图形的平移和旋转

1、图形与变换一.知识要点：几何变换是将一个几何图形变换成另一个几何图形的方法，如果只改变图形的位置关系而不改变图形的形状和大小，这种变换叫做合同变换。常见的合同变换有平移变换、对称变换、旋转变换.几何变换的目的主要是把分散的条件集中在一个易于联系的图形中在坐标平面上图形变换可以归结为图形上的点的变换1 .常见的平移有：平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等2 .涉及到“对称”均可考虑对称变换.如沿等腰三角形的底边上的高翻折，沿角的平分线翻折等.3 .常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60o,绕正方形的一个顶点旋转900、绕等腰三角形的顶点旋转，旋转角等于等腰三角形的顶角等。二.考试说明：考

2、试内容考试要求ABC轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、能运用轴对称的知识解决简单问题图菱形、等腰梯形、正多形边形、圆）的轴对称性与及其相关性质.变换了解图形的平移，理能按要求作出简单平解平移中对应点连面图形平移后的图形；平能运用平移的知线平行（或在同一条能依据平移前、后的图移识解决简单问题直线上）且相等的性形，指出平移的方向和质.距离.旋了解图形的旋转，理能按要求作出简单平能运用旋转的知转解对应点到旋转中心的距离相等、对应面图形旋

3、转后的图形，识解决简单问题能依据旋转前、后的图点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形.形，指出旋转中心和旋转角.三、课时安排：7-9节四、复习建议：1 .引导学生从几何图形与变换的角度重新认识常见辅助线的添加方法；2 .注重基本图形的讲解和常规方法的落实；3 .注重解题方法：类比：从特殊到一般基本模型：从简单到复杂（化繁为简）4 .近几年中考试题的反复练习，从中体会知识要点、考点和解决问题的思路；5 .用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题，用变换的观点研究函数的平移和对称.五、基本知识点（参考总复习书）（一）平移变换1 .平移变换的两个要素：移动的方向和距离.2 .平移的

4、性质(1)平移前后的图形全等;(2)对应线段平行(或共线)且相等；(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等.3 .平移变换的作图如图，ABC平移至ABC',则有AA/BB',且AA'=BE;BB'与CC共线,且BE=CC4 .用坐标表不平移向方或向左平的个单位长度叱上一(1)点(x,y)鼎点(x+a,y)或(xa,y);(2)点(x,y)且上或向F平与-长度心叱(x,y+b)或(x,yb).(二)轴对称变换1 .轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形全等；(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分；(3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上.2 .轴对称

5、变换的作图如图，若aABCfAAB'C关于直线l对称,则有AAB®ABC'AA',BB',CC都被直线l垂直平分.3用坐标表示轴对称点(x，y)关于x轴对称的点为(x，y)；点(x，y)关于y轴对称的点为(x，y)；点(x,y)关于直线y=x对称的点为(y,x);点(x,y)关于直线y=x对称的点(一y，x)；"点(x,y)关于直线x=m对称的点为(2mx,y)；"点(x,y)关于直线y=n对称的点为(x,2n-y).(三)旋转变换1旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角2 .旋转的性质(1) 旋转前后的图形全等；(2) 对应

6、点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上)；(3) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角3 .中心对称的性质(1) 对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点；(2)对应线段平行或共线4 .中心对称的作图如图，若ABCtAAfB'C'关于点。中心对称，则对称中心O是线段AA'、BB'、CA/ C A , CA= C A .CC共同的中点，且AB/AB',AB=AB',BC/B'C,BC>B'C,5 .关于某

7、点对称的点的坐标点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（一x,v）.点（x,v）关于点（xo,v。）对称的点的坐标（2xo-x,2yo-y）二、例题分析关于平移1.（2011舟山）如图，五个平行四边形拼成一个含3。°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）.若四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD®积是11cM,则四个平行四边形周长的总和为（A）(A) 48cm(B) 36cm (Q 24cm(D) 18cm,将梯形纸片ABCDn上底AD方向向右平移得到已知AD=4,BO8,若阴影部分的面积是四边形ABCD的面积的,则图（2）中平移距离AA=3. (2013?绍兴)如图

8、，矩形ABCB,AB=6,第1次平移将矩形ABCDD&AB的方向向右平移5个单位，得到矩形ABC1D,第2次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2GD2，第n次平移将矩形A-iBn-iG-Q-沿A-R-1的方向平移5个单位，得到矩形ABGD(n>2).(1)求AB和AB的长.(11,16)(2)若AB的长为56,求n.(10)4. (2011广东)如图，正方形ABC丽正方形EFGH勺边长分别为2、巧和72,对角线BDFH都在直线L上，。1和。2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形A的中心距。当中心。2在直线L上平移时，正方啰/哈弋!随平移E

