数值分析第一章 绪论ppt课件

1、 数值分析又称计算方法或数值计算方法，数值分析又称计算方法或数值计算方法，是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程，它研究的是各种数学问题的一类近数学课程，它研究的是各种数学问题的一类近似解法似解法数值方法，即从一组原始数据如数值方法，即从一组原始数据如模型中的某些参数出发，按照确定的运算规模型中的某些参数出发，按照确定的运算规则进行有限步运算，最终获得数学问题数值形则进行有限步运算，最终获得数学问题数值形式的满足精度要求的近似解。式的满足精度要求的近似解。1.1 1.1 研究对象研究对象1.绪论 数值分析方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解

2、的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。 与纯数学的理论方法不同，用数值分析所求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。1、数值逼近、数值逼近 插值与拟合、数值积分与微分插值与拟合、数值积分与微分2、数值代数、数值代数 线性代数方程组的解法、非线性代数方程组线性代数方程组的解法、非线性代数方程组的解法的解法3、微分方程数值解、微分方程数值解 ODE PDE 现代计算方法：融进了机器学习计算、仿生计算、网络计算、以数据为核心的计算和各种普适计算、非线性科学计算等内容。1.2 1.2 研究内容研究内容数值计算方法

3、的主要特点数值计算方法的主要特点借助计算机提供切实可行的数学算法借助计算机提供切实可行的数学算法. .想的精确度想的精确度;收敛且稳定收敛且稳定;误差可以分析或估计误差可以分析或估计.所提出的算法必须具有：可靠的理论分析所提出的算法必须具有：可靠的理论分析; ;理理时间复杂性好时间复杂性好_指节省时间；指节省时间；空间复杂性好空间复杂性好_指节省存储量。指节省存储量。计算复杂性好计算复杂性好 通过数值实验证明算法行之有效通过数值实验证明算法行之有效. .F采用采用“近似替代近似替代方法方法逼近逼近F采用采用“构造性构造性方法方法F采用采用“离散化离散化方法方法F 把求连续变量的问题转化为求离散

4、变量的问题把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题F采用采用“递推化递推化方法方法F 复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易于用循环结构来实现迭代法）。于用循环结构来实现迭代法）。F采用各种搜索方法采用各种搜索方法构造数值算法主要手段构造数值算法主要手段 随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业；例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课，也是工科硕士研究生的学位

5、必修课。实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算数值结果 根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机算出结果，这一过程便是数值分析研究的对象数值计算方法的任务数值计算方法的任务 （解题过程）（解题过程）1. 1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 义务，主动适应义务，主动适应“公式多公式多的特点；的特点；2. 2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入；本提法，逐步深入；3. 3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本

6、 线索，对最基本的算法要非常熟悉；线索，对最基本的算法要非常熟悉；4. 4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是 为用于实际计算，必须真会算。为用于实际计算，必须真会算。1.3.1 误差的来源与分类误差的来源与分类 从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差例例: :质量为质量为m m的物体，在重力作用下的物体，在重力作用下, ,自由下落，自由下落， 其下落距离其下落距离s s 与时间与时间t t 的关系是：的关系是： mgdtsdm22其中其中 g g 为重力加速度。为重力加速度。 通过测量得到模型中参数的值通过测

7、量得到模型中参数的值 观测误差观测误差 求近似解求近似解 方法误差方法误差 （截断误差）（截断误差）例如，当函数例如，当函数 f x 用用 maclaurin maclaurin 多项式多项式 ( )200001!2!nnnfffPxfxxxn 近似代替时，数值方法的截断误差是 (1)1(1)!nnnnfRxf xPxxn与与 0 0 之间。之间。在在x机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差 用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位 = 3.1415926 小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，如：代替位数较多的有限小数，如：10

