数学导数与微分PPT课件

1、第一节 导数的概念一、 导数概念的引入例1 求变速直线运动的瞬时速度.设某物体作变速直线运动,在0,t内所走过的路程为s=s(t)(已知),求物体在时刻t0的瞬时速度vv(t0).我们知道:匀速直线运动速度tsv 要求变速直线运动的瞬时速度：1.先求出物体在t0,t0+t这一小段时间内的平均速度: 当t很小时, 平均速度可作为v(t0)的近似值. ttsttstsv )()(00第1页/共158页在t0,t0+ t这段时间内的平均速度为 ttsttstsv )()(00)(0tvttsttstsvtvttt )()(limlimlim)(0000002.当t无限变小时,平均速度将无限接近于v(

2、 ).0tttsttstsv )()(00第2页/共158页例2 求曲线的切线斜率 设曲线C及C上一点M,在M点外任取一点NC,作割线MN,当点N沿曲线C趋向于点M时,如果割线MN趋向于它的极限位置MT,则称直线MT为曲线C在点M处的切线. C MN割线MT的斜率 xxfxxfxyk )()( tan00 第3页/共158页C MN当x0时,点N沿曲线C趋于M,由切线定义知MN趋于MT，从而 ,tantan,即切线斜率xxfxxfxykxxx )()(lim limtanlimtan00000 总结:求函数的改变量与自变量的改变量的比值,当自变量的改变量趋于0时的极限, 这种形式的极限就称为函

3、数的导数 第4页/共158页二、 导数的定义定义1 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义,当自变量x在x0处取得增量x点x0+x仍在U(x0)内时,相应地函数y取得增量y=f(x0+ x)-f(x0),如果极限 存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称该极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f(x0),也可记作xxfxxfxyxx )()(lim lim0000.d)(ddd,000 xxxxxxxxfxyy 或或第5页/共158页hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0 x 函数f(x)在点 处可导有时

4、也说成f(x)在点 具有导数或导数存在 0 x0 x函数f(x)在 处导数的定义式也可写成不同的形式，如第6页/共158页例1 假定 0limx 00()()f xxf xx(1) f( )存在，求下列极限:0 x) 1()()(lim)()(lim000000 xxfxxfxxfxxfxxx).(0 xf 0limxx0( )f xxx0limh00()()f xhf xhh(3) 解 (1)000000( )()( )limlim()xxxxf xf xf xfxxxxx (2), 0)()2(0 xf第7页/共158页(3)000()()limhf xhf xhh00000 ()() (

5、)()limhf xhf xf xhf xh000000()()()()limlimhhf xhf xf xhf xhh 000()()2()fxfxfx第8页/共158页如果 不存在(包括),则称函数y=f(x)在点x0处不可导或没有导数.但当极限为时, 也常说函数y=f(x)在x0处的导数为无穷大xxfxxfxyxx )()(lim lim0000 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导,则称f(x)在区间(a,b)内可导.此时对于该区间的每一点x都有一个导数值 与之对应,这就构成了一个新函数.这个函数称为f(x)在(a,b)内的导函数(简称导数),记作f(x), y , ,

6、即xxfxyd)(ddd或或),(,)()(lim)(0baxxxfxxfxfx f(x).)()(00 xxxfxf注第9页/共158页求函数y=f(x)在x处的导数可分为三步： (1) 求增量 对自变量在x处给以增量x,相应求出函数的增量y=f(x+x) -f(x);(2) 算比值 xxfxxfxy )()( (3) 取极限 xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00第10页/共158页求函数f(x)=C,x(-,+)的导数,其中C为常数.:, 0)(0lim )()(lim)( 00常数的导数等于零通常说成即CxCCxxfxxfxfxx例1 解第11页/共158页112210

7、0 )()(lim )(lim nnnnnxnnxnxxxxCnxxxxxy.,ynxyn求求为正整数为正整数设设 例2解. 1)(,1,)(1 xnnxxnn有有时时特别地特别地即即以后我们可以证明，对于幂函数y= 仍有 ( )=成立xx1x第12页/共158页xxxxxxxaxxxxxxxxxxueeaaaaaaxaxaxeaxaaxaayueu )(),0(ln)(ln lnlim1lim )1(limlim,1,00ln000特别地特别地即即从而从而时时注意到注意到., 0),(,yaxayx求求设设 例3解第13页/共158页例4解xxaxxaxexxxxxxxxxxxyaaxxax