9、""BOD_FOL在平移时正方形EFGH勺形状、大小没有改变。GC(1)计算：O1D2,O2F1(2)当中心。2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距。1。2=3.(3)随着中心。2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)。答案：当000102V1时，两个正方形无公共点；当。1。2=1时，两个正方形有无数公共点；当1<。1。2<3时，两个正方形有两个公共点；当002=3时，两个正方形有一个公共点；当。1。2>3时，两个正方形无公共点。6 .如图，RtABC中，/AC氏90&#

10、176;,AC=2cm,A60.将ABCnAB边所在直线向右平移，记平移后它的对应三角形为DEF(1)若将ABC沿直线AB向右平移3cm,求此时梯形CAEF勺面积；(2)若使平移后得到的CDF是直角三角形，则ABC平移的距离应为cm.(1;4)/DBE7 .如图，“风车三角形"中，AA=BB=CC=2,/AOB=/BOC=/COA=60°,求证：SAOB,SBOC,SCOA,3C'A8 .(2013河北)如图，A(0,1),M(3,2),N(4,4)Ph点A出发，沿B'B'轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线A,干Cx+b也随之移动，设移

11、动时间为t秒.(1)当t=3时，求l的解析式；1鼠(2)若点Ml,NB于l的异侧，确定t的取值范围；4<t<7'(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.t=1,29 .如图，ABCD的顶点A,B的坐标分别是A(-1,0),B(0,-2),顶点C,D在双曲线y=k上，边AD交y轴于点E,A且四边形BCDE的面积是4ABE面积的5倍，则k=10 .(2012北京)已知二次函数y(t1)x22(t2)x3在x0与x2的函数值相等.(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A(3,m),求m与k的值；(3)设二次函数的图象与x

12、轴交于点B,C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n0)个单位后得到的图象记为G同时将(2)中得到的直线ykxb向上平移n个单位.请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围.A关于对称1. (2013湖南郴州)如图，在RtACB中，/ACB=90,男:24,口D是AB上一点.将RtABC沿CD折叠，使B点落在AC边止始B：.处，8则/ADB等于（）A.25°B.30°C.35°D.402. 如图，ABC中，AB=AC/BAC=54°,/BAC的平分线与AB的垂直平分线相交于点O,将/ C沿EA

13、F(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点。恰好重合,0则/OE8度.【答案】1083. （2013上海）如图5,在ABC中,tanC=,如果将ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处,4. （2013?苏州）如图，在矩形 ABCDK点E是边CD用中点式将ADCE沿AE折叠后得到4AFE且点F在矩形ABCD3部.将AF延长交边CG 1GB k则二=（ 写用含k的代数式表示）.BC于点I35.（2013河南省）如图，矩形ABCD中，AB 3,BC 4,点E是BC边上一点，连接AE ,把 B沿AE折叠，使点B落在点B处，当 CEB'为直角三角形时,2直线l与边BC交于点D,那么BD的长

14、为.15/46 .（13安徽）已知矩形纸片ABCD中，AB=1,BC=2将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A处，给出以下判断：（1）当四边形ACDF为正方形时，EF=T2（2）当EF=J2时，四边形ACDF为正方形（3）当EFR5时，四边形BACD为等腰梯形;（4）当四边形BACD为等腰梯形时，EF=/5其中正确的是（把所有正确结论序号都填在横线上）。（1）（3）（4）7 .如图，把矩形纸片OABCM入平面直角坐标系中，使OAOC分别落在x轴、y轴v*上，C、几一J军/连结OB将纸片OABC&OB折叠，使点A落在A的位置,/OAx若

15、OB乖，tanBOC-,则点A的坐标是多少？28 .（2011德州）长为1,宽为a的矩形纸片（-a1）,如图那样折一下，剪下一2个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去.若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止.当n=3时，a的值为-（2012?宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为（1）判断与推理:第二次操作；依此类推，若第 n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱

16、形.如图邻边长分别为2和3的平行四边形是小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2,把？ABCD&BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F,得到四边形ABFE请证明四边形ABFE是菱形.(2)操作、探究与计算:已知？ABCD勺邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形，请画出?ABCDS裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；已知？ABCD勺邻边长分另I为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=5r,请写出？ABCD是几阶准菱形.解：(1)邻边长分别为(2)如图所示：. a=6b+r, b=5r,2和3的平行四边形是2阶准菱形;a=6X5r+r=31r;如图所