8、.333338.12355x 四舍五入后0000074. 01416. 31000033. 0333. 031238.12350.00005x在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的误差对计算结果的影响！（包括初始数据的误差对计算结果的影响！1.3.2 误差与有效数字误差与有效数字1、绝对误差与绝对误差限、绝对误差与绝对误差限*)(xxxe例例 : :若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为为1.451.45米，求米，求1.451.45米的绝对误差。米的绝对误差。1.45米的米的绝对误

9、差绝对误差=？不知道！不知道！定义：设定义：设 是准确值，为是准确值，为 的一个近似值，称的一个近似值，称 x*xx是近似值是近似值 的绝对误差的绝对误差, ,简称为误差。简称为误差。 ( )e x*x*xxx*xx e x*xxx*,xxx*x例例1 设设x =3.1415926 近似值近似值x* =3.14,它的绝它的绝 对误差是对误差是 0.0015926，有，有 x-x*=0.0015926 0.002=0.210-2例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5例3 而近似值x* =3.141

10、5，它的绝对误差是 0.0000926，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3可见，绝对误差限*不是唯一的，但*越小越好2、相对误差与相对误差限、相对误差与相对误差限定义：设定义：设 是准确值，是准确值， 是近似值，是近似值的误差，是近似值，是近似值的误差，x*x通常取通常取为近似值为近似值 的相对误差，记作的相对误差，记作 ，*re*x*e*exxxx称称*rexxexx事实上，当事实上，当 较小时较小时*reex 22*1exxeexeexxx xxxeex是是 的二次方项级的二次方项级, ,故可忽略不计故可忽略不计. .*re相应地，若正数相应地，若正数r满足满足

11、*rxxx 则称则称 为为 的相对误差限。的相对误差限。rx例例4. 4. 甲打字每甲打字每100100个错一个，乙打字每个错一个，乙打字每10001000个个 错一个，求其相对误差错一个，求其相对误差解：解： 根椐定义根椐定义: :甲打字时的相对误差甲打字时的相对误差 乙打字时的相对误差乙打字时的相对误差 00*11001re00*1.010001re3 、有效数字、有效数字定义：假设定义：假设nxx1021*则说则说 近似表示近似表示 准确到小数后第准确到小数后第 位，并从这位，并从这由上述定义由上述定义410211416. 35102114159. 3*xxn第第 位起直到最左边的非零数

12、字之间的一切数字都位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。n定义定义 :*121210101010mnnxaaa *若近似值若近似值 的误差限是某一位的半个单位的误差限是某一位的半个单位, ,*x也即，假也即，假设设*1102m nxx有有 位有效数字。位有效数字。n*x其中，其中， 是是1 1到到9 9中的一个数字；中的一个数字； 是是0 0到到9 9中一个数字；中一个数字； 为整数，且为整数，且 1a2naam该位到该位到 的左边第一位非零数字共有的左边第一位非零数字共有 位位,*xn就说就说 有有

13、 位有效数字。位有效数字。*xn取取 作作 的近似值，的近似值， 就有三位有效数字；就有三位有效数字；*3.14x *x取取 作作 的近似值，的近似值， 就有五位有效数字。就有五位有效数字。*3.1416x *xx-x*=0.0015926 0.002=0.210-20.510-2前面例前面例1 1前面例前面例2 2x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5 0.510-4 关于有效数字说明关于有效数字说明 用四舍五入取准确值的前用四舍五入取准确值的前n位位x*作为近似值作为近似值,那么那么 x*必有必有n位有效数字。如位有效数字。如3.142作为作为 的近似值的近似值 有

14、有4位有效数字，而位有效数字，而3.141为为3位有效数字位有效数字 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 一样。例如，设一样。例如，设x1*=12345,设设x2*=12.345,两者两者 均有均有5位有效数字但绝对误差不一样位有效数字但绝对误差不一样 x- x1* =x- 12345 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.3450.0005=1/210-3 把任何数乘以把任何数乘以10p(p=0,1,)不影响有效位数不影响有效位数 准确值具有无穷多位有效数字准确值具有无穷多位有效数字,如三角形面积如三角形面积 S=1/2ah=0.