8、axaax1)(ln,ln1)(logln1log1 )1 (log1lim)1 (loglim log)(loglim000特别地即., 1, 0), 0(,logyaaxxya求求且且设设 第14页/共158页.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例5（cosx）sinx类似地，可以得到第15页/共158页2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(000000_0

9、xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右 导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等. 第16页/共158页例6 讨论函数f(x)=x在x=0处的导数的存在性0limx yx0limx (0)(0)fxfx0limx xx解0limx xx因为；0limx xx)0(f)0( f)0( f=所以，不存在，即函数f(x)=x在x=0处不可导)0(f xxx0lim第17页/共158页例6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xx

10、xf另解xy xyohhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy第18页/共158页三、 导数的几何意义函数f(x)在点x0的导数f(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即 f(x0) =tan ( /2)，其中是切线的倾角 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的法线方程为y-f(x0)= (x-x0) (f(x0) 0)(10 xf

11、 第19页/共158页例7 求曲线y=x2在点M0(1,1)处的切线方程和法线方程. 根据导数的几何意义,所求切线的斜率为 解2211 xxxyk从而得切线方程为 y-1=2(x-1) 即 2x-y-1=0法线方程为 即 x+2y-3=0)1(211 xy第20页/共158页3x3x0limx yx0limx 330 xx 0limx 231()x3x例8 曲线y在(0，0)处是否有切线?函数y在x=0处是否可导?处有垂直于x轴的切线x=0，而故f(0)，即y=在点x=0处不可导在(0，0)，3x解 由图可知，根据切线的定义，y=)0-lim0-)0(-)(lim(300 xxxfxfxx即第

12、21页/共158页四、 可导与连续的关系定理2 如果函数f(x)在点x0处可导,则函数f(x)在点x0处必连续证 因为函数f(x)在点x0处可导,则 )()()(lim0000 xfxxxfxfxx 根据函数极限与无穷小量的关系,得. 0lim,)()()( 0000 xxxfxxxfxf其其中中第22页/共158页从而 f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)当xx0时,f(x)-f(x0)0,所以函数f(x)在x0处连续. . 0lim,)()()(0000 xxxfxxxfxf其其中中注意:逆命题不成立,即函数在某点连续却不一定在该点处可导. 例如，函数f(x)=x在x

13、=0点处是连续的，但在x=0点处却不可导第23页/共158页例9 试确定常数a,b之值，使函数22,01,0 xea xxbxx在x=0点处可导f(x)=解 由可导与连续的关系，首先f(x)在x=0点处必须是连续的，即0limx0limxf(0-0)= f(x)= (2ex+a)=2+a=0limx0limxf(0+0)= f(x)= (x2+bx+1)=1=f(0)f(0)所以2+a=1, 即a=-1第24页/共158页f0limx( )(0)0f xfx又 (0) =0limx(2e1) 1xx0limxe1xx ，f0limx( )(0)0f xfx0limx2(1) 1xbxx (0)

14、= bff (0)= （），由此得 b=2 故当取a，b=2时，f(x)在x=0点处可导处可导，必须使要使函数在0 x第25页/共158页一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处可导，即处可导，即)(0 xf 存在，则存在，则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物体的运动规律为已知物体的运动规律为2ts ( (米米) )，则该物体在，则该物体在 2 t秒时的速度为秒时的速度为_ ._ .3 3、 设设321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 则则它们的导数分

15、别为它们的导数分别为dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .练习题练习题)(0 xf )(0 xf 3132x32x6561x4第26页/共158页24x01 yx第27页/共158页第二节 求导法则 一、 函数四则运算的求导法则定理1 设u=u(x)和v=v(x)都在x处可导,则y=uv也在x处可导,且有 (uv)=uv 证 设当x有增量x时,u,v所对应的增量分别为u, v.这时函数y的增量为 y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x) =u(x+x)-u(x)v(x+x)-v(x) =uv第28页/共158页xvxuxy 于于是是vuxvxuxyyx

