贵阳市普通高中2019届高三年级8月摸底考试理科数学试题答案解析与点睛(23页)

1、贵阳市普通高中2019届高三年级8月摸底考试理科数学试题理科数学试题一.选择题1 .设复数z=上，则|z|()1+ iD. 2A. 0B. 1C. 2【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法法则先化简，再根据求模公式求忆|.1- i(1- i)21- 2i + i2- 2i .【详斛】Q z = = 2- = = - i ,1+ i (1+ i)(1- i)1- i 2z = "(- 1)2 = 1.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模的计算，属于基础题2 .已知集合 U = R, A= x|y log2（2x 1）,贝u CuA=（A. x | xB.C. x| x

2、-21D. x |x 一 2【解析】【分析】由函数y = log2(2x-1)的真数2x- 1>0,可求出集合A,即求CuA.【详解】Q 2x 1 0, x故选：D .【点睛】本题考查函数的定义域和集合的补集运算，属于基础题.3 . 设 x R , 则 “ x 2”是 “ x24 ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解出两个命题所表示的范围, 再根据集合间的包含关系得命题的充分条性和必要性【详解】解: 设命题 p : x 2 , 命题 q : x2 4 ,2q : x 4 x2或 x 2 ,p : x 2

3、是小范围, q :x2 4 x2或 x 2 是大范围 .小范围可以推出大范围, 大范围不能推出小范围.故 p q,q p,故 p 是 q 的充分不必要条件.即“x 2 ”是“ x2 4 ”的充分不必要条件 .故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断, 可从集合的包含关系进行判断.644 . 在 x 1 的展开式中，含x4 项的系数是（）20A. -15B. 15C. -20D.【答案】B【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为4, 求出展开式中x4 的系数.61 的展开式的通项为Tr 1 ，则Tr 1C6rx6 r 1 r1 r C6r x6 r令 6 r 4, rX

4、4的系数为12C： 15.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题5.已知0,且sin(-) 1, 贝U cosA 3 八.21B.一2D.由0 ，且sin(一) 1,求出 ，即求cos3【详解】Q0 ，且sin( ) 1, 3_ _5_32 ,6 .5 ,3cos coscos cos.6 662故选：C.【点睛】本题考查利用诱导公式求三角函数值，属于基础题“，八 1 x y 36.已知x, y满足约束条件，则目标函数z 4x 2 y的取值范围是（1 x y 1A. 0, 12B. 2, 10C. 4, 10D.【答案】B【解析】【分析】)2, 12先作出不等式组表示的平面区域，结合

5、图象及z的几何意义可求z的取值范围【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示5由z 4x 2y ,得y 2x * ,则三为直线在y轴上的截距. 22平移直线y2x -,当直线过点A时，-最小，此时z取最小值；当直线过点 B时，二最大,此时z取2 22最大值.、 x y 1 o x 0解方程组，得 ，即A 0,1 , Zmin 4 0 2 1 2.x y 1 y 1.、x y 3 Q x 2 ,解方程组"，得 ，即B 2,1 ,Zmax 4 2 2 1 10.x y 1 y 1z 4x 2 y的取值范围是 2,10.故选：B.【点睛】本题考查简单的线性规划，正确作出不等式组表示的平面

6、区域是解决问题的关键7 .贵阳市交管部门于 2018年4月对贵阳市长期执行的“两限”政策进行了调整，调整后贵阳市贵A普客小汽车拥有和外地牌照汽车一样的驶入一环开四停四的权利，为统计开放政策实施后贵阳市一环内城区的交通流量状况，市交管部门抽取了某月30天内的日均汽车流量与实际容纳量进行对比，比值记为ai(i 1,2,L ,30),若该比值不超过1称为“畅通”，否则称为“拥堵”，如图所示的程序框图实现的功能A.求30天内交通的畅通率B.求30天内交通的拥堵率C.求30天内交通的畅通天数D.求30天内交通的拥堵天数【答案】A【解析】【分析】模拟程序的运行过程，可得k的值为30天内交通的畅通天数，即可

7、得到答案.【详解】由程序框图可知，只有当 ai 1时，k才计数一次，并且进入循环，进行下一次判断，所以ai 1(i 1,2,L ,30)的数量为k.而ai 1代表畅通，所以k的值为30天内交通的畅通天数.当i 31时, kk .不满足条件，退出循环.所以输出表布30天内交通的畅通率.i 130故选：A.【点睛】本题考查程序框图的实际应用，属于基础题8 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(KI正规牌I便视图A. -3B.C. 3D. 12【答案】C【解析】【分析】该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可 求出其外接球的

