北师大高中数学必修四详细知识点加例题解析

1、高中数学北师版必修四全册知识点含例题分析第一章 三角函数2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是（2）度数与弧度数的换算： rad，1 ra

2、d（3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数），半径为，则：P(u,v)y x o 弧长公式： ；扇形面积：5、三角函数:（1）定义:设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么v叫做的正弦，记作sin,即sin= v; u叫做的余弦，记作cos，即cos=u; 当的终边不在y轴上时，叫P(x,y)y x o 做的正切，记作tan, 即tan=.设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，（2）三角函数值在各象限的符号：xy+_Oxy+_Oxy+_O口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦.（3）特殊角的三角函数值的角度的弧度不存在的角度的弧度不存在6、三角函数的

3、诱导公式：，口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等，口诀：函数名称不变，正负看象限，口诀：正弦与余弦互换，正负看象限7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 图象定义域值域值域： 当时，；当时，值域：当时， ；当时，值域：既无最大值也无最小值周期性是周期函数；周期为且；最小正周期为是周期函数；周期为且；最小正周期为是周期函数；周期为且；最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴8、函数的相关知识：图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍（1）的图象与图像的关系：图象上每

4、个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变振幅变换： 周期变换： 图象整体向左（）或向右（）平移个单位相位变换： 图象整体向上（）或向下（）平移个单位平移变换： 先平移后伸缩：函数的图象整体向左（）或向右（）平移个单位，得到函数 的图象；再将函数的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象；再将函数的图象上每个点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象；再将函数的图象整体向上（）或向下（）平移个单位，得到函数先伸缩后平移：函数的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象；再将函数的图象整体向左（）或向右（）平移个单位，得到函数的图象；再将函数的图象上每个点

5、的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象；再将函数的图象整体向上（）或向下（）平移个单位，得到函数（2）函数的性质：振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：定义域：值域：当时，；当时，周期性：函数是周期函数；周期为 单调性：在上时是增函数；在上时是减函数对称性：对称中心为；对称轴为第二章 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作；规

6、定与任何向量平行5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。6、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接平行四边形法则的特点：起点相同运算性质：交换律：；结合律：；坐标运算：设，则 7、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则8、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则9、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一

7、一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共线10、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是12、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或设，则设、都是非零向量，是与的夹角，则第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式 （）平方关系：（）商数关系： （）倒数关系： ； 注意： 按照以上公式可以“知一

8、求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切： ： ： ：正切和公式：3、辅助角公式：（其中称为辅助角，的终边过点，）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ： ： ： 二倍角公式的常用变形：、，；、， 、； ；降次公式： 5、半角的正弦、余弦和正切公式： ； ，6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”） ； ； ；， ； 7、补充公式：万能公式 ； ； 积化和差公式和差化积公式【例题分析】一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若sin·tan>0,则所在的的象限是 ( )A二、四 B一、二 C一、四 D二、三2如果co

9、s=有意义，那么m的取值范围是 （）Am<4 Bm=4 Cm>4 Dm43函数y=2-sin2x是 （ ）A周期为的奇函数 B周期为的偶函数 C周期为2的奇函数 D周期为2的偶函数4函数y=3sinx +2cosx的最小值是 （）A0 B-3 C-5 D-5设kZ，函数y=sin(+)sin(-)的单调递增区间为 （ ）A(2k+1),2(k+1) B(k+),(k+1) Ck,(k+) D2k, (2k+1) 6已知tan,tan是方程x2+3x+4=0的两根,且<<,<<,则+等于 （ ）A B C或 D-或7要得到函数y=sin（2x-)的图象，只需将

10、函数y=sin2x的图象 ( )A向右平移 B向右平移 C向左平移 D向左平移8已知|a|=,|b|=1, a·b=-9,则a与b的夹角是 （ ）A300 B600 C1200 D15009 设a,b是两个非零向量，则下列说法中正确的是 （ ）ABODCAab与 a·b=0 是一致的 Ba·b=|a|·|b| C|a|>|b|与 a>b=0 是一致的 Da·b= -|a|·|b|10如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，则等于( )A B- C D11设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若ab

11、，则实数k的值为 （ ）A-6 B-3 C3 D612.已知ABC的顶点A(2,3)和重心G的坐标为(2,-1),则BC边上的中点坐标为 （ ）A(2,-9) B(2,-5) C(2,-3) D(2,0)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13函数y=的定义域为 .14已知sin=,2<<3,那么sin+cos= .15已知|a|=3,|b|=5, 且向量a在向量b方向上的投影为，则a·b= .16将函数y=cosx的图象按向量b=(2k+,1)( kZ)平移, 得到函数 的图象.三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，

12、22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17证明： .18已知cos(-)=,sin()=,且(,),(0,),求cos的值.19已知函数y=Asin(x+)+C(A>0, C >0,| |<)在同一周期中最高点的坐标为(2,2)，最底点的坐标为(8,-4).（1）求A，C，的值；（2）作出函数的一个周期的简图，并由图象指出这个函数的单调递增区间.20设e1,e2是两个不共线的非零向量.（1）若= e1+e2，=2 e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线；（2）试求实数k的值，使向量ke1+e2和e1+ke2共线.21在ABC中，设

13、=a, =b, =c.（1）若ABC为正三角形，求证：a·b=b·c=c·a；（2）若a·b=b·c=c·a成立，ABC是否为正三角形？22设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1), b=(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)=1-,且x,求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y= f(x)的图象,求实数m、n的值.【答案】一、CBBDA；ABDAB；DC二、13xR且x, x(kZ); 14; 1512; 16y=sinx+1.三、17提示：切化弦. 18.提示：=(-)-().ABODCabc19（1）A=3，C=-1，=，=；（2）图略.增区间12k-4,12k+2 (kZ)20(1)提示：=+=5(e1+e2);(2)k=±1.21(1)提示：a、b、c模相等，两两夹角均为1200；(2)若a·b=b·c=c·a，则由a·b=b·cb(a-c)=0b(a-c),又a-c=+，以BA、BC为邻边作平行四边形ABCD，则+=，因而b.四边形A