相同彼此相似的现象，它们的同名相似准则必定相等，即相同名称的相似准则分别相等。例如在重力作用下相似的水流，名称的相似准则分别相等。例如在重力作用下相似的水流，它们的佛汝德数相等，在层流粘性力作用下相似的流动，雷它们的佛汝德数相等，在层流粘性力作用下相似的流动，雷诺数相等，在弹性力作用下相似的气流，马赫数相等。诺数相等，在弹性力作用下相似的气流，马赫数相等。 相似第一定理阐明了相似准则的存在。相似第一定理阐明了相似准则的存在。2 2相似第二定理相似第二定理 由描述现象的各物理量组成的相似准则，可表示成准则的由描述现象的各物理量组成的相似准

42、则，可表示成准则的函数。函数。 此即此即 定理，断定了联系现象的物理量之间的函数关系定理，断定了联系现象的物理量之间的函数关系转变为相似准则组成的函数关系的可能性。转变为相似准则组成的函数关系的可能性。2.4相似理论的应用相似理论的应用 3相似第三定理 凡是单值性条件相似，定型准则数值相等的那些同类现象必定彼此相似。 所谓单值性条件，指那些有关流动过程特点的条件，有了这些条件就可以把某一现象从无数现象中划分出来。单值性条件相似包括几何相似，边界条件和初始条件的相似，以及由单值性条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等。 确定了现象相似的充分条件和必要条件2.4相似理论的应用相似理论的应用 二

43、、模型实验的主要步骤二、模型实验的主要步骤 应用相似理论的三个基本定理，可以解决模型实验中的应用相似理论的三个基本定理，可以解决模型实验中的一系列具体问题。这就是：实验必须在相似的条件下进行；一系列具体问题。这就是：实验必须在相似的条件下进行；实验中应当测量包含在相似准则和流体动力系数中所有的物实验中应当测量包含在相似准则和流体动力系数中所有的物理量；实验数据应当整理成相似准则或者用其他无量纲数来理量；实验数据应当整理成相似准则或者用其他无量纲数来表示的实验曲线或函数关系式；实验结果只能在相似现象之表示的实验曲线或函数关系式；实验结果只能在相似现象之间应用和推广，因而，相似理论是指导模型实验的

44、理论。根间应用和推广，因而，相似理论是指导模型实验的理论。根据相似理论进行模型实验以求得流动规律的过程中，一般包据相似理论进行模型实验以求得流动规律的过程中，一般包括以下步骤：括以下步骤：2.4相似理论的应用相似理论的应用 1分析有关的相似准则。分析有关的相似准则。 根据流动的微分方程或者量纲分析的方法导出所有有关根据流动的微分方程或者量纲分析的方法导出所有有关的相似准则，并且研究它们的物理意义，从而判断哪些是主的相似准则，并且研究它们的物理意义，从而判断哪些是主要的，哪些是次要的，哪些可以略去。在进行流体力学的一要的，哪些是次要的，哪些可以略去。在进行流体力学的一般性实验时，就应在各种具体的

45、条件下分析有关的相似准则般性实验时，就应在各种具体的条件下分析有关的相似准则的意义和作用，例如，物体在空气中低速运动或在深水中运的意义和作用，例如，物体在空气中低速运动或在深水中运动时，只有雷诺数起决定作用；物体字空气中高速运动时，动时，只有雷诺数起决定作用；物体字空气中高速运动时，要同时考虑马赫数和雷诺数的作用；研究物体的空泡现象、要同时考虑马赫数和雷诺数的作用；研究物体的空泡现象、空泡阻力时，起决定作用的是欧拉数；研究物体的周期性运空泡阻力时，起决定作用的是欧拉数；研究物体的周期性运动或流体非定常运动时，起决定作用的是斯特罗哈数等等。动或流体非定常运动时，起决定作用的是斯特罗哈数等等。2.