8、表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示该几何体是棱长为 1的正方体中的三棱锥 A BCD, AB BC BD 1.所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r为正方体体对角线的长即 2r .12 12 12.3.所以外接球的表面积为 4 r23 .故选：C.【点睛】本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.2.35、9. a , b , c ,贝U ()ln 2 ln3 ln 5A. b c ab. a b cC. b a cd. c a b【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算性质，两两作差，比较大小

9、，即得【详解】函数y ln x在0,上单调递增，且x 1时，ln x 0； 0 x 1时，ln x 0.八 53 5ln 3 3ln5 In 35 ln53Q c bln 5 ln3 ln5ln 3 ln5ln 3ln空125ln5ln 3ln1ln5ln 30'八23 2ln 3 3ln2ln32 ln 23Q a b - ln2 ln3 ln 2ln 3 ln 2ln 3ln98ln2ln3ln1ln 21n 30'a b.八25 2ln 5 5ln 2 ln52 ln 25Q a c ln 2 ln5 ln2ln 5 ln 2ln 5,25 ln32ln2ln 5ln1l

10、n2ln 5c a b.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算性质和对数函数的单调性，考查作差法比较大小，属于基础题10.棱长为2的正方体ABCD ABCD中，E,F分别是棱GD和CB的中点，则经过点B,E,F的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（）9A.一2B. 3.103 C.一2D. 11q画出所截得的封闭图形，根据正方体的性质可求【详解】如图所示，经过点 B, E,F的平面截正方体所得的封闭图形为四边形BDEF .JE1 Q E,F分别是棱GD1和eg的中点，EF/BD ,且EF BD .2Q正方体棱长为2, BD 2立EF 22.四边形BDEF 一个等腰梯形在 RtVBB1F 中，BF

11、 正2 12 岳,C. yexxD. y 2|x|x2【答案】D【分析】对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果 一、-,一 一， 一 x【详解】对于A,函数f x当x 0时，y 0；当x 0时，y 0,所以不满足题意.对于B,当x 0时，f x单调递增，不满足题意.对于C,当x 0时，f x 0,不满足题意.对于D,函数y 2凶-x2为偶函数，且当x 0时，函数有两个零点，满足题意.故选D.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从

12、函数的周期性，判断图象的循环往复；从函数的特征点，排除不合要求的图象.12.已知点P是曲线y = sinx + lnx上任意一点，记直线 OP (O为坐标原点)的斜率为 k,则()A.至少存在两个点 P使得k 1B.对于任意点P都有k 0C.存在点P使得k 2d.对于任意点P都有k 1【答案】D【解析】【分析】设点 P(x,sinx + lnx),x>0 ,则卜=sin x+ln x ? l+n ,令 f x 1 ln x ,利用导数求 k 1 ,再利用排 xxx除法，确定答案.【详解】函数y = sinx+ ln x的定义域为 0,.设点P(x,sin x + In x),x>0

13、 ,sinx +ln x 1 + ln x ,. .一,、则直线OP的斜率k =?，当sinx 1时，等号成立.1 ln xx x1c-In x2x，贝U f ,= (1 + lnx)?x (1 + lnx)?x =i，x (1 1n x)x 1时,f x 0；当 x 1 时，f x 0 ,f x在0,1上单调递增，在 1,上单调递减,1 1n xf(x)?f(1) 1,即L上由 1,当x 1时，等号成立 xsin x + 1n x 1 + In x 1 + In x k = #,xx x1,但等号成立的条件不同,k 1,即对于任意点 P都有k 1 , 排除选项C .又Q x 1 时，k =

14、sin1+1n1 =sin1 >0 , 排除选项 B.1假设至少存在两个点 P使得k 1 ,即sinx+1nx = -1 , x则方程sin x+1n x+x =0在0,内至少有两解,，、1令 g(x) = sinx + 1nx+x,x>0 ,贝U g (x) = cosx + - x+1> 0恒成立.g x在0,上单调递增,方程sinx + 1nx + x = 0在0,内至多有一解，与假设矛盾，所以假设不成立.排除选项A.故选：D .【点睛】本题考查函数的性质、函数与方程及导数的应用，考查学生的逻辑推理能力，属于较难的题目二.填空题r rr rr r13.已知向量a,b的夹