15、5ah 因为因为0.5是真值是真值,没有误差没有误差 *=0,因此因此n,准确值具有无穷位有效数字准确值具有无穷位有效数字4 、误差限与有效数字的关系、误差限与有效数字的关系 那么 至少具有 位有效数字。Th1Th1： *xn对于用对于用 式表示的近似数式表示的近似数 ，假设，假设 具有具有 位有位有效效数字，则其相对误差限为数字，则其相对误差限为反之，假设反之，假设 的相对误差限为的相对误差限为 *xn*x1*11102nra *x1*11102(1)nra *121210101010mnnxaaa *例例5 5 已知近似数已知近似数x x* *有两位有效数字，试求其相有两位有效数字，试求其

16、相 对误差限对误差限解：知解：知 n=2 n=2 代入公式代入公式 r r* *=1/2x1 =1/2x1 10-(n-1)10-(n-1)得得 r r* *=1/2x1 =1/2x1 10-110-1 x x* *的第一位有效数字的第一位有效数字x1x1没有给出，可进行如没有给出，可进行如下讨论：当下讨论：当 x1=1 x1=1 r r* *=1/2x1 =1/2x1 10-1=1/210-1=1/2* *1 1 10-1=5%10-1=5% x1=9 x1=9 r r* *=1/2x1 =1/2x1 10-1=1/210-1=1/2* *9 9 10-1=0.56%10-1=0.56% 取

17、取 x1=1 x1=1 时相对误差为最大，即时相对误差为最大，即 5%5%例例6 6 已知近似数已知近似数x x* *的相对误差限为的相对误差限为0.3%0.3%，问，问x x* * 有几位有效数字？有几位有效数字？解：由解：由)1(1*10) 1(21nrxe) 1(110) 1( 2110003nx得得当当x1=1x1=1时时,3,310-3=1/410-3=1/410-(n-1)10-(n-1)121210-3=10-10-3=10-(n-1) (n-1) 上式两边取以上式两边取以1010为底的对数得为底的对数得 lg22+lg3+(-3)=-n+1 lg2=0.3010 lg3=0.4

18、771lg22+lg3+(-3)=-n+1 lg2=0.3010 lg3=0.4771 2 20.3010+0.4771-4=-n n=2.92090.3010+0.4771-4=-n n=2.9209 当当x1=9x1=9时时,3,310-3=1/2010-3=1/2010-(n-1)10-(n-1) 6 610-10-3=10-n3=10-n 上式两边取以上式两边取以1010为底的对数得为底的对数得 lg2+lg3+(-3)=-n n=2.2219lg2+lg3+(-3)=-n n=2.2219 x x* *至少有至少有3 3位有效数字位有效数字 例例7 7 为使为使 的近似数的相对误差小

19、于的近似数的相对误差小于0.1%0.1%， 问查开方表时，要取几位有效数字？问查开方表时，要取几位有效数字？解：解： 8 9 x1=8 8 9 x1=8 -(n-1)lg2+2lg3+(-3) -(n-1)lg2+2lg3+(-3) -n1.2552-4 -n1.2552-4 -n-2.7448 -n2.7448 n2.7448 取取 n =3n =3即查平方表时即查平方表时 8.378.37取三位有效数字取三位有效数字 70703)1()1(110101811000110) 1(21nnx70*1x*2x*1x*2x *1212xxxx *121221x xxxxx*1221*1222*2/

20、0 xxxxxxxx)(xfxx *)()(*xfxf从而有从而有 )(xfx2)(! 2)()()()( xxfxxxfxfxfx2)(! 2)()()()( xxfxxxfxfxf)()()(xxxfxfxf)(xf)()()(xexfxfe)(xf)()()()(xexfxfxfer的相对误差的相对误差 对于近似值对于近似值，函数，函数在在 舍去右边第二项得到舍去右边第二项得到 即即的绝对误差的绝对误差 可以得到可以得到附近按泰勒展式展开得到附近按泰勒展式展开得到 当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的误差限可利用函数的