16、xx 000limlimlim 取取极极限限vuvu )( 即即注意:定理可推广到有限个函数代数和的情形.第29页/共158页定理2 设u(x)和v(x)在x处可导,则y=uv也在x处可导,且有 (uv) =uv+uv 证 y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x) =u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x+x) +u(x)v(x+x)-u(x)v(x) =uv(x+x)+u(x)v =uv+uv+uvxvuxvuvxuxy 因因此此第30页/共158页vuvuxvuxvuvxuxyyxxxxx limlimlimlimlim00000u(x)在x点处可导时必在x点连续,即 =0,则 u

17、x limvuvuuv )(即即.,)(为常数特别的CuCCu.)(积的情形也可以推广到有限个乘wuvwvuvwuuvw第31页/共158页定理3 设u(x)和v(x)在x处可导,又v(x)0,则y= 也在x处可导,且有vu2vvuvuvu 证)()()()()()()()()()()()()()(vvvvuvuvvvvvuvuuxxvxvxxvxuxvxxuxvxuxxvxxuy 0, 0 vvxvuxux第32页/共158页2000)(lim1)(limlimvvuvuvvvxvuvxuxvvvvuvuxyyxxx 2vvuvuvu 即即2uuCuC特别的第33页/共158页例1.sin2

18、23的导数的导数求求xxxy 解23xy x4 例2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 第34页/共158页例3.tan的导数的导数求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得第35页/共158页例4.sec的导数的导数求求xy 解)cos1()(sec xx

19、yxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得第36页/共158页一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设xxysin ，则，则y = = _._.2 2、 设设xeayxx23 ，则则dxdy=_.=_.3 3、 设设)13(2 xxeyx, ,则则0 xdxdy= = _._.4 4、 设设1sectan2 xxy, ,则则y = =_._.5 5、 设设553)(2xxxfy , ,则则)0(f = =_._.6 6、 曲线曲线xysin2 在在0 x处的切线处的切线轴轴与与x正向的正向的夹角为夹角为_._.练 习 题)cos2

20、sin(xxxx 22ln3xeaaxx 2 )tansec2(secxxx 2534 第37页/共158页二、 复合函数的求导法则y(x)=f (u) (x)= 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)定理4 设函数y=f(x)由简单函数y=f(u)及u=(x)复合而成，而u=(x)在点x处可导,y=f(u)在对应点处可导,则复合函数y=f(x)在点x处可导,且有ddddddyyuxux也可写成f (x) (x)第38页/共158页推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数

21、则复合函数 例1.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 第39页/共158页例2 求 的导数.另解 令xytanlnsin解.tan,ln,sinxvvuuy令dxdvdvdududydxdy则xxxxvu22seccottanlncossec1cos,tanln,sinxuuydxdududydxdy则dxduu cos)tan(lntanlncosxx)(tantan1tanlncosxxxxxx2seccottanlncos)tan(lntanlncosxxdxdy)(tantan1tanln

22、cosxxxxxx2seccottanlncos另解第40页/共158页例3.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 解.)1(2092 xx第41页/共158页例422222222211 )11(11 )12)1(1(11 )1(11 )1(ln(xxxxxxxxxxxxxxxy .),1ln(2yxxy求求设设 解xx21)(注意第42页/共158页例5.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例6.1sin的导数的导数求函

23、数求函数xey 解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第43页/共158页例7 求 的导数.,解 x0时，由第一节例4知所以，对一切xyalog,ln1)(logaxxya) )(log0 xyxa时，.ln1)(ln)(1axxax.ln1)(log, 0axxxa有第44页/共158页例8).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf求设解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x)(xf ,0时时当当 x0limx)0(f( )(0)0f xfxxx0limx=, 1 0lim)0(xf( )(0)0f xfxx.0,110