17、示:故？ABCCfe10阶准菱形.9 .如图，将正方形纸片对折，折痕为EF.展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB,则ABG的正切值是.10 .如图，正方形ABC前，AB=将4ADE沿AE对折至4AFE延长EF交边BC于点G,连结AGCF.下列结论:AABaAAFGBG=GCAG/CF;Safgc=3.其中正确结论的个数是（）CD时，CF的FDA1B.2C.311 .（2012江苏南京）如图,/A=60°,将纸片折叠，点A且AD'经过B,EF为折痕，当D'F值为（）A.,31B_3_C2,31D.312.6.6.812.（2013河北）如图11,四边形ABCDK

18、点M,N分别在AB,BC上/母BMN&MN0折，得FMN若MF/AD,FN/DC则/B=°.答案：9513.（2013浙江台州）如图，在口ABCDK点E,F分别在边DCAB上，DE=BF把平行四边形沿直线EF折叠，使得总B,C分别落在声B',C处，线段EC'与线段AF交于点G,连接DGB0A/y/.求证：（1）/住/21BcAKolIB（2）DG=BG.14 .（昌平）如图，在半径为4的。中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将AC折叠后与AB相交于点D,如果AD3DB,那么AC的长为（）A.2J14B.2甲C.4显D.615 .【问题解决】如图1,将正方

19、形纸片ABCDf叠，使点B落在CD边上一点E（不与点ad重合）'压平后得到折痕MN当时,求需的值.，法指导：为了求得AM的值，可先求BNAM的长,BN不妨设AB=2.【类比归纳】在图一1中，若CE1,则公M的值CD3BN:若CE1、则公M的值等于：若CD4BN为整数），则AM的值等于（用含n的式子表示）.BN【联系拓广】如图2,将矩形纸片ABCDff叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C,D重合），压平后得到折痕MN设任-（m1）,CE1,则公M的值等于（用含m,nBCmCDnBN222的式子表示）.包1【类比归纳】z,w,（n?【联系拓广】nm22n1BN5517n1n2m2117

20、.（2013）在平面直角坐标系某Oy中，抛物线ymx:-2mx-2（刖=0）与尸轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B。(1)求点A,B的坐标；(2)设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；(3)若该抛物线在-2工-1这一段位于直线的上方，并且在2式X3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。18 .如图，在平面直角坐标系中有四个点A(6,3),B(-2,5),C(0,m),D(n,0)，20.(2013?天津)在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0),点B(0,4),点E在OB上，且/OAEN0BA设AA=mi其中0Vm<2,试用含m的式子表示AB2+BE并求出使A

21、'B2+BE2取得最小值时点E'的坐标；当AB+BE取得最小值时，求点E'的坐标（直接写出结果即可）点D在边关于旋转：1 .（2011上海）RtABC中，已知/C=90°,ZB=50BC上，B42CD.把ABC绕着点D逆时针旋转边上，那（0?<m<180?）度后，如果点B恰好落在初始RtABC勺么m=度.【答案】80和120(P不在 BC2 .在边长为2的等边ABC中，P是AB边上一动点与A、B重合），以PC为边作等边PDC点D与点A同侧，E为AC中点，连接ADPE、DE,则4PDE面积的最小值为（）A.B.C.D.3 .（海淀）如图，在平面直角坐

22、标系中，点A的坐标为（一，1）,点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC当点C（x,y）在第一象限内时，下列可以表示y与x的函数关系的是()4 .已知：AD2,BD4,以AB为一边作等边ABC使C、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图，当/ADB=60时，求AB及CD的长；(2邪,2甲)(2)当/AD限化，且其它条彳不变时，求CD的最大值，及相应/ADB的大小.“'XTA5 .如图，设/&左口CDEtfe&j|三角形,且/EB又62%LEBw度数=122?.午唱、力,占BTC二6 已知O是等边二角形ABC内一点，/AO由110,/BOD笆135,试问：(1)以

23、OAOB。泌边能否构成一个三角形？若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；如果/AOB的大小保持不变,那么当/BOC?于多少度时，以oaOBoc为边的三角形是一个直角三角形？当/BO及150°或100°时，由OAOBOC为边的三角形为直角三角形.7 .在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的OO±,连接OC过O点作OCLOC,ODf。相交于点D(其中点COD按逆时针方向排列)，连接AB0(1)当OC/AB时，/BOC勺度数为;45,135(2)连接AC,BC当点C在。上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出A