46、4相似理论的应用相似理论的应用 2在相似条件下设计模型实验。在相似条件下设计模型实验。 一般情况下，模型与原型成几何几何相似，模型尺寸按照起一般情况下，模型与原型成几何几何相似，模型尺寸按照起主要作用的相似准则的要求和实验设备的条件而定。模型在主要作用的相似准则的要求和实验设备的条件而定。模型在保证单值性条件相似的情况下进行实验，保证的方法就是由保证单值性条件相似的情况下进行实验，保证的方法就是由边界条件和初始条件所组成的相似准则在数值上彼此相等。边界条件和初始条件所组成的相似准则在数值上彼此相等。3在实验中测量包含在相似准则和流体动力系数中的物理量。在实验中测量包含在相似准则和流体动力系数中

47、的物理量。 例如，在粘性力作用下的物体阻力中，为了研究阻力系数与例如，在粘性力作用下的物体阻力中，为了研究阻力系数与雷诺数的函数关系，因而需要测量物体模型的阻力，物雷诺数的函数关系，因而需要测量物体模型的阻力，物体的特征长度和迎流面积，物体与流体的相对速度，流体的体的特征长度和迎流面积，物体与流体的相对速度，流体的运动粘度和流体密度，从而确定在不同速度下阻力系数随雷运动粘度和流体密度，从而确定在不同速度下阻力系数随雷诺数变化的函数关系。诺数变化的函数关系。2.4相似理论的应用相似理论的应用 4实验数据用相似准则和其他无量纲数来表示实验数据用相似准则和其他无量纲数来表示 实验数据的处理一般有三种

48、方法：列成表格，绘制实验曲线实验数据的处理一般有三种方法：列成表格，绘制实验曲线以及建立经验公式。以及建立经验公式。5实验结果的换算和应用实验结果的换算和应用 根据相似理论进行模型实验研究时，其实验结果的应用有三根据相似理论进行模型实验研究时，其实验结果的应用有三个方面：个方面： （1确定流动的基本规律确定流动的基本规律 （2确定某些经验公式中的系数确定某些经验公式中的系数 （3确定原型流动的一些物理量和基本特征确定原型流动的一些物理量和基本特征2.5 实验设备的品质、仪器的精度和实验误差实验设备的品质、仪器的精度和实验误差 在开展一项实验课题时必须考虑以下三个基本环节：实验设备、测量仪器和实

49、验方法，它们的选择和使用对于实验的成败起着关键的作用。 判断一个设备能否满足实验要求的标准是它的气流品质和流场特性。例如，在使用一个风洞前必须知道它的速度场、方向场、静压的轴向梯度和湍流度等等。通常要求速度场在实验区的不均匀度不超出 ，方向场的偏差不超过 ，湍流度小于 ， 静压梯度沿实验段轴线的变化不超过动压%3 . 0%1 . 005 . 0%1 . 0%1 . 02.5 实验设备的品质、仪器的精度和实验误差实验设备的品质、仪器的精度和实验误差 选择仪器时首先要考虑它们的量程和动态特性是否满足要求。其他重要的性能指标如灵敏度，它为仪器读数的改变量与被测物理量的改变量之比；感度，为仪器所能反映

50、的待测物理量的最小值；准确度，仪器系统误差与量程之比；精密度，仪器重复测量时数据密集度，由量程与偶然误差之比来度量。这些指标反映使用某种仪器的测量结果所能得到的综合精度或误差。 例如，用皮托管或热线风速计测量风洞中某点的风速，在多次重复测量中所得到的结果常常会有较大的差别，它和风洞中气流速度的脉动或者气体温度的变化以及仪器稳定性有关。用两个相隔1米的压力传感器测量激波管中的激波速度时，由于高压段每次的充气压力的波动，使测量激波速度的结果存在一定的误差。2.5 实验设备的品质、仪器的精度和实验误差实验设备的品质、仪器的精度和实验误差 统计学告诉我们，由多次测量得到的物理量的最可几值是它们的算术平

51、均值假定每次测量的条件完全相同）。假设对某物理量的N次测量值为x1,x2,x3,xN,则它们的算术平均值为： 用已有的测量值对真值的估计中，算术平均值和真值的差别最小。将实验测量值和真值之差叫做某次测量的误差，则N次测量的误差的均方根值称作标准误差，故有：NkkxNx112112)(1NkkxxN2.5 实验设备的品质、仪器的精度和实验误差实验设备的品质、仪器的精度和实验误差 将实验测量值和它的算术平均值之差称作偏差，则N次测量的偏差的均方值称作方差，并有： 在许多实验中，当测量值逐渐增大时它的算术平均值与真值之差也随之增加，并表现出一定的规律，这种性质的误差称作系统误差。通常， 在实验前需要对仪器和设备进行校准，用标准仪器或者设备所得到的测量值和现用仪器或设备的测量值相比较，用一定的函数关系对它们