24、, 1)( xxxxfln(1+x) ,11x =0limx_=1第45页/共158页练 习 题3)52(8 xx2sinxtan )2sec22(tan10ln1022tanxxxxx )(22xfx xxkekxk21tansectan 21. 第46页/共158页三、 反函数的求导法则定理5 设严格单调连续函数x=(y)在某区间Iy内可导且 (y)0,则其反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,且有yxxyyxfdd1dd)(1)(或即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.第47页/共158页例8.) 1(arcsin的的导导数数求求 xxy,)(sin.11sin11cos1)(si

25、n122进行的表示求导是对变量这里记号yyxyyyyyy解,11)cot( ,11)(arctan,11)(arccos11)(arcsin2222xxarcxxxxxx同理可得第48页/共158页.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy )0( a)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa 例9解第49页/共158页四、 基本导数公式 1.基本初等函数的导数公式;e)e)(10( ),1, 0(ln)(9(;cotcsc)(csc8( ;tansec)(sec7(;csc)(cot6( ;sec)(tan5(;s

26、in)(cos4( ;cos)(sin3()()(2();( , 0)(1 (221xxxxaaaaaxxxxxxxxxxxxxxxxCC；为实常数为常数第50页/共158页.11)cot)(16(;11)(arctan15();1(11)(arccos14();1(11)(arcsin13(;1)(ln12( );1, 0(ln1)(log11(2222xxarcxxxxxxxxxxaaaxxa 第51页/共158页2. 函数四则运算的求导法则设函数u=u(x),v=v(x)在点x处可导,则下列各等式成立:0)()()( )()()( )()()4();( )()()( )()()(3();

27、( )( )()()2()();( )()1 (2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuCxCuxCu为常数第52页/共158页3. 复合函数求导法则4. 反函数求导法则设x=(y)与 y=f(x)互为反函数, (y)存在且不为零, 则yxxyxxfdd1dd)(1)( 或或 设u=(x)在x点可导, y=f(u)在相应u点可导,则xuuyxydddddd 第53页/共158页例1.的导数的导数求函数求函数xxxy 解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 第54页/共15

28、8页例2.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 第55页/共158页练 习 题1ln1 nxxnxx1tan12xxxx 412-999!第56页/共158页第57页/共158页练习题答案 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . .第58页/共158页定义:.)(0),(称为隐函数所确

29、定的函数由方程xyyyxF.)(形式的函数称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.五、隐函数的导数第59页/共158页例1求方程y=cos(x+y)所确定的隐函数y=y(x)的导数),1)(sin(yyxy ).0)sin(1 ( )sin(1)sin( yxyxyxy将方程两边关于x求导，解第60页/共158页例2.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得,

30、yxexyedxdy , 0, 0yx时由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第61页/共158页例3.)23,23(,333的切线方程点上求过的方程为设曲线CxyyxC解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即第62页/共158页.,-) 12(sin42dxdydydxeyyxy求已知例.-) 12(cos22dyeyydyx解yxye-1)cos(2yy2y2y1求导，得等式两边对.-) 12(cos221dyyeyyydx由此得.-) 12(cos221

31、1yeyydydxdxdy或第63页/共158页观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.-取对数求导法适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu六 、 取对数求导法第64页/共158页例1., 0,sinyxxyx 求求解两边取对数得 lny=sinxlnx,sinlncosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxyx 于是于是两边对x求导,得第65页/共158页.)1)(1()2(2422的导数的导数求求 xxxy先在两边取对数,得 lny=2ln(x2+2)-l

32、n(x4+1)-ln(x2+1).上式两边对x求导,得)121424()1)(1()2(),121424(243224222432 xxxxxxxxxyxxxxxxyy即即于是于是,1214242432 xxxxxxyy例2解第66页/共158页例3 求y=3(1)(2)(3)(4)xxxx的导数解 两边取对数，得lny=13ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4),上式两边对x求导，得1y1311111234xxxx，y= 所以133(1)(2)(3)(4)xxxx11111234xxxxy第67页/共158页.,)()(确定的函数则称此为由参数方程所间的函数关系与确定

33、若参数方程xytytx例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?t七 、由参数方程确定的函数的导数第68页/共158页),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx第69页/共158页例1为整数）为整数）nnttttattatataxy,2(tan )sin(cos3c

