数学物理方法第十章_格林函数法

1、10.3 10.3 无界空间的格林函数无界空间的格林函数 基本解基本解无界区域无界区域中格林积分公式中的中格林积分公式中的面积分面积分应为应为零零，故有，故有 0000( )( ,) ( )dTuGfVrr rr选取选取( )u r和和0( ,)G r r分别满足下列方程分别满足下列方程 ( )( )uf rr00( , )( - )Gr rr r一、三维球对称一、三维球对称对于对于三维球对称三维球对称情形，我们选取情形，我们选取 00r两边在球内积分两边在球内积分 ( ,0)d( )dTTGVV rr( )d1TVr利用利用高斯定理高斯定理得到得到 2( ,0)d( ,0)d( ,0) ds

2、in d dTTSSGGVGVGrr rrrS00( , )( - )Gr rr r 故有故有 2sin d d( ,0)d1STGrGVr r使上式恒成立使上式恒成立，有，有 2( ,0)41Grr r 1( ,0)4Gcrr r 0G 因此因此0c ，,故得到故得到 1(, 0 )4 Grr对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001( ,)4|Gr rrr代入代入 得到得到三维无界区域问题的解三维无界区域问题的解为为00T00( )1( )d4|fuVrrrr上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式 000

3、0( )( ,) ( )dTuGfVrr rr二、二维轴对称情形二、二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即，即因为( ,0)d( )dTTGVV rr( )d1TVr( ,0)d( ,0)d( ,0) dTTSGVGVG rrrS由于由于 ,rGGGre只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的圆柱体上、下底的面积分为零面积分为零，只剩下沿，只剩下沿侧面的积分侧面的积分，即，即 d d( )d1TGrzVr r选取的选取的圆柱的高度圆柱的高度为单位长，则很容易得到下

4、面的结果为单位长，则很容易得到下面的结果 12Grr 11( ,0)ln2Gcrr令令积分常数为积分常数为0 0，得到，得到 11( ,0)ln2Grr因此二维轴对称情形的格林函数为因此二维轴对称情形的格林函数为0011( ,)ln2|Gr rrr得到得到二维无界区域的解二维无界区域的解为为000011( )( )lnd2|SufS|rrrr10.4 10.4 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的用格林函数法求解的主要困难主要困难还在于还在于如何确定格林函数本身如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数寻找一个合适的格林函

5、数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 一、电像法定义一、电像法定义 考虑一个具体的考虑一个具体的物理模型物理模型：设在一接地导体球内的：设在一接地导体球内的 0M放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点点对于对于第一类边值问题第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解，其格林函数可定义为下列定解问题的解000( ,)( -)( ,)|0GG r rr rr r 为了满足边界条件：电势为零，所以还得在为了满足边界条件：电势为零，所

6、以还得在边界外像边界外像点（或对称点）点（或对称点）放置放置一个合适的负电荷，这样才能使这两一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零个电荷在界面上产生的电势之和为零 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所，所以我们称这种构建方法为以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）电像法（也称为镜像法） 二、二、 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型物理模型：若在：若在 000(,)Mx y处放置一处放置一正单位点电荷正单

7、位点电荷 则虚设的则虚设的负负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 100(,)Mxy于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy xoy 的上半平面的的上半平面的电位分电位分布布也就是本问题的格林函数，即为也就是本问题的格林函数，即为 0010022220000220022001111( ,)lnln2|2|1111( ,|,)lnln22()()()()()()1 ln4()()GG x y xyxxyyxxyyxxyyxxyyr rrrrr据上述据上述物理模型物理模型可求解下列定解问题可求解下列定解问题 例例1 1 定解问题：定解问题： 00, (0)|( ) xxyyyuuyux解：解

8、： 根据根据第一边值问题第一边值问题，构建的格林函数满足，构建的格林函数满足 200() ()xxyyGGGxxyy 0|0yG0000(,),(,)xyxy处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源） 构建格林函数为构建格林函数为 2200002200()()1( ,|,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy边界外法线方向为负边界外法线方向为负y轴，故有轴，故有 0000222222000000111|=2 () () ()yyyyGGnyxxyxxyxxy 代入到代入到拉普拉斯第一边值问题拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的解的公式，拉

