用表达式的极限表示无限集合基数的分析与研究

1、用表达式的极限表示无限集合基数的分析与研究康牧1，2，郭岗1，2，王宝树1（1. 西安电子科技大学计算机学院，陕西 西安 7100710）（2. 洛阳师范学院计算机系，河南 洛阳 471022）摘要：由于在判断一个无限集合的基数时，必须找出它与另一个已知基数的无限集合之间的一个双射函数。为此，针对自然数集和实数集的基数可以用表达式的极限表示，界定不同的基数对应不同阶表达式的极限的范围，得到一种判断无限集合基数的一种新方法。并利用严密的数学方法证明了“这种表示方法的合理性”。通过几个具体的例子说明这种方法所得到的结论与集合论公理一致。这种方法具有计算和证明简单特点，不仅为判断无限集合的基数提供了

2、一种有效的方法，且更容易理解，也可以对原无限集合理论中的一些定理进行推广。关键词：无限集；基数；极限；表达式中图分类号：01-0 文献标识码：BAnalysis And Research of the Radix of Indefinete Set Using the Limit of ExpressionKang Mu1,2,Guo Gang1,2,Wang Bao-shu1(1. Dept. of computer,Xidian Univ.,Xian 710071,China2.Dept. of Computer, Luoyang Normal College, Luoyang 47102

3、2,China)Abstract:In judging of the radix of an indefinite set, an one-one mapping between it and a known radix of indefinite set must be found out. For this purpose,by using the limit of an expression to express the radix of an indefinite set ,according to different radixs define different ranges of

4、 limt of expressions get a new method of judging the radixs of indefinite sets . And the rationality of this new method is proved by using the strict mathematical method. Its consistency with the axiom of set is illuminated by some examples. This method has the advantages of easy prove and calculate

5、 ;and it provide not only an effective method of judging the radixs of indefinite sets but also a easy way of understanding , and some theorem of system of original indefinite sets could be generalized.Keywords:indefinite set;radix;limit;expression引言在有限集合理论中，如果有从N的初始段0，1，n-1到A的双射函数，那么集合A是有限的，具有基数nN，

6、则称集合A是可数的或可列的；如果|A|= ss0，则集合A是可数无限的，如果集合A不是可数的，则称集合A是不可数的或不可数无限的15。对于一个无限集合要判断它是可数的或不可数的，关键在于能否找它与自然数集N或实数集R之间的一个双射函数，而两个无限集合之间的函数可能有无限多个，从中找出一个双射函数不是一件容易的事，这往往需要一定的技巧才能办到。本文将给出一种方法，并从理论上及具体问题上证明其优良性。一、基本概念在有限集合中如果集合A的基数|A|=n（nN），则A的幂集（A）的基数|（A）|=2n，同理自然数集N的基数|N|=ss0，则自然数集N的幂集（N）的基数|（N）|=。二、 重要定理及推论

7、定理： =证明：因为=。下面证明自然数集N的幂集（N）的基数|（N）|=首先证明= ss0：因为=，所以不是一个具体的自然数，而是一个无穷大，根据集合基数的定义当n是一个具体的自然数时，它就代表一个元素个数为n的有限集合的基数，那么当n趋近于无穷大时，是一个无穷大，而自然数集N的基数ss0在所有无限集合的基数中是最小的，所以= ss0。根据幂集基数的定义可知自然数集的幂集（N）的基数|（N）|=。说明：用表示 ss0，与无限集的性质相吻合，因为=，这说明对于一个无限集合，加入一个元素或去掉的一个元素，集合的基数不变，所以用表示 ss0是合理的，也是正确的，文7中对于若满足三个条件：（1）（2）

8、（3），则收敛于P（x），这里显然有，所以用表示 ss0是合理的。同理用表示自然数集的幂集（N）也是合理的。三、有关定义和界定规则在文15中都证明了实数集R与自然数集的幂集（N）等势，也就是说实数集R的基数|R|= ss1=（注：有的参考文献中把实数集R的基数表示成c）。同时也给出了康托的著名的连续统假设：在ss0和 ss1之间不存在其它基数。根据文6中关于无穷小比较的定义，结合文7中的有关概念，我们定义无穷大的比较如下：定义：如果=0，就说是比低阶的无穷大；如果=，就说是比高阶的无穷大；如果=c0，就说与是同阶无穷大；如果=1，就说与是等价无穷大。显然等价无穷大是同阶无穷大的特殊情形，即c=