34、ossin3 )cos()sin(dd2233 .dd;sin;cos33xytaytax求求设设解第70页/共158页 求下列函数的导数：221sin. 1xxy 32cos. 2axy nxxyncossin. 3)1ln()1 (. 422xxxyxxfysin)(sin. 5)3(cos)(sin. 62xfxfy)ln(. 8xyyx xxycos)(sin. 9xyeyxsin. 7第71页/共158页第三节 高阶导数 设函数y=f(x)的导数y=f (x)在(a,b)内存在且仍可导,记f (x)的导数为f(x), y 或 ,即y =f(x)= =f (x) ,称为f(x)的二阶导

35、数 22ddxy22ddxy 若y仍可导,则记y(3)=f(3)(x)= =f (x),称为f(x)的三阶导数33ddxy 若y=f(x)的n-1阶导数存在且仍可导,则记y(n)=f(n)(x)= =f(n-1)(x),称为f(x)的n阶导数nnxydd第72页/共158页例1.,求它的各阶导数求它的各阶导数为正整数为正整数设设nxyn ,)(1 nnnxxy解,)1()( 21 nnxnnnxy,)1()1()(knkxknnny !123)1()(nnnyn . 01,0) !()()()1(阶以上的各阶导数均为阶以上的各阶导数均为的的显然显然 nxynyynnn第73页/共158页,)1

36、(2)1(1) ( ,)1(1)( ,11322xxyyxyyxy .),1ln()(nyxy求求设设 例2解., 3 , 2 , 1,)1()!1()1( 1)( nxnynnn运用数学归纳法可知运用数学归纳法可知第74页/共158页22ddyx11 cos y21(1 cos )y(1cos )y 2sin(1 cos )yyy2sin(1 cos )yy例3 求由方程x-y+siny=0所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数解 先求一阶导数方程两边对x求导，有 1-y+cosyy=0再求y,有=，将y的表达式代入，得解得yy=y=第75页/共158页例4,cos,cotdd,cotsinc

37、os)cos()sin(dd仍是参数方程仍是参数方程注意注意taxtabxytabtatbtatbxy .dd ,sin,cos22xytbytax求求已知已知 解tabtatabtatabtxxytxy32222csc sin1csc)cos()cot(dd)dd(dddd, 从而从而导法则导法则所以仍须用参数方程求所以仍须用参数方程求第76页/共158页练 习 题3402311 yx022 yx,sincoscossintttt32yxyxexye 第77页/共158页32)2()3(. 1yyey)(tan)(csc2 . 232yxcyx)1ln2(12 xxx； 1534)2(21)

38、1()3(254 xxxxxx第78页/共158页tab32sin212x 第79页/共158页实例:求边长为 的正方形金属薄片受热后面积的改变量的近似值.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分且为的线性函数是Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小是xx:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0第四节 微分及其运算0 xxxA02于是第80页/共158页再例如,.,03的近似值求函数改变量时为处的改变量在点设函数yxxxy3030)(xxxy .)()(33

39、32020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值问题是:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?第81页/共158页定义1 设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,x0+x在U(x0)内,如果f(x)在点x0处的增量y可以表示为y=Ax+o(x)，(其中A与x无关,o(x)是 x的高阶无穷小量),则称函数y=f(x)在x0处是可微的,且称Ax为函数y=f(x)在x0处的微分,记作dy或df(x),即dy=Ax一、微分的定义第82页/共158页

40、二、 微分与导数的关系定理1 函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是f(x)在点x0可导,且有dy=f(x0)x证 必要性 设y=f(x)在点x0可微,即y=Ax+o(x)AxxoAxyxx )(limlim00于于是是所以,f(x)在点x0可导,且有A=f(x0)第83页/共158页定理1 函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是f(x)在点x0可导,且有dy=f(x0)x于是 y= f(x0) x+x由极限与无穷小的关系,得0lim,)(00 xxfxy其其中中显然,x0时, x=o(x),且f(x0)与 x无关,由微分定义可知,y=f(x)在点x0可微,且有dy=f(x0)x证 充分性