15、角为60。，|a| 1,|b| 3,则13a b| 【答案】3 3【分析】r r:-r2-T2mr2|3a b| , 3a b 9a6ago br rr【详解】Q向量a, b的夹角为60° , | a |，代入数据计算即得.rr 2 r21,|b| 3, a 1,br r9,a* 1 3cos60r r r r 2 T2r-rr?|3a b| . 3a b -9a6ago b故答案为：3 3.( )x2x2【点睛】本题考查向量的数量积和模的计算，属于基础题14.直线l : ax y 2 a 0在x轴和y轴上的截距相等，则实数 a =【答案】1或-2【解析】分析：先分别设x 0, y

16、0解出直线l:ax y 2 a 0在x轴和y轴上的截距，当x 0, y 2 a,2 a当y 0, x ,列万程求解.a2 a详解：当x 0, y 2 a,当y 0, x ,直线l: ax y 2 a 0在x轴和y轴上的截距相等，a2 a所以2 a ,解得a 1, 2a点睛：求坐标轴上的截距，只需要 x 0, y 0即可不用化为截距式求.15.汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的赵爽弦图"（如图），四个全等的直角三角形（朱实），可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形（黄实），若直角三角形中一条较长的直角边为8, 一个直角三角形的面积为 24,若在大正方形内扔一颗玻璃小球，则小球

17、落在黄实”区域的概率为 【答案】25【解析】由题意可得，直角三角形另一条直角边的长为6,所以小正方形的边长为 2 ,由几何概型可求概率【详解】因为直角三角形的面积为24, 一条较长的直角边为 8,所以直角三角形另一条直角边的长为6,所以小正方形的边长为 2 ,大正方形的边长为 10,2225所以小球落在黄实”区域的概率为 J10 1故答案为：25【点睛】本题考查数学文化、几何概型，属于基础题16.给出以下四个结论:(1)(2)一，x 1 一函数f（x）的对称中心是 1, 1 ；x 11 一若关于x的万程x - k 0在x 0,1没有实数根，则k的取值范围是k 2； x(3)已知点P a,b与点

18、Q 1,0在直线2x 3y 1 0两侧，则3b 2a 1;若将函数f（x） sin（2x §）图象向右平移（0）个单位后变为偶函数，则的最小值是一； 12其中正确结论是:_巴所有正确命题的序号填上）根据函数图象平移的变换法则,断（2）的正误；根寸可以判断（4）的正【详解】对于（1 ）,对于一 ，1(2),由 x x1x x xx 在 x 0,1所以若关于x的方程可以判1)1,1心是0,得kx0,1,则f0,勺值域为0,1没有卖戛k 0.故（2）错误;fxx即可得到答案数 f(x)对于(3),若点P可以判断（；根据三角函数的平移变换,2a-3b + 1<0,对于（4）,将函数y

19、sin 2 x0,a,b与点Q 1,0在直线2x 3y 13b 2a 1.故(3)正确;f(x)sin(2x3）的图象向右平移sin 2x0两侧，则2a（0）个单位,2 一,因为平移后为偶函数，所以33b 1 23 0 10,即k 5 c ,Q 2120, min一.故（4）正确.12231,k Z ,2故答案为：(3) (4)【点睛】本题考查函数的性质、函数与方程、三角函数的图象与性质及直线的性质，综合性较强三.解答题17. VABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知sin B sinC(1)求角A的大小；a sin A 3csin B(2)若c 应,a2 bc,求VABC的面积

20、.【答案】(1) A ； (2)旦.32【解析】【分析】(1)由正弦定理和余弦定理可求 A;(2)由余弦定理可求 b,由面积公式可求 VABC的面积.a sin A 3csin B【详斛】(1)已知sin B sin C ,由正弦定理可得即 b c 2 a2 3cb,整理得 a2 b2 c2 bc.1 由余弦7E理得cosA .2Q A 0, A -.3(2)由(1)知A ,由余弦定理得a2 b2 c2 bc. 3Q c72, a2bc,bc b2c2bc,bc 2 0, bc、2.VABC的面积Sbcsin A 2 2 2 sin 223【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，

21、属于基础题18.2018年1月18日，国家禁毒办召开视频会议，部署开展全国禁毒示范城市创建活动，会上，贵阳成功入选为首批全国101个示范创建城市之一.为进一步推进创建工作的开展，贵阳市教育局全面部署了各中小学深入学习禁毒知识的工作.某校据此开展相关禁毒知识测试活动，如图的茎叶图是该校从甲、乙两个班级各随机抽取5名同学在一次禁毒知识测试中的成绩统计乙8478(1)请从统计学角度分析两个班级的同学在禁毒知识学习上的状况;(2)由于测试难度较大，测试成绩达到 87分以上(含87分)者即视为合格，先从茎叶图中达到合格的同学中抽取三人进行成绩分析，试求抽取到的同学中至少有两人来自甲班的概率;(3)已知本

