行列式的计算技巧窍门与方法情况总结(修改版)

1、行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1 .行列式的性质2 .行列式计算的几种常见技巧和方法2.1 定义法2.2 利用行列式的性质2.3 降阶法2.4 升阶法（加边法）2.5 数学归纳法2.6 递推法3 .行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1 拆行（列）法3.2 构造法3.3 特征值法4 .几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 "么”字型行列式4.4 “两线”型行列式4.5 “三对角”型行列式4.6 范德蒙德行列式5 .行列式的计算方法的综合运用5.1 降阶法和递推法5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3 构造法和套用范德蒙德行列式和，且

2、这两个行列式除去该行（或列）1.2行列式的性质性质1行列互换，行列式不变.即性质2现1a2a21a22anian2一个数乘行列式的一行ana11a21aMa2na12a22an2.anna1na2nann（或列），等于用这个数乘此行列式.即性质3a11ana11a12a1nkan kai2ka k ai1 ai2ain .an1an2anna n1an2ann如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即ana12Kana11a12Kana11a12KanMMMMMMMMMMMMb Gb2c2KbnCnbib2K

3、bnGC2KCnMMMMMMMMMMMMan1an2Kannan1an2Kannan1an2Kann性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零.即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2aink=0kai1kai2kainai1ai2a ina n1an2a nnan1an2a nn性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即ailai2ai naiiai2ai naiicakiai2 Cak2a incaknaiiai2ainakiak2a knakiak2akna nian2a nna nian2a nn性质6对换行列式中两行的位置，行列

4、式反号.即aiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainakiak2aknakiak2akn=-aiiai2ainanian 2annanian2a nn性质7行列式一行（或列）口零则行列式为零.即aiiai2ai,n-iain00000an1 an2an, n-1 ann2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.0 0 0 i0 0 2 0例i计算行列式0 3 0 04 0 0 0适用于任何类型行列式的计算,解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4! 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少.具体的说，展开式

5、中的项的一般形式是a1jia2j2a3j3a4j4 ,显然，如果ji 4,那么aij10,从而这个项就等于零.因此只须考虑ji 4的项，同理只须考虑j2 3, j3 2, j4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有ai4a23a32a4i ,而43216 ,所以此项取正号.故00010020030040002.2利用行列式的性质4321ia14 a23 a32 a4124.即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式.2.2.1 化三角形法a11a12以an0 a22a23a2n00 a33a3na11a22 ann，000ann1aa21a1b1a?例

6、2计算行列式Dn11aa2上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:a11000a21a2200a31a32a330/a2annan1an2an3annananbnan解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零.即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3 （ n 1）行上去，可得Dn1a1 bi Ma20an0bn2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算.这类计算行列式的方法称为连加法.计算行列式DnXi

7、解:Dn2.2.3XiXiXiX1 mXiXiX2X2X2X2x2 mX2XnXnXnXnXnXnXiX2X2X2滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时,这种方法叫滚动消去法.XnXnXnX2例4计算行列式Dn解：从最后一行开始每行减去上一行,DnnXi i 1Xn0可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,12 3 n 1 n 11 0 0002n 21 1 00011110n行的和全相同，但却为零.用连加法明显不行，这是我们可以2.2.4逐行相加减a1a10000a2a200例5计算行列式D00a300000anan11111对于有些行列式，虽然前 尝试用逐行相加减的方法.解：将第一

8、列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:a100000a200000a300an 0n n 12n 2 n11 n 1a1a2 ann1 n 1 a1a2an.2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开x10000x100例6解行列式Dn00x00000x1ana n 1an 2a2a1解：按最后一行展开，得n 1Dna1xa2xan 1Xan.2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了 k 1 k n-1个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即D M 1A1 M 2A 2M nA

9、 n ,其中A i是子式M i对应的代数余子式.AnnCnnBnnAnn ? Bnn，Ann0CnnBnn。？ Bnn.例7解行列式D n解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得a abDn 0000n 1 ab n 20000n 1 ab n 2aa000aaa00000000n 1 ab2.4升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算,那么升行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式

10、一般有五种: 般行列的位置.首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一例8解行列式D=解：使行列式D变成1阶行列式，即再将第一行的倍加到其他各行，得:D=从第二列开始，每列乘以加到第一列,得:(n 1) 02.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明.对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.cos100012 cos100例9计算行列式Dn012 cos000002 cos100012 cos解：用数学归纳法证明.当 n 1 时，D1 cos2时,D2cos12cos22cos 1 cos2猜想，Dn cosn .由上可知，当

11、n 1, n 2时，结论成立.cos100012 cos100当n k 1时,Dk 1012 cos000002cos100012 cos将Dk 1按最后一ew,得假设当n k时，结论成立.即:Dk cosk .现证当n k1时，结论也成立.cos1r, k 1 k 1 ccDk 11?2cos0102 cos11 2cos000 2coscos 101 2cos 1k 1 k101 2cos因为Dk所以Dk 12cos Dk Dk1.cosk2 cos2 coscoskcos k这就证明了当,Dk 1 cos k 1cos kcosk cos sin k sin ,DkDk 1coskcos

12、即：Dn cosn2.6递推法技巧分析：若则作特征方程0,0,在中,cosk cossin k sinsin k sin1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.n阶行列式D满足关系式aDn bDn 1 cDn 2则特征方程有两个不等根,则特征方程有重根XiA, B均为待定系数,可令0.例10计算行列式Dn解：按第一列展开，得2 axbxDnAx1nBxn 1X2,则Dn1,n2求出.nB x1n 1Dn9Dn 120Dn2 .Dn 9Dn1 20Dn 20.作特征方程 24_x 9x 20 0.解得x14, x2 5.则Dn A?4n1B?5n1n.当 n 1 时，9 A

