单扩域的研究

1、单扩域的研究摘要：从群环域中的分类，域是一类特殊的环，比一般的欢更具有特殊性质。大体上，实数域是在他的子域有理数域中建立起来的，复数域是在他的子域上建立起来的。所以从历史上讲，对于域的研究只是从一个给定的域出发，来研究他的扩域。本文主要研究单扩域的一些基本性质。关键词：环：域；单扩域；1 扩域的概念1.1素域的基本概念定义1：如果域它不含真子域，则称为一个素域。例1：以素数为模的剩余类环是一个素域。定义2：设是域，若元素1在（，+）中的阶数为素数，则称为域的特征。例2：若元素1在（，+）中的阶数为无穷大，则称的特征为0，的特征记作。引理1：设和都是有无零因子的交换环，且和同构，即，和分别是和的

2、分式域，则 且当时，有。定理1：设是一个域，若的特征是0，那么包含一个有理数同构的素域；若的特征是素数，那么包含 一个与同构的素域。证明：设是域的单位元，作集合，那么，是整数环到的一个同态满射。事实上，显然是满射，且，有；，当的特征是0时，即是一个单射，得是一个同构映射，即。 设的分式域为，则包含，由引理1知，的分式域同构，而整数环的分式域为有理数，即。当的特征是素数时，则有。事实上，由，得 。而是的极大理想，则，即。故只有。根据环的同态基本定理有。当是素域时，则只有平凡子域本身，在上述的证明过程中，当=0时，有；当时，有。结论成立。1.2 域的扩张定义3：设（）是域，是的非空子集，且（）也是

3、域，则称是的子域，是的扩域，记做。定义4：设是一个加群，是一个域，对任何定义一个元素满足下列性质：恒有下列性质；。则称是域上的一个向量空间（线性空间）。定义5：设是域的扩张，为的子集，中含有和的子域；同时含有和的域的交仍是的子域，这就是最小子域。称这个最小子域为在上由生成的扩域，也称添加得到的扩域，记做。定义6：由于对的扩张次数，记做。当有限时，称是的有限扩张，否则称为无限扩张。引理2：设为的扩域，是的一个非空的有限子集，即，则=其中为域关于元素的多项式环。也就是说，域在中的分式域。引理3：设为的扩域，为的一个非空子集，则，其中为的任意有限子集。引理4：设为的扩域，为的一个非空子集，则。引理5

4、：设为的扩域，为的一个非空子集，则。2 单扩域2.1 代数元和超越元定义7：设为的扩域，则称为添加所得的单扩域。定义8：设为的扩域，如果是域上的一个非零多项式的根，则称为域的一个代数元，叫做上的一个单代数扩域；如果不是域上任意非零多项式的根，则称为域上一个超越元，叫做上的一个单超越扩域。例3 是上的代数元。证：，即，得出是有理数域上的多项式的根，所以是上的代数元。定理 2：设为的扩域，令，则是的一个理想，且。当为上的代数元时，是由中的不可约多项式生成的，即；当是上的超越元时，即。证明：做映射 ，容易看出是环的同态满射，且，所以，是的一个理想。因此，由环的同态基本定理得出。 当为上的代数元时，由

5、于是一个欧式环，因而它是一个主理想环。设，只需要证明是的一个不可约多项式。由于，即，显然为非零且非零次的多项式，即是中的非零单位的元，如果是中的可约元，则有真因子分解 ，其中和的次数都低于的次数，而 ，由于中无零因子，则必有或。不妨假设，所以，从而得矛盾。因而是的一个不可约多项式。当为上的超越元时，显然有。推论：设为的扩域，则是域当且仅当是上的代数元。证明：设为上的代数元，则由定理2得，而为中的不可约元，因而是的一个极大理想，于是是一个域。反之，设为的超越元，则，而不是域。定义9：设是中次数最低、首项系数为1的多项式，则称为的域上的极小多项式，而次数称为在上的次数。定理3：域上的代数元在上的极

6、小多项式是理想的生成元，且是中的不可约多项式，它对来说是唯一的。证：由于是一个主理想，设。由于，故，因而。又因为是中次数最低的多项式，则有，即因而，由定理2可知是中的不可约多项式。若有两个极小多项式，则由于与的首项系数都为1，所以，得，既有。定理4：设为域上的一个代数元，而为的不可约多项式，而且首项系数为1，那么，是在上的极小多项式。证明：因为，即。如果的极小多项式为与首项系数都是1，故=。2.2 单扩域的结构定理5：设为的扩域，。若是上的一个超越元，那么的分式域，其中是域上关于为定元的一元多项式环；若是上的一个次代数元，那么，且任意中的元素都可唯一的表示为的形式，其中。证明：当时域的一个超越