21、TaylorTaylor展开式进行估计。展开式进行估计。 对绝对误差式两边取绝对值得对绝对误差式两边取绝对值得 2)(! 2)()()()( xxfxxxfxfxf)(xxxf)()(xxf)(xf)()()(xxfxf)(xf)()()()(xxfxfxfr故故的相对误差限的相对误差限的误差限的误差限 而而 解释：解释： 当当 为多元函数时计算为多元函数时计算 , ,假设假设f12,nAf x xx12,nx xx的近似值为的近似值为 , ,那么那么 的近似为的近似为*12,nx xxA*12,nAf xxx于是函数值于是函数值 的误差的误差 由由TaylorTaylor展开展开, ,*A*

22、e A多元函数的情况多元函数的情况*A*1.kkrrkkAxfAxAA *1212,nne AAAf x xxf x xx*12*11,nnnkkkkkkkf x xxfxxexx*1;nkkkfAxx),( yxfxx *),(),(*yxfyxfyy*)()()(yexeyxe)()()(yexxeyyxe)()()(1)(2yeyxxeyyxe)0(y)()()(yxyx)()()(yxxyyx2)()()()(yyxxyyx)0(y)()()(yeyxyxeyxxyxerrr)()()(yeyxyxeyxxyxerrr)()()(yexeyxerrr)()()(yexeyxerrr)

23、0(yyxyxyxrrr)()()()()()(yxyxrrr)()()(yxyxrrr)0(yl*110lmd*80dm*0.2llm*0.1ddmSld *,SSSldld*80 ,110 ,SSdmlmld,SSSlddlld *0.2 ,0.1 ,lmdm*2280 0.2 110 0.127;Smm*270.31.8800rSSSl dS 数值计算在设计算法时首先关心的是由它产生的计算结果的稳定性，而算法的稳定性与舍入误差是否增长密切相关。一个算法如果输入数据有微小扰动即误差），而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称其为数值不稳定。 例例9：求定积分：求定积分

24、10(0,1,2,8)5nnxIdx nx解：直接积分可产生递推公式解：直接积分可产生递推公式若取初值若取初值)2 . 1ln(5ln6lndx51100 xI11105515(1)5nnnxIxdxIxn可得递推公式可得递推公式)8, 2, 1(,51)2 . 1ln(10nInIInn按公式就可以逐步算出按公式就可以逐步算出101 50.09II 05. 052112II083. 053123II165. 054134II025. 155145II952. 456156IIWhat happened?!不稳定的算法不稳定的算法 ！注意此公式精确成注意此公式精确成立，且立，且0nI 由题设中

25、的递推公式由题设中的递推公式1 1可看出，可看出， 的误差扩大了的误差扩大了1nI5 5倍后传给倍后传给 ，因而初值，因而初值 的误差对以后各步的误差对以后各步nI0I这就造成这就造成 的计算结果严重失真。的计算结果严重失真。4I计算结果的影响，随着计算结果的影响，随着 的增大愈来愈严重。的增大愈来愈严重。n11105515(1)5nnnxIxdxIxn*111111|555|nnnnnnIIIIIInn可求得可求得I9 I9 0.017 0.017，按改写后的公式可逐次求得，按改写后的公式可逐次求得不妨设不妨设I9 I9 I10 I10，于，于是由是由10951501II) 1 , 1,(

26、51511nnkIkIkk115nnIIn将公式将公式变为变为(2)I8 0.019 I7 0.021I6 0.024 I5 0.028I4 0.034 I3 0.043I2 0.058 I1 0.088I0 0.182 稳定的算法稳定的算法 ！ 在我们今后的讨论中，误差将不可回避，在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。算法的稳定性会是一个非常重要的话题。注：递推公式注：递推公式(1)的舍入误差以的舍入误差以5的幂次增长进的幂次增长进行传播，因此是数值不稳定的，而递推公式行传播，因此是数值不稳定的，而递推公式(2)的舍入误差在一定范围内以的舍入误差在一定范围

