数字电路逻辑函数以及简化PPT课件

1、2 2或运算当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。 或逻辑举例：或逻辑举例： 若用逻辑表达式若用逻辑表达式来描述，则可写为：来描述，则可写为： L LA A+ +B B 第1页/共35页3 3非运算非运算某事情发生与否，仅取决于一个条件，而某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。条件不具备时事情才发生。非逻辑举例：非逻辑举例： 若用逻辑表达式来描述，若用逻辑表达式来描述，则可写为：则可写为： AL =AL=第2页/共35页

2、5 5或非 由或运算和非运算组合而成。 4 4与非与非 由与运算和非运算组合而成。由与运算和非运算组合而成。A B000011111110&ABL=AB(a)(b)L=AB01A B1011L=A+BA00B1(a)(b)000L=A+B1第3页/共35页6 6异或 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0 0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1 1。 异或的逻辑表达式为：BAL=1100(b)BA0A B10101(a)01L=A=1+AB+ B7.7.同或同或 同或是异或的非运算，即同或是异或的非运算，即当两个变量取值相同时，逻辑函数值当两个变量取值相同时，

3、逻辑函数值为为1 1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0 0。 同或的逻辑表达式为：同或的逻辑表达式为：BABABAL=BA=1L第4页/共35页2.1.2 2.1.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法解：第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。 对于自变量A A、B B、C C设： 同意为逻辑“1 1”， 不同意为逻辑“0 0”。 对于因变量L L设： 事情通过为逻辑“1 1”， 没通过为逻辑“0 0”。一、逻辑函数的建立一、逻辑函数的建立例例1 1 三个人表决一件事情，结果按三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的原则决

4、定，的原则决定，试建立该逻辑函数。试建立该逻辑函数。第三步：第三步：根据题义及上述规定根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。列出函数的真值表如表。第5页/共35页 一般地说，若输入逻辑变量一般地说，若输入逻辑变量A A、B B、C C的取值确定以后，输出逻辑变量的取值确定以后，输出逻辑变量L L的值也唯一地确定了，就称的值也唯一地确定了，就称L L是是A A、B B、C C的逻辑函数，写作：的逻辑函数，写作： L L= =f（A A，B B，C C） 逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1 1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0 0和1 1。（2 2）函数和变量之间的关系是

5、由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。第6页/共35页 二、逻辑函数的表示方法例例2 2 列出下列函数的真值表：ABCCABCBABCAL= 1 1真值表真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。在一起而组成的表格。 2 2函数表达式函数表达式由逻辑变量和由逻辑变量和“与与”、“或或”、“非非”三种运算三种运算符所构成的表达式。符所构成的表达式。 由真值表可以转换为函数表达式。例如，由由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决三人表决”函数的函数的真真值表可写出值表可写出逻辑表达式：逻辑表达式： 反之，由函

6、数表达式也可以转换成真值表。反之，由函数表达式也可以转换成真值表。解：解：该函数有两个变量，有该函数有两个变量，有4 4种取值的种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。得真值表。BABAL=第7页/共35页 3 3逻辑图逻辑图逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。例例4 4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。解：解：可由输入至输出逐步写出逻辑表达式：ACBCABL=由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。例例3 3 画出下列函数的逻辑图：画出下列函数的逻辑图：解：解：可用两个

7、非门、两个与门可用两个非门、两个与门和一个或门组成。和一个或门组成。BABAL=第8页/共35页2.1.3 2.1.3 逻辑函数相等的概念对于逻辑函数)AA,A(Fn, 21 )AA,A(Gn, 21 和和如果变量如果变量n, 21AA,A 的任意一组状态组合，其函数值都相等，则称的任意一组状态组合，其函数值都相等，则称函数函数F和和G相等。相等。 其意义在于可以通过真值表验证函其意义在于可以通过真值表验证函数是否相等。数是否相等。第9页/共35页2.1.4 2.1.4 逻辑代数的基本公式及定律逻辑代数的基本公式及定律 一、逻辑代数的基本公式第10页/共35页公式的证明方法：（2 2）用真值表

8、证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。例例2 2 用真值表证明反演律BAAB=（1 1）用简单的公式证明略为复杂的公式。）用简单的公式证明略为复杂的公式。BABAA=例例1 证明吸收律证明吸收律 证： BAA BABBA=)(BABAAB=BABAABAB=)()(AABBBA=BA=第11页/共35页二、逻辑代数的基本规则二、逻辑代数的基本规则 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。CBABCAABC=1 .代入规则代入规则 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一

