第四讲高斯公式与斯托克斯公式ppt课件

1、 高斯高斯Gauss公式公式斯托克斯斯托克斯Stokes公式公式v两类曲面积分之间的联系 SzyxPzyzyxPdcos),(dd),(SzyxQzxzyxQdcos),(dd),(SzyxRzxzyxRdcos),(dd),(一、高斯公式一、高斯公式v定理 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上具有一阶连续偏导数 则有 这里是的整个边界的外侧.zyxzRyQxPyxRxzQzyPddd )(ddddddvzRyQxPdSRQPd )()coscoscos(xozy113解解1dxdydzzRyQxP)(原式29dxdydzzy)(

2、dxdydzz)(左右对称201030zdzrdrd柱坐标使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:1 1. .是是否否满满足足高高斯斯公公式式的的条条件件； 例例 1 1 求求xdydzzydxdyyx)()( ，：，：x2+y2=1 及及 z= 0、z= 3 所围闭区域所围闭区域 边界曲面的外侧。边界曲面的外侧。 性质性质上连续。在有界闭区域设),( zyxf平面对称，则关于若xy),(),(ddd ),(2),(),(0ddd ),(1zyxfzyxfzyxzyxfzyxfzyxfzyxzyxf若若01z其中，例例 1 1 求求xdydzzydxdyyx)()( ，：，：x2+y2=1

3、 及及 z= 0、z= 3 所围闭区域所围闭区域 边界曲面的外侧。边界曲面的外侧。 xozy113解解2底顶柱原式)(柱xdydzzy)(dxdyyx)( )(底顶0)(2柱，前xdydzzy柱，前，右zxdydz429xyDxyzoh 1 dSzyx)coscoscos(222例例 2 2 计计算算 dSzyx)coscoscos(222 , ,: : 222zyx 介介于于0 z 及及)0( hhz之之间间部部分分 下下侧侧, , cos,cos,cos是是法法向向量量的的方方向向余余弦弦. . dxdyzdxdzydydzx222解解),( :2221hyxhz令取上侧，.1围成空间区域

4、1dxdydzzyx)(2Gauss112dxdyhxyDxyzoh 1 zdxdydz21对称性方程421h|12h421h1dxdyzdxdzydydzx222二、斯托克斯二、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx 设设 为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向闭闭曲曲线线， 是是以以 为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的有有向向曲曲面面， 的的正正向向与与 的的侧侧符符合合右右手手规规则则， P、Q、R C C1 1 ， 则则有有 是有向曲面是有向曲面 的的边界曲线的正向边界曲线的正向 右手规则：右

5、手规则：n StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线积分表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线积分之间的关系之间的关系.斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (当是当是 xOy 面上的闭区域时面上的闭区域时) ) dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx 0 xyDxyzn111解解 dzyxdyzdxdxdydzdxdydzStokesxyxzyzDDDdxdydzdxdydz23|xyxzyzDDD例例 1 1 计计算算 ydzxdyzdx , , : :1 zyx被被 三三坐坐标标面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整个个边边界界, ,其其正正向向与与三三 角角形形上上侧侧符符合合右右手手规规则则. . 例例 2 2 求求dzyxdyxzdxzy)()()(222222 , , 是是 23 zyx截立方体截立方体: :10 x, ,10 y, , 10 z 的表面所得截痕的表面所得截痕, ,从从 Ox 轴正向看去取逆时针方向轴正向看去取逆时针方向. . 解解取取: :23 zyx, ,上侧上侧, ,被被 所围所围部分部分. . 那那么么)1 , 1 , 1(310 nzxyo n dSyPxQxRzPzQyRIStokescos)(cos)(