艺术生高考数学专题讲义：考点34空间直线、平面平行的判定及其性质

1、考点三十四 空间直线、平面平行的判定及其性质知识梳理1 .直线与平面平行的定义直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行.2 .平面与平面平行的定义如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行.3 .直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简称: 线线平行，则线面平行.、 a? a, b? a? a / a.符号语言：a / b,性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行.简称：线面平行，则线线平行.a II ar符号语言：a? 3>?a/b.aCl 3= b.4 .平面与平面平行判定定理：一个平面内的两

2、条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.简称: 线面平行，则面面平行.a? a, b? 6符号语言：an b=P? a/ 3a / & b / 3性质定理：自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平 行.简称：面面平行，则线线平行.a/ 3、符号语言：加ka >? all b.3rlkb5 .平行问题的转化关系性随I判定判定性随线线平行、. 线面平行、面面平行性质判定典例剖析题型一平行关系命题判定问题例1空间中，下列命题正确的是 （填序号）若 a/ /， b/ a,则 b/ “若 a/ a, b/ a, a? 3, b? 8 贝U 3/ a若 all

3、3, b II a,贝U b/ 3若 a/ 3, a? a,则 a/ 3答案解析 对于，b可以在“内，错；对于，当a, b相交时才能有 初%错；对于，b可能在3内，错；由面面平行的性质知，正确.变式训练 对于平面”和共面的直线 m, n,下列命题是真命题的是 （填序号）若m,n与a所成的角相等，则 m/ n若 m /a,n / a,则m / n若 m±a,m± n,则nil a若 m?a,n / a,则m / n答案解析 由m? a, n / a可知m与n不相交，又 m与n共面，故 m / n.解题要点 解决这类命题判定问题，一是对平行的判定定理、性质定理准确记忆并理解，二

4、是可以借助图形分析.在作图时，一般是先作出平面，然后借助平面来考察其他的位置关系.题型二线面平行的判定和性质例2如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点. 求证：EF/平面PAD.解析证明：连接AC, ACABD=F.ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点， 在 CPA 中，EF / FA.而PA?平面PAD, EF?平面PAD.EF / 平面 PAD.变式训练 在空间四边形 ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且 AE ： EB=AF ： FD =1 ： 4,又H、G分别为BC、CD的中点，则 （填序号）BD II平面EFG ,且四边形EF

5、GH是平行四边形EF/平面BCD,且四边形EFGH是梯形HG /平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形EH /平面ADC ,且四边形EFGH是梯形A答案解析 如图，由题意，EF/ BD,且EF=1BD.HG / BD,且HG=BD. 52EF / HG ,且 EF w HG.二.四边形 EFGH 是梯形.又EF /平面BCD,而EH与平面ADC不平行.故选.解题要点对平行问题，应善于根据题意进行转化， 要证线面平行，则一般需寻找线线平行。判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a? % b? % a / b? all a); (3)利

6、用面面平行的性质定理 (/&a?总a/份；(4)利用面面平行的性质(“/ 8 a? & all “？ all 3).题型三面面平行的判定和性质例3 如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，S是BiDi的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线 EG/平面 BDDiBi；(2)平面 EFG /平面 BDD iBi.证明 (1)如图，连接 SB, .E、G分别是BC、SC的中点，EG/SB.又. SB 平面 BDD1B1, EG 平面 BDD1B1, .直线 EG/平面 BDD1B1.(2)连接SD, F、G 分别是 DC、SC的中点，FG/SD.又 S

7、D 平面 BDD1B1, FG?平面 BDDiBi, .FG/平面 BDDiBi,由（1）知，EG/平面 BDDiBi,且 EG 平面 EFG ,FG 平面 EFG, EGA FG=G, 平面 EFG/平面 BDD1B1.变式训练 如图所示，在直四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，底面是正方形，巳F, G分别是棱BiB, DiD, DA的中点.求证：平面 ADiE/平面BGF.解析 E, F分别是BiB和DiD的中点，DiF触BE, 四边形BEDiF是平行四边形，DiE/ BF.又 DiE?平面 BGF, BF?平面 BGF ,DiE/平面 BGF .FG 是 DAD1的中位线，FG /ADi

8、.又 ADi?平面 BGF, FG?平面 BGF ,.ADi/平面 BGF.又 ADn DiE=Di, .平面 ADiE/平面 BGF.解题要点 证明面面平行同样需要在“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”间相互转化.一般来说，证明面面平行的常见方法是：面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；利用垂直于同一条直线的两个平面平行；两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.当堂练习1 .能够判断两个平面 ”，3平行的条件是 .（填序号）平面”，3都和第三个平面相交，且交线平行夹在两个平面间的线段相等平面a内的无数条直线与平面3无公共点平面a

9、内的所有的点到平面 3的距离都相等答案解析 平面a内的所有的点到平面3的距离都相等说明平面 a、3无公共点.2 .下列说法中正确的个数是 .若直线all b, b* 平面a,则有a/% 若直线a / % 6京%则有all b;若直线a / b,直线a/ a,则b/ a; 若直线a/ % b/ a,则a/ b.答案 0解析 中可能a，a或a/ a,a与b可能异面，中b可能在平面a内，a与b可能 相交、平行或异面.3 .给出下列关于互不相同的直线1、m、n和平面“、& 丫的三个命题：若1与m为异面直线，1? % m? &则all 3;若 all 3, 1? % m? 3,则 1 /