9、1的情形。说明：因为在文1-5中都说明ss1 ss0，和文7中的有关概念，都说明无穷大也有大小，所以这里定义无穷大的比较也是合理的。再根据文6中极限运算法则可知：如果c是常数，n是正整数，对于lim f（x）、lim g（x），则limf（x）g（x）、limf（x）g（x）、limc f（x）、limf（x）n、可以分别表示成： limf（x）g（x）= lim f（x）lim g（x）、limf（x）g（x）=lim f（x）lim g（x）、limc f（x）=c lim f（x）、limf（x）n=lim f（x）n、。这种运算法则在极限是无穷大的情况下也是适用的。在这里用两个不同的表

10、达式的极限和分别表示ss0 和ss1。而在极限和之间存在无穷多个不同阶的无穷大，也就是说在无限集合理论中不同阶的无穷大可能对应相同的集合基数。界定规则：如果x是一个与低阶、等价、同阶或者是比高阶且比低阶的无穷大，则x代表的基数等同于ss0，也就是说基数等于x的集合都是可数无限集合，与自然数集等势；如果x是一个与等价、同阶或者是比高阶且比低阶的无穷大都等同于ss1，也就是说基数等于x的集合都是不可数无限集合，与实数集等势；。通过上面界定规则我们可以看出：实际上这里的ss0和 ss1不是代表单个无穷大而是代表一类或多个不同阶的无穷大，也就是说它们是一个符号。四、界定规则在具体问题中的应用及一个重要

11、推论下面用表达式的极限表示无限集合的基数，对一些常见的无限集的定理和性质利用界定规则进行证明或解释：（1） 两个交集为空的可数无限集合A和B的并集仍然是可数无限集。证明：集合A的基数是，集合B的基数也是，则集合A和集合B的并集的基数应该是=，而是与同阶的无穷大，即它们的并集也是可数无限集。这与原结论一致。（2）可数个互不相交的可数无限集的并集仍然是可数无限集。证明：这句话可以这样说：个互不相交的各具有个元素的集合的并集仍然是可数无限集。而这样的集合的基数应该是=。而是比高阶且比低阶的无穷大，故它们的并集仍然是可数无限集。这也与原结论一致。 （3）集合0，1 0，1与0，1等势。 证明：文15中

12、都指出：0，1是与实数集R等势的，也就是说0，1的基数也是ss1，所以0，1区间的元素个数可以表示成。对于给定的一个y ，y0，1，x可以任意取0，1区间中的值，总共有个不同的x，从而也就有与该y对应的个不同的点；而y也可以有个不同的值，所以0，1 0，1上总共有个不同的点，而=，而是比高阶且比低阶的无穷大，所以 0，1 0，1的基数也是ss1从而也与0，1等势。这个结论也与原结论一致。使用这种方法，可以得出与原结论一致的结果，也就是说这种方法与集合论公理是一致的，且可以使用普通的数学运算，使人更容易理解。推论：任意多个（可数个或不可数个）不可数集合的并集仍然是一个不可数集（注：这里的不可数集

13、指的是与实数集R等势的集合）。证明：这个推论分两部分来证明。（1） 可数个不可数集合的并集是一个不可数集。可数个不可数集合最多有个不可数集合，每个不可数集合有个元素，故它们的并集最多有个元素，而=，而是比高阶且比低阶的无穷大，故可数个不可数集的并集是一个不可数集。（2） 不可数个不可数集合的并集是一个不可数集。证明与四中（3）的证明方法相似，这里从略。推论得证。五、结束语通过对无穷大的比较下定义，利用极限的运算法则，用表达式的极限来表示无限集合的基数，且对不同的基数指定一个界定规则，不但可以得到与集合论公理一致的结论，也可以使判断两个集合是否等势的证明方法更简单也更容易理解。参考文献：1 王元元，李尚奋离散数学M北京:科技出版社，1994，781032 左孝凌，李为鉴，刘永才离散数学M上海：上海科学技术文献出版社，1982，1561823 徐洁磐离散数学导论M北京：人民教育出版社，1982，971234 方世昌离散数学M西安：西安电子科技大学出版社，1996，1461625 JON BARWISESTUDIES IN