22、次测试的成绩 X服从正态分布 N 86,121 ,该校共有1000名同学参加了测试，求测试成绩在86分到97分之间白勺人数.(参考数据 P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544)1，【答案】(1)两个班级的同学测试平均分相同，但甲班同学的成绩比乙班同学稳定；(2) ; (3)测试成2绩在86分到97分之间的人数约为 342人(或341人).【解析】【分析】(1)根据甲、乙两班 5名同学测试成绩的平均值和方差进行判断；(2)抽取到的同学中至少有两人来自甲班有两种情况：甲班 2人乙班1人，甲班3人，应用组合的知识可求概率；(3)由参考数据，求出测试成绩在86分到97分之间的

23、概率，再乘以 1000,即为所求人数.【详解】(1)由茎叶图可知，甲、乙两班5名同学测试成绩的平均值分别为7甲87亚乙87,方差分别为s224,s242.4 .-22Q x甲 x乙，阱 之，两个班级的同学测试平均分相同，但甲班同学的成绩比乙班同学稳定(2)记“抽取到的同学中至少有两人来自甲班”为事件 A.茎叶图中测试成绩合格的同学有6名，从中抽取三人共有 C63 20种选法，抽取到的同学中至少有两人来自甲班的选法有C32c3 C33 10种，101所以抽取到的同学中至少有两人来自甲班的概率P A 120 2(3) Q X :N 86,121 ,86,11,又Q P(0.6826 ,P(7597

24、) 0.6826,1P(86 X 97) - P(75 X 97) 0.3413,2由 10000.3413 341.3,所以测试成绩在 86分到97分之间的人数约为 342人(或341人).【点睛】本题考查茎叶图的实际应用，综合性较强，属于中档题19.如图所示四棱锥S ABCD中，底面ABCD是边长为 J2的正方形，平面 SAD 平面ABCD ,SA SD 1.(2)求二面角 A SB C的正弦值.【答案】(1)证明见详解;(1)先证 SA SD, CDSA,由线面垂直的判定定理可证 SA 平面SCD,再由面面垂直的判定定理可证平面SAB 平面SCD ;(2)建立空间直角坐标系，求平面 SA

25、B和平面SBC的法向量，求两个法向量夹角的余弦值，再求正弦值【详解】(1)证明：QSA SD 1,AD V2, SA2 SD2 AD2, SA SD.又Q平面SAD 平面ABCD,平面SAD 平面ABCD AD,CD ADCD A 平面 SAD, CD SA,又QCD SD D, SA 平面 SCD,又QSA平面SAB,平面SAB平面SCD.(2)取 AD 中点 O,连接 SO.QSA SD, SO ADQ平面SAD 平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD,SO 平面SAD ,SO 平面 ABCD.O坐标系S则A 0,C2,32£,0 ,B32,2,S 0,0,2uurSB2

26、,二2uuir,BC0, 2,0uui ,SD.22 .0, ，, AB.2,0,0 .uur uur uur uuu QSDgSB 0, SDgAB 0,SDSB,SDAB又 SB AB B, SD平面SAB,uuu -SD是平面SAB的一个法向量,imrSD1,0,2 ,r设n x,y,z是平面SBC的法向量，则, 2x0,令 x 1, z 2 ,viuvnSB 0 日. v uuv ,即v BC 0r uuu cos n,SD所以二面角Ar uur ngSD r uuu n SD222105SB C的正弦值为1T【点睛】本题考查面面垂直和空间角,考查用向量的方法解决立体几何的问题,属于中

27、档题1(a b 0)过点 P3,2_2220.已知右焦点为F J3,0的椭圆C ： x2与a2 b2(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l交椭圆C于点A, B ,连接OA ( O为坐标原点)交 C于点M ,求AMAB的面积取 得最大值时直线l的方程.2【答案】(1) 上 y2 1; (2) X 72y 有 0.4【解析】【分析】(1)由题意可知，左焦点F1 73,0 ,c J3.所以由椭圆的定义2a PF PF1可求a ,再根据b2 a2 ，求出b2 ,即可求出椭圆C的方程;(2)分类讨论当直线的斜率存在和不存在两种情况求4MAB的面积.当直线的斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，结合