9、普拉斯方程的自由自由项项0f ,则由则由000( ,)( )( ,) ( )d( )dTGuGfVSr rrr rrrn得得 0002200( )(,)d()yxu xyxxxy或代入拉普拉斯方程的或代入拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题的解公式的解公式0000( ,)( )( )dGuS r rrrn得到00220()( , )d()g xyu x yxxxy称为称为上半平面的拉普拉斯积分公式上半平面的拉普拉斯积分公式三、三、 泊松方程的第一边值问题求解泊松方程的第一边值问题求解 例例2 2 定解问题：定解问题： ( , ) ( + ,0)( ,0)( ) ( + ,0)xxyyuuf

10、x yxyu xxxy 根据第一类边值问题的解公式第一类边值问题的解公式得到 000000000000( ,)( , )( , ;,) (,)d d()|dyGu x yG x y xyf xyxyxx 0nr r根据根据半平面区域第一类边值问题的格林函数式半平面区域第一类边值问题的格林函数式，得到，得到 2200002200()()1( ,|,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy因为边界上的法线为负因为边界上的法线为负y y轴，轴，故故 002200|()yyGGnyxxy 得到泊松方程在得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解半平面区域第一边值问题的解2200000000222

11、20000()()()11( , )ln (,)d dd4()()()xxyyyxu x yf xyx yxxxyyxxy 例例.3.3 在上半空间0z内求解拉普拉斯方程的内求解拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题 00,(0)|( , )xxyyzzzuuuzux y解：构建格林函数解：构建格林函数000( , , ,)G x y z xyz满足满足0000() () ()|0 zGxxyyzzG 四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题00111( ,)4|4|Gr rrrrr根据根据物理模型和无界区域的格林函数物理模型和无界区域的格林函数

12、可以构建为可以构建为022222200000011( , )4 ()()()4 ()()()Gx xyyz zx xyyzzr r即有 为了把为了把0( ,)G r r代入代入拉普拉斯第一边值问题拉普拉斯第一边值问题的解的公式，的解的公式，需要先计算需要先计算000|zGn即为即为000|zGz 000000222000002220000222 3/200|11 ()4()()()1 +()|()()()1 =2()()zzzGGnzzxxyyzzzxxyyzzzxxyyz代入即得到代入即得到 0000222 3/200(,)( , , )d d2()()g xyzu x y zxyxxyyz

13、 这公式叫作这公式叫作上半空间的拉普拉斯积分上半空间的拉普拉斯积分五、五、 圆形区域第一边值问题的格林函数构建圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型物理模型：在圆内任找一点 0()M 1R P 2R 1M x 00()M 放置一个单位电荷圆外圆外M1放置另一个单位电荷根据图，这两电荷在圆内任一观察点根据图，这两电荷在圆内任一观察点( )P 所产生的所产生的电势电势为为0111lnln2|2|ucb 当观察点当观察点P位于圆周上位于圆周上()a时，应该有时，应该有0u ，即满足即满足第一类齐次边值条件第一类齐次边值条件|0u, 即为即为2222001ln2cos()ln2cos()044aa

14、ababc上式应对任何上式应对任何值成立，所以上式对值成立，所以上式对的的导数应为零导数应为零，即，即02222002sin()12sin()042cos()42cos()aabaaabab即得到即得到 22220002cos()2cos()0b aaabab要求上式对要求上式对任意任意的的值要成立，故提供了确定值要成立，故提供了确定,b的方程的方程22220000()()0220b aababab 联立解得联立解得 201, ab 于是圆形区域于是圆形区域()a的第一类边值问题的格林函数为的第一类边值问题的格林函数为02001111( ,)lnln2|2|Ga 即为即为 2242000222

15、002cos()1( ,)ln42cos()aaGa 2222000,xyxy.其中其中例例.4.4 求解如下泊松方程定解问题求解如下泊松方程定解问题 2( )( ), ()( )|( ), ()aufaua 根据根据第一类边值问题解的公式第一类边值问题解的公式 ，并取沿垂直于圆的方，并取沿垂直于圆的方向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分，原来的向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分，原来的面积分化为线积分故得到面积分化为线积分故得到 00000000( )( ,) ()d()|daSlGuGfSln 根据构建的根据构建的圆内第一边值问题的格林函数圆内第一边值问题的格林函数00222200|2 2cos()