24、BC的面积的最大值(3) 连接AD,当OCAD时,求出点C的坐标；直线 yB8.(顺义) ABC和4ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形， 连结BD,BE, CE迪长A*xO1 求证:.AFCszXGFB;AB于点式,交BIG.BC是否为。O的切线？请作出判断，并说明理由。y(2)第警ADE是边长可变化的假直角三角形，并将4ADE绕点A旋转，使CE的延长线始终与线段BD(包括端点B、D)相交.当4BDE为等腰直角三角形时，求出AB：BE的值.9 .(门头沟)如图，四边形ABCD、ABiCiDi是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形.其中，正方形ABQiDi可以绕中心O旋转，正方形ABCD

25、静止不动.(1)如图1,当D、Di、Bi、B四点共线时，四边形DCCiDi的面积为_;(2)如图2,当D、DA三点共线时，请直接写出也=；DD1(3)在正方形AB1CQ1绕中心O旋转的过程中，直线CC1与直线DD1的位置关系是，请借助图3证明你的猜想.10 .海淀)如图1,两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE2,AB1.将直线EB绕点E逆时针旋转45,交直线AD于点M.将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k.图1图2图3解答问题:(1)当点C与点F重合时，如图2所示，可得2M的值为;DM在平移过程中，公M的值为(用含k的代数式表示)；DM(2

26、)将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算AM的值；DM(3)将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度,0<90,原题中的其他条件保持不变.计算公M的值(用含k的代数式表示).DM11 .如图1,以ABC勺边AR直角边向外作等腰直角ABEACDM是BC的中点，请你图2AC为线段DE与AM之间的关系。BMC如图2,若以ABC勺边AB图1直角边，向内作等腰直角ABE和AACID其它条件不变,试探究线段DE与AM之间的关系.12.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰ABC

27、中,AB=AC分另ABAB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF，AB于点F,EG，AC于点G,M是BC的中点，连接M次口ME则下列结论正确的是（填序号即可）AF=AG=1AB;MD=ME整个图形是轴对称图形；/DABNDMB2数学思考：在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME则MDffiME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探索：在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3,M是BC的中点，连接M厅口ME试声断4MED勺形状.数学思考：MD=M

28、EMDLME类比探究：等腰直角三解形13. （2013?潍坊）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至ce'f'd',旋转角为.（1）当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角的值；（2）如图2,G为BC,且0°V<90°,求证：GD'E'D;（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，DCD'与CBD'能否全等?若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.图象F,绕原点逆逆时针旋在尝试的1

29、4. （海淀）小聪用描点法画出了函数yVX的如图所示.结合旋转的知识，他尝试着将图象F时针旋转90得到图象F1,再将图象F1绕原点转90得到图象F2,如此继续下去，得到图象Fn.过程中，他发现点P（4,2）在图象上（写出一个正确的即可）若点P（a,b）在图象F127上，则a=（用含b的代数式表示）.15. （2011义乌）如图1,在等边ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连结BP.将4ABP绕点P按顺时针方向旋转a角（0?vav180?),得到AA1B1P,连结AA,射线AA分别交射线PR射线BiB于点E、F.(1)如图1,当0°VaV60

30、76;时，在a角变化过程中，BEF与4AEP始终存在关系(填“相似”或“全等”)，并说明理由；(2)如图2,设/ABP书.当60°Va<180°时，在a角变化过程中，是否存在4BEF与4AEP全等？若存在，求出a与B之间的数量关系；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当a =60°时，点E、F与点B重合.已知AB=4,设DP=x,AAiBB的面积为S,求S关于x的函数关系(0 V a V 180导至1 DF./16 .(朝叫一将ABC绕点B您/直线DE与直线AC相交于点F,.连卷(1)如图1、若a=60°、DF=2AF请直接写出”等于BFAF2若D

31、F=mAFm>0且m1如图2,求工；用含a,m的式子表示BF如图3,依题意补全图形，请直接写出器等于.(用含a,m的式子表示)17 .在UABCDK/A=/DBC,过点D作DE=DF,且/EDFgABD,连接EF、EC,N、P分别为ECBC的中点，连接NP(1)如图1,若点E在DP上，EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及/ABg/MNPS足的等量关系，请直接写出你的结论；(2)如图2,若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在(1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明(1)中的结论.如图， ABC与4DEF都是等B直角长版、/EACB=BEDFp90NC点D在AB边上，ABEF的中点均为O,连结BF、CDCQ显然点CF、。在同一条直线上,可以证明BQ白CQD则BF=CD解决问题(1)将图中的RtDEF绕点。旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；(2)如图，若4ABC与4DEF都是等边三角形，AREF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的(3)如图，若 ABC与4DEF都是等腰三角