13、 B ;当 n 2 时，61 4A 5B.解得A 16, B 25,所以Dn 5n 1 4n 1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值.拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可 直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变， 使其化为两项和.3.1.2 例题解析1a1a200011 a2a300011a300例11计算行列式Dn30001 an 1a n00011 a解：把第一列的元素看成两项的和

14、进行拆列，得1a1a20010 1a2a300011a3000001 an000011a200011 a2a300011 a3000001an 1an00011ana1a200001 a2a300011a3000001 a n 1a n00011 ani上面第一个行列式的值为DnDn 1a1ana2a3001a300所以1,1an1这个式子在对于任何n都成立,因此有Dn 1a11a2Dn 21a1aa2i i1 aj .anan1aa2an13.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原 行列式的值.3.2.2 例题解析解

15、：虽然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的111x1*2xn222x1x2xn例12 求行列式Dnnn 2n 2n 2x1x2xnnnnx1X2xn值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1111Xx2xnx2222f xx1*2xnxn 2n 2n 2n 2x1x2xnxn 1n 1n 1n 1x1x2xnxnnnnx1x2xnx将f x按第n 1列展开，得A,n 1A2,n 1xn 1nAn,n 1 x An 1,n 1 x 5n 1其中，x 的系数为An,n 11DnDn.又根据范德蒙德行列式的结果知f x x x1x x2xxnxj由上式可求得xn

16、 1的系数为XiX2XnXXj .1 j i n故有DnXiX2Xn XXj1 j i n3.3特征值法3.3.1 概念及计算方法设1,2, n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式1 2 n .故只要能求出矩阵 A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式.3.3.2例题解析例13 若1, 2,n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零.证明：因为|A1 2 n，则A 可逆 A 01 2 n 0 i 0 i 1,2 n .即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念a11a12a13a1na11a22a23

17、a2 na21a22形如a33a3na31a32a 33这样的行列式，形状像个三角形,annan1an2an3ann故称为“三角形”行列式.4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知,4.24.2.1形如anbna11 a2 aI3ama11000a22a 23a2na21a22000 a 33a3na11a22ann ,a31a32a33000annan1an2an3字型行列式“爪”概念a。bib2bnbnb2b1a。Cn4.2.2anna11 a22ann .anC1c2a2cna2a1C1C2C2a2Cia2C2b2a1b1Cia。计算方法anana。a1b1b2bn这样的行列式,形状像个

18、“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式.利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”,均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.4.2.3例题解析a11例14计算行列式a2a3an,其中 ai 0,i1,2, n.分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第i (i 2,3,n.)列元素乘以1一后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式. ai解:a1a1a2a3ana2a3an a1ai4.3"么”字型行列式4.3.1概念cnanaob1形如aoC2a2b2bnancnanbnb1bna1b2i 2 ai0a2C1a1C2a2ancna3cn

19、anaoC1a2C2c2a1a2ao b1 b2 b1bnanbnanb1a1c2cnb2a2b2a2cnb1aoa gc2bnan这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式.4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归 纳为：“么”字两撇相互消.注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用 an消去cn,然后再用an 1消4.3.3 例题解析1111b1例15计算n 1阶行列式Dn 111bn 11bn解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得Dn111n1bii 1n1bii 1n1bii 1b

20、n 1bnbnn n 3n11bii 14.4 “两线”型行列式4.4.1 概念& b1000 a2 b20形如这样的行列式叫做“两线型”行列式.000 bn 1bn00 an4.4.2计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解.4.4.3例题解析a1b10例16求行列式Dn0a2b2bn 1an000bn00解：按第一列展开，得a2b20Dmaibn 1bn4.54.5.1形如列式.4.5.2bi00a2b2000bn1n11a©an1bbbn.“三对角”型行列式概念ababab这样的行列式，叫做“三对角型”行计算方法对于这样的行列式, 归纳法证明.4.5.3例题解析例

21、17 求行列式Dn解：按第一列展开，得Dn a b Dn1变形，得ab可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学b ab00 0001 a b ab 0 00001 a b ab 0000000 0a bab0000 01a00000a b ab0001 a b ab00*a bc000a b ab0001 a babab1000b Dn 1 abDn 2.DnaD n 1b Dn 1aDn 2由于 D1 a b,D2 a2 ab b2,从而利用上述递推公式得DnaDnb Dn 1 aDn 2,2b D n 2 aD n 3bn 2 D2 aD1 bn.DnaDnbn a a

22、Dnbn1 bnan 1D1Cn 22a babn 1 bn1babnbn.4.6 Vandermonde行列式4.6.1概念形如a12a1a32a3这样的行列式,成为n级的范德蒙德行列式.4.6.2n 1a1n 1a2n 1a3nan计算方法4.6.3例题解析11114a2a3an2222可得4a2a3ann 1n 1n1n 1a1a2a3an111X1X2Xn222X1X2Xn.n 2n 2n 2X1X2XnnnnX1X2Xn通过数学归纳法证明,例18求行列式Dnai aj1 j i 1解：虽然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值.构造n 1阶的

23、范德蒙德行列式，得1111X1X2XnX2222X1X2XnXfXn 2n 2n 2n 2X1X2XnXn 1n 1n 1n 1X1X2XnXnnnnX1X2XnX将f X按第n1列展开，得fXA,n 1AiAn n,n 1 X1其中，Xn1的系数为An1,nAn,n 11 DnDn.又根据范德蒙德行列式的结果知XiX2XnXi Xj n由上式可求得Xn1的系数为XiX2XnXj故有DnXiX2XnXj5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简 便易行.下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.5.1降阶法和递推法2100012100012000002100012例19计算行列式Dn分析：乍一看该行列式，