10、 m；若 ad 3= 1, 3n km, M a= n, 1 / % 则 m/ n.其中真命题的个数为.答案 1解析 中当“与3不平行时，也能存在符合题意的1、m.中1与m也可能异面.1 / 丫'中 1? 3符1 / m,箱尸mJ同理1 / n,则m/ n,正确.4 .已知直线a, b,平面%则以下三个命题：若 all b, b? a,贝U a / a;若 a / b, a / % 贝U b / “；若 a / % b/ % 贝U all b.其中真 命题的个数是.答案 0解析 对于命题，若 all b, b? %则应有all “或a? %所以不正确；对于命题，若a/b, all a,

11、则应有b/ a或b? a,因此也不正确；对于命题，若 all % b/ a,则 应有a/ b或a与b相交或a与b异面，因此也不正确.5 .已知正方体 ABCD A1B1C1D1,下列结论中，正确的结论是 （只填序号）.AD1/BC1;平面 AB1D1/平面 BDC1; AD1 /DC1; AD1/平面 BDC1.答案解析 如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AB触DiCi,.ABCiDi为平行四边形， AD"/BCi,故正确；同理可证 BD/B1D1,，面ABiDi/面 BDCi,故正确；对于， ADi与DCi显然为异面直线，故不正确；又AD"/BCi,ADi?面

12、 BDCi, BCi?面 BDCi,，ADi/平面 BDC1，故正确.课后作业一、填空题a / Ya / b; i? a / b;b/ xall 丫all 3；? all 3；3/工a II 丫 a/ a； I? a / a.1 . a, 3, 丫为三个不重合的平面，a, b, c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是a cja II 工答案解析 由公理4及平行平面的传递性知正确.举反例知不正确.中a, b可以相交，还可以异面；中 a, 3可以相交；中a可以在a内；中a可以在a内.2 .直线a/平面 ” 则a平行于平面”内的.一条确定的直线所有的直线无穷多条平行的直线任意一条直线答案解析

13、显然若直线a/平面”，则a一定平行于经过a的平面与“相交的某条直线1,同时，平面”内与1平行的直线也都与直线 a平行，故选.3 .过平行六面体 ABCD-AiBiCiDi任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBBQi平行的直线共有.答案i2条 解析 如图所示，以E为例，易证EI, EQ/平面DBBiDi,与E处于同等地位的点还有 F,一一一，8 2 ,，G, H, M, N, P, Q,故有符合题意的直线 =8条.以I为例，易证IE/平面DBBiDi,2与I处于同等地位的点还有 J, K, L,故有符合题意的直线 4条，则共有8 + 4= 12条.AEfl4 . （2015北京理）设“ 3是两个

14、不同的平面，m是直线且 m?以“m/1是" all 6的条件答案必要而不充分解析 m? % m /伊all 3, 1 m? & a/傥m/ &，m / 3是a/ 3的必要而不充分条件.5 .如图，在三棱锥 S ABC中，Gi, G2分别是 SAB和4SAC的重心，则直线 G1G2与BC 的位置关系是.答案平行解析 .碧=普=2 'GiGz/MN，又M，N为AB，AC的中点, SM SN 3.MN / BC,G1G2/ BC.6 .若平面/平面&直线a / a,且a里 3,点BC&则在3内过点B的所有直线中.（填序号）只有两条与a平行的直线存在惟

15、一一条与a平行的直线不一定存在与a平行的直线存在无数条与a平行的直线答案解析 .B贵a, a与B确定平面T设们a= m, 们3= n,all & m II n.又 a" % a II m, n II a,，直线n即为3内过B与a平行的直线，它是惟一的.7 .下列命题：如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行;过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.其中正确命题的个数为.答案 1个解析只有正确.8 .已知两条直线 m、n,两个平面 外官给出下面四个命题： aA3= a, b?a?a/b或 a, b相交； all

16、 3, m? a, n?傥 m/ n; m / n, mH a? n / a; aA 3= a, a / b? b / 3或 b / a.其中正确命题的序号是.答案解析 对于，a/ & m? a, n? 3可能得到m/n,还有可能是直线 m, n异面；对于，m /n, m/ ”，当直线n不在平面 a内时，可以得到 n / /，但是当直线n在平面a内时，n不 平行于平面 a.9 .如图所示，长方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F分别是棱AAi和BBi的中点，过EF的平 面EFGH分别交BC和AD于G、H,则HG与AB的位置关系是 .答案平行解析 .£、F分别是AAi、BB

17、i的中点，EF/AB.又 AB?平面 EFGH , EF?平面 EFGH ,AB / 平面 EFGH .又 AB?平面 ABCD,平面 ABCD n平面 EFGH = GH ,AB / GH .10 .如图，正方体 ABCD AiBiCiDi中，AB = 2,点E为AD的中点，点F在CD上.若EF/平面ABiC,则线段EF的长度等于D F C出囱答案 ,2解析 因为直线EF/平面ABiC, EF装平面ABCD,且平面ABiCA平面ABCD = AC,所以1EF/AC.又因为E是AD的中点，所以F是CD的中点，由中位线定理可得 EF = 2错误! 未找到引用源。AC.又因为在正方体 ABCD A

18、iBiCiDi中，AB=2,所以AC=2/2,所以 EF = W错误！未找到引用源。.11 .在正方体ABCDAiBiCiDi中，E是DDi的中点，则BDi与平面ACE的位置关系为 . 答案平行解析 如图所示，连接 BD与AC交于。点，连接OE,则OE/BDi, 而OE?平面 ACE, BD1？平面 ACE,所以BD/平面 ACE.二、解答题12 .如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点 G,过 G和AP作平面交平面 BDM 于GH .求证：PA / GH.证明：如图，连接AC交BD于点O,连接MO,四边形ABCD是平行四边形， 。是AC的中点.又M是PC的中点，AP/OM.又 AP?平面 BDM , AP / 平面 BDM .平面 PAHGA平面 BDM = GH, . . PA/ GH.i3.如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2折.点G, E,