9、个逻辑变量后，等式依然成立。式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用例如，在反演律中用BC去代替等式中的去代替等式中的B，则新的等式仍成立：，则新的等式仍成立：2 .对偶规则对偶规则 将一个逻辑函数将一个逻辑函数L进行下列变换：进行下列变换： ， 0 1，1 0所得新函数表达式叫做所得新函数表达式叫做L的的对偶式对偶式，用，用L*表示。表示。第12页/共35页3 .反演规则 将一个逻辑函数L进行下列变换： ， ； 0 1，1 0 ； 原变量 反变量， 反变量 原变量。所得新函数表达式叫做L的反函数，用 表示。 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序

10、不变，必要时加括号表明，如例3。（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例4。 LDBCAL=)()(DBCAL=DCBAL=DCBAL=利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 例例3 求以下函数的反函数：求以下函数的反函数：解：解：例例4 求以下函数的反函数：求以下函数的反函数：解：解：第13页/共35页2.2 逻辑函数的简化其中，与或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2 2逻辑函数的最简“与或表达式” 的标准 （1 1）与项最少，即表达式中“+ +”号最少。 （2 2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“ ”号最少。

11、1 1逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：能互相转换。例如：2.2.1 逻辑函数的代数简化法第14页/共35页 3 3用代数法化简逻辑函数（4）配项法。 )()()()(CCBACCABCBACABCBAABCCBCBACBBCAL=ABBABAAB=)(BADECBABAL=)(EBAEBBAEBABAL=CAABBCDAABCDCAABAABCDCAABBCDCAABL=)(（1）并项法。）并项法。（2）吸收法。）吸收法。（3）消去法。）消去法。运用公式运用公式

12、，将两项合并为一项，消去一个变量。如，将两项合并为一项，消去一个变量。如1= AA运用吸收律运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。如消去多余的与项。如 第15页/共35页 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。 再举几个例子： 解：解：例例6 化简逻辑函数：化简逻辑函数： EFBEFBABDCAABDAADL=EFBEFBABDCAABAL=（利用 ）1= AAEFBBDCAA=（利用A+AB=A）EFBBDCA=（利用 ）BABAA=第16页/共35页 解：解：例例7 化简逻辑函数化简逻辑函数)(GFADEBDDBBCCBCAABL=)(GFADEBDDBBCCB

13、CBAL=（利用反演律 ） )(GFADEBDDBBCCBA=（利用 ） （配项法） BABAA=BDDBBCCBA=（利用A+AB=A）)()(CCBDDBBCDDCBA=CBDBCDDBBCDCBCDBA=BCDDBBCDCBA=（利用A+AB=A）DBBCBBDCA=)(DBBCDCA=（利用 ）1= AA第17页/共35页 由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化简法的优点是不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。 解法解法1： 解法解法2：例例8 化简逻辑函

14、数：化简逻辑函数： BACBCBBAL=第18页/共35页2.2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 一、 最小项的定义与性质 最小项的定义 n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。 第19页/共35页二、逻辑函数的最小项表达式二、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为之和，称为最小项表达式最小项表达式。 例例1：将以下逻辑函数转换成最小项表达式：将以下逻辑函数转换成最小项表达式： 解：解： 解：解：CAABCBAL=),()()(),(B

15、BCACCABCAABCBAL=CBABCACABABC= =m7+m6+m3+m1 例例2 将下列逻辑函数转换成最小项表达式：将下列逻辑函数转换成最小项表达式：CBAABABF=CBABCAABCBABAABCBAABAB=)(CBAABABF=CBABCACABABCCBABCACCAB=)( =m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7） 第20页/共35页三、卡诺图 2 .2 .卡诺图 用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。 ACBBACCBAABC=)(1相邻最小项相邻最小项 如果两

16、个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。 例如，最小项例如，最小项ABCABC和和 就是相邻最小项。就是相邻最小项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如一项，同时消去互为反变量的那个量。如CBA第21页/共35页3卡诺图的结构（2）三变量卡诺图 0mABCmABC1m3mABCABC265mABC74ABCmmmABCABC0(a)(b)132457610011100BCA01BCA（1）二变量卡诺图）二变量卡诺图第22页/共35页（3）四