28、韦达定理，表示出MAB的面积，再利用基本不等式求最值22_【详解】Q椭圆C：xy与1(a b 0)的右焦点为F73,0, 左焦点F1V3,0,c网a bQ椭圆C过点P 73,-,由椭圆的定义可知2_1 1LL2122a PFPF1- J V3V3-04, a 2，2 V2222b a c 1.2由椭圆C的方程为y2 14(2)由题意可知，直线的斜率不为0.2 .3.3.1当直线的斜率不存在时，易求 SVABM 12当直线的斜率存在时，可设直线 l的方程为xmy 3, a x1，y1 , B x?2 联立方程组x my12消x可得m 4.3y2 2.3my 10,则y1y2mTy1y2yiy22

29、yy24y1y22 3m2m 4242m4. m2 1m2 4SVOABof yiy22.3QO是MA的中点,SVMAB2SVOAB4.3,m2 1m2 44.31.ml -3=一 m 1m2 1273,1SVMAB42732,当且仅当Jm2 1=，即m72时等号成立.1VMAB面积的最大值为2.综上，VMAB面积的最大值为2.所以直线l的方程为x J2y J3 0.【点睛】本题考查椭圆的定义、几何性质及与椭圆有关的面积的最值问题，考查分类讨论的数学思想和学 生的运算能力，属于较难的题目21.已知函数 f(x) xln x ax a(a R)(1) f(x)在点1,f处的切线方程为 y x t

30、,求a和t的值;(2)对任意 x 1, f (x) 0恒成立，求a的取值范围【答案】a 2,t 1 ；,1 .【解析】【分析】(1)求f'(x),由导数的几何意义可得f'(1)1,求出a,求出f 1 ,把点1, f(1)代入切线方程，求出图；a 一 (2)对任意的x 1, f (x) 0恒成立，等价不等式ln x - a 0对任意的x 1恒成立.令 xg x ln x a a, x 1,只需g x min 0 .求g x ,对a分类讨论，利用g x的单调性求解. x _ -，、 ， _ ' 【详解】(1)函数f (x) xln x ax a(a R)的定义域为 0, f

31、 x In x 1 a.Q f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y x t, ' 一 _ 由导数的几何意义可得f (1)1,即ln1 1 a 1, a 2.f (x) xlnx 2x 2, f 10,把点1,0代入切线方程y x t,得t 1.a 2,t 1.(2)对任意的x 1, f (x) 0恒成立，即xlnx ax a 0对任意的x 1恒成立， a 等价于ln x a 0对任意的x 1恒成立. x a'1ax a令 g x lnx -a, x1,则 gx-2.xx x x'当a 1时，g x 0恒成立， g x在1,单倜递增，g x g 1 ln1 a a 0

32、恒成立，故a 1满足题意. ' 当 a 1 时，令 g x 0, x a. ''当 1 x a 时，g x 0 ；当 x a时，g x 0,g x在1,a单调递减，在 a,单调递增，g x min g a lna 1 a.lnx 1 x,x 1, 11 x.,则h x - 1 0在1,上恒成立，x xh x在1,单调递减，h x h 10,ag x min g a h a h 10,与lnx a 0对任意的x 1恒成立矛盾,x故a 1不合题意，舍去.综上，a 1.所以实数a的取值范围为 ,1 .【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性和分类讨论的数学思想，属于较

33、难的题目22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方3x2 得到点P的对应点12yx程为 2 ,。上任意一点P的直角坐标为 x, y ,通过变换y标.(1)求点p'的轨迹C2的直角坐标方程；x(2)直线l的参数方程为y的值.2【答案】±y2=1； 9【解析】【分析】2x - x(1)先把曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入3 ，即得曲线 C2的直角坐标方程;y 2y2(2)将直线l的参数方程代入C2的直角坐标方程 y2 = 1 ,再利用直线参数方程的几何意义求解.91 t2L ( t为参数)，l交C2于点2乌22,

34、33P (x ,y)的坐M、N,点 Q 0, 2 ,求QMQN【详解】(1 )因为曲线C1的极坐标方程为2 ,所以C1的直角坐标方程为x2 y2 4.x x22由 2 ,得 x 3X,代入 x2y24得-x'24y24,即上y'2=1.199y -y y 2y22所以曲线C2的直角坐标方程为 y2 = 1.9(2)将直线l的参数方程代入y2=1,得 7t2 18J3t27 0设点M , N所对的参数分别为ti,t2 ,则t1t2应311t2空，ti0,t20 .7 '7又因为直线l过点Q 0, 2 ,由直线参数方程的几何意义可得11111|QM| |QN| 同日 R1