9.6实对称矩阵的标准形ppt课件

1、引理引理1 1 设设A A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A A的特征值皆为实数的特征值皆为实数12nxxx 证：设证：设 是是A的任意一个特征值，则有非零向量的任意一个特征值，则有非零向量0 满足满足0.A ,AAAA 其中其中 为为 的共轭复数，的共轭复数，iixx12,nxxx 令令0 ()A ()A 又由又由A实对称，有实对称，有0() AA ()A 0() ()A ()A 0() 0 12120nnx xx xx x 由于是非零复向量，必有由于是非零复向量，必有 故故 00. 0.R 考察等式，考察等式，00 引理引理2 2 设设A A是实对称矩阵，在是实对称矩阵，在 n n 维欧氏

2、空间维欧氏空间 上上nR( ),nAR 定义一个线性变换如下：定义一个线性变换如下： ( ), () , 则对任意有则对任意有 ,nR 或或()().AA 1210001, .,0001n 1212(,.,)(,.,)nnA 证：取证：取 的一组标准正交基，的一组标准正交基，nR那么在基那么在基 下的矩阵为下的矩阵为A，即，即 12,.,n 任取任取1122,nnnxyxyRxy1 122.nnyyy 1 122.nnxxx 即即 ( ),()AX Y ()XAY 12(,.,),nX 12(,.,) ,nY 于是于是1212( )(,.,)(,.,),nnXAX 1212()(,.,)(,.

3、,),nnYAY 又又 是标准正交基，是标准正交基，12,.,n X AY ()X A Y , ( ) , () ().A 即有即有 (), ( )A ( ), 又注意到在又注意到在 中中 ,XY nR1 1定义定义 ( ), ( ) ,V 则称为对称变换则称为对称变换 设为欧氏空间设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足中的线性变换，如果满足 1n维欧氏空间维欧氏空间V的对称变换与的对称变换与n级实对称矩阵在级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：标准正交基下是相互确定的： 2 2基本性质基本性质 实对称矩阵可确定一个对称变换实对称矩阵可确定一个对称变换 一组标准正交基一组标准正交基11(,.)

4、(,.)nnA 事实上，设事实上，设,n nARAA 12,.,n 为为V的的定义定义V V的线性变换：的线性变换： 那么即为那么即为V V的对称变换的对称变换 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵()n nijAaR 12,n 为为V V的一组标准正交基，的一组标准正交基，事实上，设为事实上，设为n维欧氏空间维欧氏空间V上的对称变换，上的对称变换， 为在这组基下的矩阵，即为在这组基下的矩阵，即 1212(,)(,)nnA 或或1122()iiininaaa 1,1,2,nkikkain 于是于是 1(),nijkikjka 1(,)nkikjka

5、(,)jijja jia 1, (),nijikjkka 1(,)nkjikka (,)ijiia ija ,1,2,ijjii jn 即即所以所以A A为对称矩阵为对称矩阵由是对称变换，有由是对称变换，有 (), ()ijij 2）（引理）（引理3对称变换的不变子空间的正交补也是对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间它的不变子空间对对 ,W ,W 任取任取即即 ( ),W ( ).W 证明：设是对称变换，证明：设是对称变换，W为的不变子空间为的不变子空间 要证要证( ),W 即证即证( ).W (),W 由由W是是 子空间，有子空间，有 ( ), ()0 因此因此故故 也为的不变子空

6、间也为的不变子空间W 1 1( (引理引理4)4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于分别是属于 的特征向量的特征向量 , , 那么那么 ( ),A 是正交的是正交的 正交基下的矩阵，正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵证：设实对称矩阵A为为 上对称变换的在标准上对称变换的在标准nR , 是是A的两个不同特征值的两个不同特征值 ，(),A 由由 ( ), () 又又, ( ,)0 即即 正交正交, ( (定理定理7)7)对对 总有正交矩阵总有正交矩阵T T，使，使,n nARAA 112(,).nT ATTATdiag (,)( ,), 有有( ,)(

7、,). 即即证：设证：设A为为 上对称变换在标准正交基下的矩阵上对称变换在标准正交基下的矩阵nR 由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有有n个特征向量作成的标准正交基即可个特征向量作成的标准正交基即可 n=1时，结论是显然的时，结论是显然的 对对 的维数的维数n用归纳法用归纳法 nR有一单位特征向量有一单位特征向量 ，其相应的特征值为，其相应的特征值为 ，即，即1 1 1111(),| 1 假设假设n1时结论成立，对时结论成立，对 设其上的对称变换设其上的对称变换 ,nR设子空间设子空间1(),LW 显然显然W是是 子空间，子空间， ,dim