41、 f(x)在点x0可导,)(lim00 xfxyx 第84页/共158页 通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,记作dx,即dx=x 于是函数y=f(x)在点x0的微分可以写成dy= (x0)dx 当函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都可微时,则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可微,此时微分表达式写为dy=f(x)dx 也可写成 于是,函数y=f(x)的导数等于该函数的微分dy与自变量的微分dx之商.因此,导数也叫微商 )(ddxfxy 这样，当 很小时，yxdy=f(x )x0f 第85页/共158页10.1xx 1x1x10.1xx 例1 已知 ,求，dy 解dy= dx=

42、2xdxy10.1xx y并且求 的 近似值10.1xx dy10.1xx 02dydydydyy2xy ,221dxxdxx1 . 012xxxdx2 . 0第86页/共158页由微分的定义知，当x很小时，ydy，且以dy近似代替y所产生的误差y-dy是x的高阶无穷小量我们常用它来求函数改变量的近似值或函数值的近似值也就是说，当f(x)可导，且x很小时，有近似计算公式:f(x)f(0)+ )(0 xx)(0 x)0 xfff(x)(0 x+ f()0 xx0 x或)(0 xxff取 =0，并改记x=x，则当x很小时，有fxf)0( 第87页/共158页例2 求sin3030的近似值,sin)

43、(xxfy设解xxfxfxxf)()()(000有近似计算公式,360,2330coscos)(,2130sin)(,0330sin)(0000000 xxxfxfxxf于是5076. 036023210330sin0所以3601802103,60180303000 xx令第88页/共158页三、 微分的几何意义函数f(x)在点x0的微分dy= 就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的纵坐标的增量 dxxf)(0第89页/共158页1.基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccs

44、c)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 四、微分的求法第90页/共158页dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc第91页/共158页例3解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例4解.,cos31dyxe

45、yx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 第92页/共158页五、 复合函数的微分 设y=f(u),u=(x),且f(u)及(x)均为可导函数.由复合函数的导数公式有 )()(ddxufxy 由此可见，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dy=f(u)du保持不变，这一性质称为一阶微分的形式不变性从而得 dy=f(u)(x)dx=f(u)du 第93页/共158页例5解.),12sin(dyxy求求设设 dy)12()12cos(

46、xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx .d,22yxay利用微分形式不变性求利用微分形式不变性求 解xxaxxxayd)d(a21d222222例6第94页/共158页例7 设.,sin22dyyeyxx求yyeyxxyxxcos2-222求导，得等式两端对解法一22-cos2-2xyexyyx由此得dxxyexydyx22-cos2-2所以)sin()(-)d(22ydedyxx等式两边微分，得解法二ydyxdedyxxydxcos)2(-)(222即ydydxedyxxydxxcos2-222亦即dxxyexydyx22-cos2-2所以第95页/共158页例8解在下列等

47、式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.;cos)(tdtd,cos)(sintdttd)(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td 第96页/共158页练 习 题高阶 Cx cos1Cx 3tan31Cex221dxeexx4222dxex第97页/共158页dxxx1)1ln(2 10 ,101,122xxdxxxdxdydxxx412 dx3dxxy第98页/共158页*五、 高阶微分(略） 可微函数y=f(x)的微分dy=f(x)dx仍是自变量x的一个函数(这里dx与x是互相独立的,因而可以把dx看成是与x无关的量),如果它是可微的,则它的微分d

48、(dy),就称做函数y=f(x)的二阶微分,记为d2y,即d2y=d(dy)=df(x)dx=df(x)dx=f(x)(dx)2 为简便起见,对kN, 记(dx)kdxk.因此上式可写作 d2y=f(x)dx2 第99页/共158页 如果d2y仍可微，那么它的微分d(d2y)称做y=f(x)的三阶微分,记为d3y,即d3y=d(d2y)=df(x)dx2=f(x)dx3 当自变量为x时,定义函数y=f(x)的n阶微分为 dny=ddn-1y=f(n)(x)dxn注意区别以下这几种记号的不同意义：dyn表示微分dy的n次方,即dyn=(dy)n.d(yn)表示yn的一阶微分.dny表示y的n阶微

