线性代数第四版同济大学课后习题答案

1、第一章 行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式201(1)14 118300X.7X.700X.72cbacb2c a2b a11300c Da04821124cabab cab ccb acab31 cc2 1bb21 aa221 cc2ca1bb22c22 bX Xy yXX yx y x yy x y xx y x yx(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x33xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x32(x3 y3)按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数2(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解逆序数为441(3)3 4 2

2、 1解逆序数为532(4)2 4 1 3解逆序数为321(5)1 3(2n解逆序数为n(n 1) 23 2 (1 个)5 25 4(2 个)7 27 47 6(34342323 14 24 1,2 14 14 31) 2 4(2 n)个)(2 n 1)2(n 1 个)(2n 1)4(2n 1)6(2n 1)(2 n 2)(6)1 3(2 n 1) (2 n) (2 n 2)解逆序数为n(n 1)3 2(1个)5 25 4 (2 个)(2 n 1)2(2n 1)4(2n 1)6(n 1 个)4 2(1个)6 26 4(2 个)(2n 1)(2 n 2)(2n)2(2 n)4(2 n)6(2 n)

3、(2 n 2) ( n 1 个)3写出四阶行列式中含有因子ana23的项解含因子a11a23的项的一般形式为其中rs是2和4构成的排列(1) a11a23a3a4s这种排列共有两个即24和42所以含因子&岛3的项分别是1) aa23a32a44(1) aa23a34a42(计算下列各行列式1) aa23a32a44aa23a32a441) aa23a34a42aa23a34a424 12 412 0 210 5 2 00 1174 12 412 0 210 5 2 00 117o 41210202112304 110041101230 4 121341Q-C31-2 C2G 024 1

4、23 41109 9 100 02017 17 140 20 04234112 12312020242361120231502112 2423 6112 o231 504112 24236112023150 2 00 423011202310 rM Qe eef adcdcfblabdbfadcdoC1adc c cbbbab ac ae bd cd de adf bf cf ef11 1 尸efOo1d a1 C1 bab1o 1O1OO& acdooo 1 dO1 C1 1b1o a1oo书oo 1 dO1 C1 1b1o a1oos角1Ocd b a2 b b22a ao bba

5、oldC11Odcd a1 b a1J JQ Q b22b11231b22b1 abab 2a2a1(2)axayaz证明axayaz1)3bybzbxabayazaxby aybz azbx axx ayy azz axa2bzbxbyb2a2a2ayazax2bazaxaybz azbx axby aybz azbx axby aybzbxby2abxbybzbxbybzbxbybzb2(b a)(b(a3 b3)yaba(a b)3ayazaxazaxaybzbxbybxbybzazaxaybxa3b3a3b3(a3o2 2 2 2 abed /k /k /k /k 2 2 2 2 ab

6、edzv 2 2 2 2 1111 abed 02 2> 2,2 abed证明c2c2c49g(c(dabed2 2 2 21111(ag(c(d2 2 2 2abedc45 553 332d 3 2d 511112a2b2c2d2 2 2 2 abedo222 2222 211112a2b2c2d2 2 2 2 abed2 41dd d1 C2CC41bt)2b41 a2a4a由/V 2 4 o 1d dd a 1 C2C4C bH1bt)2b4-2 4 a 1 a a a /V 明证111b a c a d ab(b a)c(c a)d(d a)b2(b2 a2) c2(c2 a2)

7、 d2(d2 a2)1 0 0 0111a) bcdb2(b a) c2(c a) d2(d a)(b a)(c a)(d1 d b b)(d b a)11a)0 c b0 c(c b)(c b a) d(d(b a)(c a)(d(b a)(c a)(da)(c b)(db)1 c(c b a) d(d1b a)=(xooo000 00 X 1an an 1 an 2a2 X al证明用数学归纳法证明当n 2时D2： Y 1X2 ax a2命题成立a2 X a1假设对于(n 1)阶行列式命题成立Dn 1 Xn 1 a1 Xn 2则D按第一列展开 有1 0Dn XDn 1 an( 1)n 1

8、X 111XDn 1 an Xn a1Xn 1an 2X an 10000X 1an 1X anan 1Xan因此 对于n阶行列式命题成立6 设n阶行列式D det(aj),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转an1D1a11依次得D2alna11annD3an1a1na b)( a c)( a d)( b c)( b d)( c d)( a b c d)n(n 1)证明 D1D2( 1) 2 d Q D证明因为D det( aj)所以Dianiaiiannalnaiialnanna2nallalna21a2nI)“ Haniannn(n 1)(i)1 2 (n 2) (n 1)D