8、1nWWRWn ( ),( ),W 那么那么 也是也是 子空间，且子空间，且 W 又对有又对有,W , ( ) ,( )W 所以是所以是 上的对称变换上的对称变换WW 由归纳假设知由归纳假设知 有有n1 个特征向量个特征向量W 23,n 构成构成 的一组标准正交基的一组标准正交基W 从而就是从而就是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，123,n nR又都是又都是 的特征向量的特征向量nR即结论成立即结论成立3实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设设 ,n nARAA (i) 求出求出A的所有不同的特征值：的所有不同的特征值：12,rR 其重数其重数 必满足必满足

9、; 12,rn nn1riinn (ii) 对每个对每个 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 i ()0iEA X 求出它的一个基础解系：求出它的一个基础解系：12,iiin 它是它是A的属于特征值的属于特征值 的特征子空间的特征子空间 的一组基的一组基i iV 正交基正交基12,.iiin 把它们按把它们按 正交化过程化成正交化过程化成 的一组标准的一组标准SchmidtiV (iii) 由于由于 互不相同，互不相同，12,.r 且且1dim,iriWn 11112112,rnrrrn就是就是V的一组的一组标准正交基标准正交基()ijVVij 所以所以则则T是正交矩阵，且是正交矩阵，且11

10、112112,rnrrrn 将将的分量依次作的分量依次作矩阵矩阵T的第的第1，2，n列，列，使使 为对角形为对角形1T ATTAT 例例1设设 0111101 111 011 110A 求一正交矩阵求一正交矩阵T使使 成对角形成对角形T AT 解：先求解：先求A的特征值的特征值11 1111|1 11111EA 211 1101011 3(1) (3) A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）,11 23. 2011 101010011111 31 11(1) 1 010 11 其次求属于其次求属于 的特征向量，即求解方程组的特征向量，即求解方程组11 ()0EA X111 11 1111 1

11、11111 1EA 得其基础解得其基础解 123(1,1,0,0)(1,0,1,0)( 1,0,0,1) 111 10 00 00 00 00 00 0把它正交化，得把它正交化，得 11(1,1,0,0) 2122111(,)11( ,1,0)(,)22 313233121122(,)(,)1 1 1(,1)(,)(,)3 3 3 再单位化，得再单位化，得111111(,0,0)|22 2221112(,0)|666 33311113(,)|12121212 这是特征值这是特征值 (三重三重)的三个单位正交特征向量，的三个单位正交特征向量，11 也即是特征子空间也即是特征子空间 的一组标准正交

12、基的一组标准正交基1V 再求属于再求属于 的特征向量，即解方程组的特征向量，即解方程组23 311 113 1131 1311113EA 1111022002200202 30EA X 444413111 13111131 0 010 1 0 10 0 1 10 0 0 0 得其基础解得其基础解 4(1, 1, 1,1), 再单位化得再单位化得 4111 1( , )222 2 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们1234, 4R都是都是A的特征向量，正交矩阵的特征向量，正交矩阵 1234111122612111122612(,)211026123100212T 使

13、得使得 11.13T AT 成立的正交矩阵不是唯一的成立的正交矩阵不是唯一的 对于实对称矩阵对于实对称矩阵A A，使，使12(,)nT ATdiag 而且对于正交矩阵而且对于正交矩阵T, 还可进一步要求还可进一步要求1.T 事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T T12(,),1nT ATdiagT 取正交矩阵取正交矩阵( 1,1,1),Sdiag 那么那么 是正交矩阵且是正交矩阵且1TTS 11,TT S 同时有同时有11()()()T ATTS A TSS T AT S 12111111n 12(,)ndiag 如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与如

14、果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的正交相似的对角矩阵是唯一确定的 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值12n (i) A为正定的为正定的0n (ii) A为半正定的为半正定的0n (iii) A为负定半负定的为负定半负定的 110(0)(iv) A为不定的为不定的10 且且 0n 实对称矩阵实对称矩阵A A的正、负惯性指数分别为正、负特的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数重根按重数计）特征值的个数重根按重数计）1解析几何中主轴问题解析几何中主轴问题将将 上有心上有心 二次曲线或二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标上有心二次曲面通过坐标2R3R的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.2任意任意n元实二次型的正交线性替换化