17、变量卡诺图仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。 m0ABCD ABCDm1ABCDm3mABCD2m567mmABCDABCDmABCD4ABCDABCDmm13ABCD ABCD1412m15mABCDABCD ABCDmABCD8m1011m9mABCDABCD0132765413141512981110ABCD0000010111111010(a)(b)第23页/共35页 四、用卡诺图表示逻辑函数 1 1从真值表

18、到卡诺图从真值表到卡诺图例例3 某逻辑函数的真值表如下表所示，用卡诺图表示该逻辑函数。1011010A00BC010001111L解：解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将8个个最小项最小项L的取值的取值0或者或者1填入卡诺图中对应的填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。个小方格中即可。第24页/共35页2从逻辑表达式到卡诺图（2）如表达式不是最小项表达式，但是“与或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。 例例5 用卡诺图表示逻辑函数ABCCABBCACBAF=7630mmmmF=DCBBAG=（1

19、）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。 例例4 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数:解：解： 写成简化形式：写成简化形式：然后填入卡诺图：然后填入卡诺图：解：解：直接填入：直接填入：第25页/共35页 五、逻辑函数的卡诺图化简法 1卡诺图化简逻辑函数的原理 :（1）2个相邻的最小项结合，可以消去1个取值不同的变量而合并为l项。（2）4个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为个取值不同的变量而合并为l项。项。 （3）8个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去3个取值不同的变量

20、而合并为个取值不同的变量而合并为l项。项。 总之，总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去个相邻的最小项结合，可以消去n个取个取值不同的变量而合并为值不同的变量而合并为l项。项。 第26页/共35页2用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） （1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈的个数尽量少。 （3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。 （4）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。 3用卡诺图化简逻辑函数的步骤： （1）画出逻辑函数的卡诺图。 （2）合并相邻的

21、最小项，即根据前述原则画圈。 （3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与与或表达式或表达式。 第27页/共35页例例6 用卡诺图化简逻辑函数：L（A,B,C,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解解：（1）由表达式画出卡诺图。（2）画包围圈，合并最小项，得简化的与或表达式:解解：（1）由表达式画出卡诺图。（2）画包围圈合并最小项，得简化的与或表达式:例例7 用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数：注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉注意：图中

22、的虚线圈是多余的，应去掉 。第28页/共35页例例3.2.8 某逻辑函数的真值表如表3.2.4所示，用卡诺图化简该逻辑函数。（2）画包围圈合并最小项。有两种画圈的方法：有两种画圈的方法：（a）：写出）：写出表达式： 解解：（1）由真值表画出卡诺图。）由真值表画出卡诺图。（b）：写出表达式：）：写出表达式： 第29页/共35页4卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈0法例例9 已知逻辑函数的卡诺图如图3.2.13所示，分别用“圈1法”和“圈0法”写出其最简与或式。解解：（1）用圈1法画包围圈，得：（2）用圈）用圈0法画包围圈，得：法画包围圈，得： 第30页/共35页六、具有无关项的逻辑函数的化简 1无

23、关项在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项项称为无关项、任意项或约束项。称为无关项、任意项或约束项。 例例10：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。解：解：设红、绿、黄灯分别用设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为表示，且灯亮为1，灯灭为，灯灭为0。车用车用L表示，车行表示，车行L=1，车停，车停L=0。列出该函数的真值。列出该函数的真

24、值。显而易见，在这个函数中，有显而易见，在这个函数中，有5个个最小项为无关项。最小项为无关项。带有无关项的逻辑函数的最带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：小项表达式为：L L=m m（ ）+d d（ ）如本例函数可写成如本例函数可写成L L=m m（2 2）+d d（0,3,5,6,70,3,5,6,7）第31页/共35页2具有无关项的逻辑函数的化简 化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。 例例10：不考虑无关项时，表达式为：不考虑无关项时，表达式为：注意: :在考虑无关项时，哪些无关项当作1 1，哪些无关项当作0 0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。考虑无关项时，表达式为考虑无关项时，表达式为: 第32页/共35页例例1111：某逻辑函数输入是84218421BCD码，其逻辑表达式为： L（A A, ,B B, ,C, ,D）=m（1,4,5,6,7,91,4,5,6,7,9）+d（10,11,12,13,14,1510,