双线性变换法设计数字滤波器

1、双线性变换法设计IIR数字滤波器一：实验目的1) 熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理和方法。2) 掌握数字滤波器设计的计算机仿真方法。3) 观察对心电图信号的实际滤波作用，获得数字滤波器的感性认识。二：实验原理在滤波器的设计过程中，毕竟那是一个重要环节，所谓逼进就是根据性能指标的要求，对理想特性进行逼进，以求得一个因果、稳定且客户实现的传递函数。目前模拟滤波器的频域设计理论已经发展的相当成熟，它不仅具有简单而严格的设计公式，而且设计参数已经表格化了。借助模拟滤波器的逼进方法，用模拟与大树自语的某种变换，完成数字滤波器的逼进，这是一类简单而又行之有效的方法。双线性变换法采用非线性频率压

2、缩方法，将整个频域轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到z平面上。也就是说，第一步现将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系eS1T将此横带变换到整个z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的胆汁关系，消除了多只变换性，也就消除了频谱混跌现象，映射关系如图所示。S平面Si平面Z平面为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面轴上的-/T到/T段上，可以通过以上的正切的变换实现=2/Ttan(/2)(1-1)式中，T仍是采样间隔。当i由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j轴。将上式(1-1)写成ej1T2ej1T

3、2(1-2)ee-j-T2j_T2-e2e2将此关系解析延拓到整个S平面和s平面，令j=s,j产S,则得291esTfT?1-1-3)再将S平面通过以下标准变换关系映射到Z平面：z=eS1T(1-4)从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为；T 1 Z 1 (1-5)S一(1-6)S式（1-5）和式（1-6）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此成为双线性变换。依靠双线性变换是建立起来s平面和z平面的单值映射关系，由上式我们可以得到模拟频率和数字频率之间的关系：21/、产刀（1-7）从上式可知，当时，终止在折叠频率=处，整个j轴是单值地对应于单位元的一周。因此双线

4、性变换法不同于脉冲响应不变法，它不存在频率混淆问题。由于S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器也一定是稳定的。但是，它的频率变换关系是非线性畸变。这种非线性即便可以通过预畸变来校正。用双线性变换设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经式（1-7）的频率预畸变，求得相应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递函数，最后通过双线性变换公式球的数字滤波器的传递函数。这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。下面我们走即利

5、用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。a)确定数字低通滤波器的技术指标：同代截止频率p、同代衰减p、阻带截止频率、阻带衰减s。b)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。采用双线性变换法，便捷频率的转换关系为tan(一)T2c)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。d)将模拟滤波器系统函数Ha(S队s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统反函数Ha(zH(z尸Ha(S)|S三11 Z三：实验内容：1) 用双线性变换法设计巴特沃斯IIR数字滤波器。设计指标为：通带内频率低于0.2时，最大衰减小于1dB;在阻带0.3,频带区间上，最小衰减小于15dB。2) 以0

6、.02为采样间隔，绘出数字滤波器在频率区间0,/2上的幅度响应特性曲线。3) 用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列进行仿真滤波处理，并分别会出滤波前后的波形图，观察总结滤波作用与效果。实际心电图信号采样样本x(n)序列为-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0,0四：试验步骤1 )复习有关巴特沃斯模拟滤波器内容和用双线性变换法

7、设计IIR数字滤波器内容。2 )编制滤波器仿真程序，计算H(z)X寸心电图采样序列的相应序列y(n).3 )运行程序，并绘出图形，完成实验内容2)和3)。五：实验程序x=-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,.0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,.4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0,0;k=1;closeall;figure(1)subplot(3,3,1)n=0:56;stem(n,x,'

8、;.');axis(056-10050);holdon;n=0:60;m=zeros(61);ylabel('x(n)');title('心电图信号采样序列x(n)');B=0.090362*0.090360.09036;A=1.2686-0.7051;plot(n,m);xlabel('n');A1=1.0106-0.3583;A2=0.9044-0.2155;while(k<=3)y=filter(B,A,x);x=y;ifk=2A=A1;endifk=3A=A2;endk=k+1;endsubplot(3,3,2)n=0:56

9、;stem(n,y,'.');axis(056-155);holdon;n=0:60;m=zeros(61);plot(n,m);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('双线性变换法设计IIR滤波后的心电图信号)；%双线性变换法设计ButterWorth数字滤波器幅频特性A=0.09036,0.1872,0.09036;B1=1,-1.2686,0.7051;B2=1,-1.0106,0.3583;B3=1,-0.9044,0.2155;H1,w=freqz(A,B1,100);%数字滤波器频率响应H2,w=f

10、reqz(A,B2,100);H3,w=freqz(A,B3,100);H4=H1.*(H2);H=H4.*(H3);mag=abs(H);db=20*log10(mag+eps)/max(mag);subplot(3,3,5)plot(w/pi,db);axis(0,0.5,-50,10);xlabel('w/兀');ylabel('20lg|H(ejw|');title('双线性变换法设计IIR滤波器的幅频响应曲线');%脉冲响应不变法设计ButterWorth数字滤波器幅频特性C1=0.2871-0.4466;C2=-2.14281.145

11、4;C3=1.8558-0.6304;D1=1-0.12970.6949;D2=1-1.06910.3699;D3=1-0.99720.2570;E1,w=freqz(C1,D1,100);E2,w=freqz(C2,D2,100);E3,w=freqz(C3,D3,100);E4=E1+E2;E=E4+E3;mag=abs(E);db=20*log10(mag+eps)/max(mag);subplot(3,3,6)plot(w/pi,db);axis(0,0.5,-50,10);xlabel('w/兀');ylabel('20lg|H(ejw|');titl

12、e('脉冲响应不变法滤波器的幅频响应曲线');1)确定滤波阶段函数buttord格式：N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中N:满足指标的最低滤波器阶数Wn:巴特沃斯自然频率Rp：同代最大衰减Rs:阻带最小衰减Wp、Ws归一化的通带和阻带边缘频率。一如:低通：Wp=.1,Ws=.2高通：Wp=.2Ws=.1带通:Wp=.2.7,Ws=.1.8带阻：Wp=.1.8,Ws=.2.72)确定地同模拟滤波器原函数buttap格式：Z,P,K=buttap(N)其中N:满足指标的最低滤波器阶数Z:N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的零点P:N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通

13、滤波器的极点K:N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的增益3)双线性变换函数billinear格式：NUMd,DENd=bilinear(NUM,DEN,Fs)其中NUM:s域转移函数分子系数按哥递减方式排列的行向列DEN:s域转移函数分母系数按哥递减方式排列的行向列Fs采样频率NUMd:z域转移函数分子系数按幂递减方式排列的行向列DENd:z域转移函数分母系数按哥递减方式排列的行向列4)滤波函数filter格式y=filter(b,a,x)参数：a=a0a1a2.aM:滤波器系数b=b0b1b2.bN:滤波器系数x=输入序列矢量y=为滤波器后的输出及滤波器的洗漱函数：H(z)=标准形式中a0=1,若输入滤波器系数a中a。0,系数给出出错是信息。4)绘制幅频特Ii曲线函数freqz心电图信号采样序列Ktni双线性变换法设计HR滤波后的心电图信号 50亘-5A-104llTTh-j双线性变换法设计IIR滤波器的幅频响应曲线 103 o.W/TT?5 o.脉冲响应不变法滤波器的幅频响应曲线10-.Q：_:10画£-20菅加-5Cj1110kl0.20.30.405w/ir六：思考题1 .双线性变换法和脉冲响应相比较，有哪些优点和缺点？为什么？答：双线性