5、简单的三角恒等变换

1、1第三章第三章三角恒等变换三角恒等变换2请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式 222sincos2cos ：C cossin22sin 2 ：S 22tan1tan22tan ：T1cos22 2sin21 3 22sincos2cos 2cos22cos1=(cosa-sina)(cosa+sina) 2sin22cos142. 请思考：请思考：有有什什么么关关系系？与与）（ 2 2 那那么么公公式式有有什什么么结结果果？，代代替替，以以代代替替：如如果果以以探探究究 2 2 1（1）你怎样理解公式两边的）你怎样理解公式两边的“角角”的关系？的关系？例1.2t

2、an,2cos,2sincos222表示试用解解.2的二倍角是,2,2,sin212cos2代替以代替以中在公式 2sin21cos22cos12sin2,2,2,1cos22cos2代替以代替以中在公式12cos2cos22cos12cos2得cos1cos12tan262cos1 2sin 2cos1 2cos cos1cos1 2cos2sin2tan :2 S:2 C:2 T7 cos1cos1 2cos2sin2tan 2cos2sin2tan 2cos22cos2sin22 cos1sin 2cos2sin2tan 2cos2sin22sin22 sincos1 例2求证求证 .2

3、cos2sin2sinsin2;sinsin21cossin1解解(1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所以从右边着手sin(+) sincos+cossinsin(-) sincos-cossin两式相加,得sin(+) + sin(-) 2sincossinsin21cossin(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) 2sincos 设 +=, -=2,2把,的值代入,即得.2cos2sin2sinsin10 xbxacos sin 变形的目标：变形的目标：化成一角一函数的结构化成一角一函数的结构变形的策略：变形的策略：引进一个引进一个“辅助角辅助角” ab22

4、ba xbabxbaabacos sin222222 xxbacossin sincos22 ) sin(22 xbaabtan 其中11) sin(cos sin22 xbaxbxa函数函数使使 )sin( xAyabtan其中 cos sin bay 设设的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用三角函数式中的作用 ab22ba 12.cos3sinxy 3值值和和最最小小值值的的周周期期，最最大大求求函函数数、例例x xxycos3sin 解：解：)cos23sin21(2xx )3sin(2 x所以，所求的周期所以，所求的周期 ,

5、22 T最大值为最大值为2，最小值为，最小值为- -2)3sincos3cos(sin2 xx 分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.用辅助角公式试试用辅助角公式试试例4.?ABCD, COP . 31并求出最大面积的面积最大矩形取何值时当角求记扇形的内接矩形，是弧上的动点是扇形的扇形圆心角为是半径为如图，已知ABCDCOPQ分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行.找出S与之间的函数关系;由得出的函数关系,求S的最大值.解解在在RtOBC中中,OB=cos ,BC=sin 在在RtOAD中中,360tanOADAsin333333BCDAOAsin33

6、cosOAOBAB设矩形设矩形ABCD的面积为的面积为S,则则BCABSsinsin33cos2sin33cossin2cos1632sin21632cos632sin21632cos212sin23316362sin31,6 ,262 ,30时即所以当由于6363-31S最大通过三角变换把形如通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数的函数转化为形如通过三角转化为形如通过三角变变换换把形如把形如y=asinx+bcosx的函数的函数转化为形如转化为形如y=Asin(+ )的函数的函数,从而使问题得到简化从而使问题得到简化16.2 ,31tan,71tan 4 角角，求求均均为为锐锐，并并且且已已知知、例例均均为为锐锐角角，且且解解： 1,31tan1,71tan ,40 ,40 .4320 ,43tan1tan22tan2 又又, 1437114371tantan1tantan)2tan( .42 17已知已知， (0, ),.2 ,71tan , 21)tan( 求求 )tan(tan 解解析析： tan)tan(1 tan)tan(311),4, 0( ),2(), 0(,71tan 又又),0 ,(2 )(tan)2tan( )tan(tan1 )tan(tan 1.43