7、元时，由前面推理知，又由定理2知，因为同构的环，他们的分式域也同构，而的分式域恰好也是，所以，的分式域。 当是域上的一个次代数元时，由以前证明知，是一个域，它同时包含和，所以，；显然我们有，所以相等。设的极小多项式为，且，则用对进行带余除法，设，其中，由知。在证明其表达式的唯一性，设有两种表达形式，则是多项式。的根，因而，故，所以，。例4：写出有理数域上的单代数与中的元素的一般形式，求在中的逆元。解：在上的极小多项式为，故为三次元。因而，=。设=，则1=，由元素表示的唯一性可得方程组解得，即。定理6：设在上有相同的极小多项式，那么，。证明：假设极小多项式的次数，那么，作映射。显然，保持假发的一

8、一映射，而对于乘法，用对作带余除法，得，其中或。则所以，。即也保持乘法运算。由此可得。定理7：设域上有一个首项系数为1的不可约多项式，则存在的单代数扩域，使是在上的极小多项式，且。且在同构的意义是唯一的。证明：令，由于在中不可约，而为欧式环，得出是的一个极大理想，所以，是一个域，且取，作映射。则可以验证是到的同构映射。显然与无公共元素，由挖补定理，有扩环，因而也是一个域。设到的同构映射为，则限制在上与相等。取，设在下的原像为，即，设，则 = = = =。由于是同构映射，故，是上的代数元，由定理的出是在上的极小多项式。下面证明。事实上，由于，故。反之，设 那么 = =。由为单射知，即有。综上所述

9、，是的单代数扩域。最后由定理4知，在同构下意义下是唯一的。 3 实例3.1 单扩域的-同构 本文旨在谈论单扩域方面的问题，故本小节讨论只讨论单扩域的同构情形。由前面已经给出单扩域同构的概念，在这里不再给出。定理8：设和分别是域和的代数元，是到的同构。1、 存在到的同构使=的充要条件是。2、 若，则所有到的同构的个数在内根的个数。证明：略，见参考文献。例5：用表示有理域。设，则，其中 （这里）。再令， 则，即，按照定理8中1知，存在到的同构。另外，在上由两个根，在上有两个根，故由定理8得知，存在两个到的同构：，（其中）。 3.2 待定系数法在单代数扩域中的应用 定义9：设是域上的一个代数元，在上

10、的最小多项式为，且是中的任意元，则： 1、可以表示成； 2、如果还有 那么。例6：设是中不可约多项式的根，使把元素写成关于的次数不超过1的多项式。解法一：由于在上额最小多项式是，因而所以又因为 由 得所以 即所以即解法二（待定系数法）：令则=比较系数得到解得：因而。第一个解法繁琐，第二个解法的优点在于直观、简洁。避免用辗转相除所带来的冗杂的计算。3.3 单超越扩域上的方程研究3.3.1两类方程的定义 1、方程=0=。由定理知，方程=0在中总有根，而=0的根中去掉，就得到方程=0的根。定理9：上的方程在中根的状况是： 1）在中没有根且不整除； 2）在中有且不整除； 3）在中有组互不相同的重根，其

11、中一组为重根，其余（若有）组均为重根且整除1但不整除。2、方程当为偶数，。方程在中总有根，而的根中去掉，就得到方程的根。定理10：当为偶数，上方程在中根的状况是：1）在中没有根且不整除； 2）在中有个互不相同的单根且不整除； 3）在中有组互不相同的重根，其中一组为重根，其余组（若有）均为重根且整除1但不整除。当为奇数时，。方程在中总有根，而的根中去掉，就得到方程的根。定理11：当为奇数时，上的方程在中根的状况是：1)在中没有且不整除； 2）在中有个互不相同的单根且不整除； 3）在中有组互不相同的重根，其中一组为重根，其余组（若有）均为重根且整除1但不整除。3.3.2实例 前面所给的方程在中的根，归结为求方程在中一切根，而求方程根的过程体现为降低次数的过程与验证过程，即有定理11。 定理11 若不考虑重根，则方程与的根相同，其中；若记，则为在中的互不相同的根。例7：（1）在元域的单超越扩域中研究方程=0。此时，但是，设则，从而该方程中跟的状况是：一组1重根（单根），一组2重根，另一组2重根。 （2）在元域的单超越扩域中研究方程=0。此时，。从而该方程没有根。参考文献1 赵淼清.近世代数M.杭州: 浙江大学出版社,20