27、内以0.2的幂次进行传的幂次进行传播，随着播，随着n的增大，误差逐步减少，因此该算的增大，误差逐步减少，因此该算法是数值稳定的。法是数值稳定的。 因此，可以看出数值不稳定的算法是不能使因此，可以看出数值不稳定的算法是不能使用的，实际计算中对任何输入数据都是数值稳定用的，实际计算中对任何输入数据都是数值稳定的算法，称为无条件稳定。而对某些数据数值稳的算法，称为无条件稳定。而对某些数据数值稳定，对其它数据数值不稳定的算法，称为条件稳定，对其它数据数值不稳定的算法，称为条件稳定。定。*11| 0.2|nnnnIIII*11| 5|nnnnIIII 病态问题和条件数病态问题和条件数 如果问题的输入数据

28、有微小扰动，就会引起输出结果数据如果问题的输入数据有微小扰动，就会引起输出结果数据（即解的很大扰动，称这样的问题为病态问题。相反的情形（即解的很大扰动，称这样的问题为病态问题。相反的情形称为良态问题。对于病态的数学问题，用通常的算法求数值解称为良态问题。对于病态的数学问题，用通常的算法求数值解都是不稳定的。都是不稳定的。 病态和良态是相对的，没有严格的界限，通常用条件数大小病态和良态是相对的，没有严格的界限，通常用条件数大小来衡量问题的病态程度，条件数越大病态可能越严重。来衡量问题的病态程度，条件数越大病态可能越严重。 条件数条件数c(x)越大，越大，f(x)的相对误差越大，通常认为的相对误差

29、越大，通常认为( )1c x时，问题是病态的。时，问题是病态的。1.要选择数值稳定的计算公式要选择数值稳定的计算公式 定义定义 一种数值方法，若原始数据有误差，一种数值方法，若原始数据有误差，而在计算的过程中，由于舍入误差的传播，使而在计算的过程中，由于舍入误差的传播，使得近似计算结果与准确值相差很大，则称这种得近似计算结果与准确值相差很大，则称这种数值方法是不稳定的。否则，在计算的过程中，数值方法是不稳定的。否则，在计算的过程中，若舍入误差得到控制，近似计算结果能逼近准若舍入误差得到控制，近似计算结果能逼近准确值，则称这种数值方法是稳定的。确值，则称这种数值方法是稳定的。，试问用递推公式，试

30、问用递推公式例例10 10 给定给定采用正向递推和逆向递推求采用正向递推和逆向递推求的值是否稳定？的值是否稳定？dxexIxnn110), 2 , 1(11nnIInnnI002211!) 1(IInIInnIInIInnnnnn解解nI11nnnII), 2 , 1(11nnIInn的近似值为的近似值为)(11nnnnIInII从而有从而有 对上式两边求绝对值得对上式两边求绝对值得 按给定的递推公式采用正向递推计算按给定的递推公式采用正向递推计算nI的值是不稳定的。的值是不稳定的。2.要避免两个相近的数相减要避免两个相近的数相减在数值计算中，两个相近的数作减法时在数值计算中，两个相近的数作减

31、法时有效数字会损失。有效数字会损失。例例11: 11: 求求当当x = 1000 x = 1000，y y 的准确值为的准确值为0.01580 0.01580 xxy1的值。的值。类似地类似地 yxyxlnlnln2sin2cos2sin)sin(xxx(2) 若将原式改写为若将原式改写为xxxxy111那么那么 y = 0.0158102. 062.3164.3110001001y(1)直接相减直接相减有有3 3位有效数字！位有效数字！只有只有1位有效数字位有效数字3.尽量避免绝对值太小的数作分母尽量避免绝对值太小的数作分母例例1212：2 .2718001. 07182. 2如分母变为如分母变为0.00110.0011，也即分母只有，也即分母只有0.0