49、分. 第100页/共158页注意:一阶微分具有微分形式不变性.即:无论u是自变量还是中间变量,函数y=f(u)的微分形式都是一样的,且为 dy=f(u)du d2y=df(u)du=d(f(u)du+f(u)d(du) =f(u)du2+f(u)d2u因为但是高阶微分不再具有微分形式的不变性第101页/共158页例2222d)sincos2( d)sincos(cos d)cos(sin)d(dd;d)cos(sind)sin(dxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxy .d,sin2yxxy求求设设 解第102页/共158页第五节 导数与微分在经济学中的应用 一、 边际分析 设y=f(

50、x)为一经济函数,当经济自变量x有一个很小的改变量x时,因变量的相应改变量为y,那么,因变量y的相应改变量y与x的比值 (平均变化率)称为经济函数y=f(x)在区间x,x+ x上平均意义上的边际,xyx 0lim如果函数y=f(x)在点x可导,则称f(x)= (瞬时变化率)为f(x)在点x处的边际 xy第103页/共158页边际f(x)的经济含义: y=f(x+x)-f(x)f(x) x， 当x=1时，有 f(x) y=f(x+1)-f(x) 近似表示当函数f(x)的自变量在x处增加一个单位时,函数值的相应增量. 这里的增量 可正可负若 为正，则表明经济函数f(x)与其自变量变化的方向相同；若

51、为负，则表明f(x)与其自变量变化的方向相反其增量的大小 （ ）则表明f(x)随自变量变化的速度，故边际概念实际上表明了经济函数随自变量变化的方向与速度f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)第104页/共158页ddCQ50QddCQ100QddCQ150Q例1 已知某产品的总成本函数为C(Q)=0.001Q 3-0.3Q 2+40Q+1000，求它的边际成本函数及当Q=50,100,150时的边际成本解 边际成本函数 =0.003Q 2-0.6Q+40=0.003502-0.650+40=17.5；=10；根据计算结果可知，生产第51个产品的生产成本约为17.5同样，生产第101个以及第1

52、51个产品的生产成本分别约为10和17.5当Q=50时,当Q=100时, 当Q=150时, =17.5ddCQMC= 第105页/共158页二、 弹性分析“相对改变量”“相对变化率”xx xxyy 定义1 设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义,以x, y分别表示自变量与函数的改变量,称函数变动的百分比与自变量变动的百分比之比值 为函数f(x)在区间(x,x+x)(或x+x,x)上的弧弹性,记为eyx,即 xyyxxxyy xyyxeyx 第106页/共158页若函数f(x)在点x处可导,则称 为f(x)在点x处的点弹性,仍以记号eyx表示,即 称eyx为弹性系数 xyyxxyyxxxyyx

53、xddlimlim00 xyyxeyxdd 函数的弹性(点弹性与弧弹性)反映的是因变量对自变量变化作出的反映程度,它与所研究变量的度量单位无关. 第107页/共158页弹性的经济含义 它表示因变量的相对变动对于自变量相对变动的反映程度. 当eyx为正时,表明因变量的变化方向与自变量的变化方向相同;当eyx为负时,表明因变量变化的方向与自变量的变化方向相反.第108页/共158页弹性分类 (1) 如果eyx =1,表明y与x的变动幅度相同,此时称为单位弹性(2) 如果eyx1,表明y变动的幅度高于x变动的幅度,此时称为高弹性(3) 如果eyx1,表明y变动的幅度低于x变动的幅度,此时称为低弹性

54、如果函数y=f(x)在某区间内可导,则称为f(x)在该区间内的弹性函数)()(ddxfxfxxyyxeyx 第109页/共158页1. 需求价格弹性定义2 设某商品的市场需求量为Q,价格为P,需求函数Q=f(P)可导,称 为该商品的需求价格弹性,简称需求弹性 )()(ddPfPfPPQQPeQP 由于商品的需求量与价格成反方向变化, 为负值,所以eQP为负值,为了使需求弹性系数eQP是正值,利于比较,便在公式中加了一个负号 PQdd一般来讲，生活必需品的需求弹性小于1,而奢侈品的需求弹性大于1 .第110页/共158页例2 设某商品的需求函数为Q= ，求5Pe(1)需求弹性函数；(2)P=3,

55、P=5,P=6时的需求弹性解 (1) 因为Q= -515pe，所以需求弹性函数为5PPe515Pe5PeQP=-（- )=3QPPe(2) 当P=3, P=5, P=6时需求弹性为= =0.6；355QPPe55=1；6QPPe65=1.2当P =3时，eQP =061为低弹性，价格上涨1%，需求量下降06%；当P=6时，eQP =121为高弹性，价格上涨1%，需求下降12%；当P=5时，eQP =1为单位弹性，价格上涨1%，需求量也下降1%第111页/共158页分析销售收益与消费支出 设某商品的需求函数为Q=f(p), 销售收益函数为 R=PQ= Pf(P) 边际收益为1)()()(1)()

56、()()(ddQPePfPfPfPPfPfPPfPRPR (1) 若 1,则边际收益 0,价格与收益呈同方向变化. 说明对低弹性商品适当提价可使销售收益增加,同时使消费支出增加.QPePRdd第112页/共158页销售收益函数 R= Pf(P) 边际收益1)(ddQPePfPR (3) 若 =1,则边际收益 =0,这说明对于单位弹性商品而言,价格的微小变化对收益无明显影响,同时对消费支出也无明显影响.QPePRdd(2) 若 1,则边际收益 0,价格与收益呈反方向变化.这说明对高弹性商品适当降价可使销售收益增加,同时使消费支出增加. QPePRdd第113页/共158页2. 需求的收入弹性定义

57、3 设在其他条件不变的情况下,某商品的需求量Q关于消费者收入m的函数为Q=f(m),f(m)可导,称为该商品的需求收益弹性 )()(ddmfmfmmQQmeQm 一般 0,所以需求的收入弹性 0.如果 0,则表明该商品是低档商品 QmemQddQme第114页/共158页三、 增长率 设某经济变量y是时间t的函数:y=f(t).单位时间内f(t)的增长量占基数f(t)的百分比称为f(t)从t到t+t的平均增长率)()()(tfttfttf 若f(t)视为t的可微函数,则有 称为f(t)在时刻t的瞬时增长率,简称增长率,记为rf)()()()(lim)(1)()()(1lim00tftfttft

58、tftfttfttftftt 第115页/共158页增长率有两条重要的运算法则： (1) 积的增长率等于各因子增长率的和.即 若 y(t)=u(t)v(t)，则有vuyrrr(2) 商的增长率等于分子与分母的增长率之差即 若y(t)= ，则有 ( )( )u tv tvuyrrr第116页/共158页例3 设国民收入Y的增长率为rY，人口H的增长率是rH，YH的增长率是rY - rH则人均国民收入例4 求函数(1) y=ax+b，(2) y=ae 的增长率 aaxb，(2) ry=eebxbxaba=bbx由(1)知，当x+时， 0，即线性函数的增长率随自变量的不断增大而不断减少直至趋于零由(

59、2)知，指数函数的增长率恒等于常数yr=yy解 (1) ry=第117页/共158页2 设生产q件产品的总成本C(q)由下式给出C(q)=001q3-06q2+13q(1) 设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少?(2) 当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高元时少卖出2件，问是否应该提高价格?如果是，价格应该提高多少?32( )7( )0.010.66L qqC qqqq ( )0L q20 10 2q 2010 2q 2010 2q ( )96.56L q 解：(1)利润函数 ,得 时，利润最大，将.当令代入利润函数，得最大利润第118页/共158页x( )(342 )(7)(3

60、4)L xxxC( )2040L xx5x 5x (34 10)(75)(34)288(34)LCC (2)设价格提价 元，则利润函数 若不提价，利润为 得令，且当 时，利润故提价利润大些，且应提价5元.34 7(34)238(34)LCC第119页/共158页4 设某种商品的需求弹性为08，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化?QP0.8QPE解：设需求量为 ，价格为 ，由已知得,即而PPQQEQP8 . 0PPQQ%10PP10% 当价格提高时，即 时，%8%108 . 08 . 0PPQQ8108 . 0或第120页/共158页 当价格提高 ，即 20%20PP%16%20