9、 ( i)-D同理可证n(n i) aiiD2 ( i) 2ainanin(n i)n(n i)(i)k dt( i) Dannn(n i)n(n i) n(n i)D3 ( i).D2 ( i)丁( i)=D(i)n(n i)D D7计算下列各行列式（为k阶行列式）aiDnia解其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0a 000 i0 0a 00 a0 00 0（按第n行展开）ooo ooo oo a o ao1 n ) 11)nDn1)n将第一行乘（Dn(n 1) (n(n 2)(n 2)1)1)2na(n 1) (n 1)an2(21)1）分别加到其余各行再将各列都加到第一列上Dn Dn

10、 1x (n00anan 11)a(a (ax(nn 11)a(x a)1)n1)n 1(a (an)nn)n 1解根据第6题结果Dni11n(n 1) a a 1(1尸Ian1 (a 1)nan(a 1)n(a(an)n1n)n此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)Dn1( 1)丁 (a i 1) (a j 1)n 1 i j 1n(n 1)(1)= (i j)n 1 i j 1n(n 1) n (n 1)1(1) 2 ( 1)2(i j)n 1 i j 1(i j)n 1 i j 1anbn(4)Da1 b1(4)D2nc1 d1;cndn解anbna1储bd1（按第1行展开）dn再按最an

11、an icl 10(1)2nhbn 1 0a h c1 didni 00 dn0 an 1bn 1ai b1C1 d1Cn 1d n 1Cn0D2nandnD2n 2bnCnD2n 2即 D2n(andnbnCn) D2n 2n于是D2n(qdi Dq)D2i 231Jaid7 G1 bl012310122 1013210123 4n 1 n 2 n 3 n 40o sin1111 o1 111111111114 n 3 n2 n 1 nooo onooo002022 252n42nn21 1111n G G2 n )21nD2 a aa 中 其111oooananC2qka1 111 12a

12、1 11a1 11%1 111.1 11oooaho o 033o o3Oa2a o o2aao ooC2qGC21 11 物“ 1n aa a a a1 ooo 11 ooo 1 o o o 1 o o o 1 1 o o 1 1 o o oana2a1a1a20 01 00 10 000a1100a2100a3101an11n0 0 10i 1n 1、(a1a2an)(1-)i 1 ai8用克莱姆法则解下列方程组X428T-11222012342522111123112%2X 23 X42T-42T-64214T-1231112 3T-112231220D1145522?3 1 2112T

13、-1D4D刈3rd%22dX2 1 rd 为2126656 %6 %5X2X45XX40006500651065106510051000为因 D5400065 00651 06510 10001 51000000 6510001065 106510051000075037X439500065 00651065106510010001d000 65006 511000165100510001 o o 01 00651 06510 65100 510001507v1145v703X2 x366526653665所以X1 X2 X3 09 问取何值时齐次线性方程组X1X2 X3 0有非零解X1 2

14、x2 x3 0解系数行列式为D 111 2 1令D 0 得0或 1于是 当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解10问取何值时(1)x1 2x2 4x3 0齐次线性方程组 2x1 (3)x2 x3 0有非零x1 x2 (1 ) x3 0解解系数行列式为124D 2 3111 1(1)3 (3)4(1(1)3 2(1)2341101)2(1)(330于是 当 02或 32或 3时该齐次线性方程组有非零解第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵1 0 2 12 0 3 13 0 4 311 (下一步2 ( 2)13 ( 3)r1 )32 11 3 (下一步2 02 11 3(下一

15、步2 03 11 3(下一步0 32 11 3 (下一步0 12 11 0 (下一步0 10 01 00 13 14 37 13 14 3 (下一步7 18 11 3 (下一步1 30 101 3 (下一步0 02 (1)33 r2)3 3)r 2 3r 3)1 (2)212 2 (3)132 r1 321 2)(2)3)3 (2)1)1 00 00 01 00 00 01 00 00 01 00 00 01 00 00 01 00 00 00 20 30 40 2解 0 3 0 40 20 00 00 20 00 04 (5)2 313 214 3r 16106102 (4)3 (3)1 3

16、21223 24233r 24 22237430 11111 2 0 2 4 0 8 8 9 12 0778112 2r13 8r14 7r1)011111020200014000141 22 (1)43 )1 0 2 0 20 1111(00014(0 0 0 0 01 0 2 0 20 1 1 0 3 0 0 0 1 4 0 0 0 0 00101012 设100A010001001010解 100是初等矩阵0 0 123)2) 其逆矩阵就是其本身1 0 10 1 0是初等矩阵E(12(1)其逆矩阵是0 0 11 01E(12(1)0 1 00 01010123101A10 04 560

17、1000 17 890 014 5 6 1 014 5 21 2 3 0 1 01 2 278900 17823试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵3 2 13 1 53 2 332110032 1解31501001432300100 23203/2001011002101/2300201010017/2 2 9/21 121/2 0 1/21 007/62/33/20 101120 011/201/2故逆矩阵为3- 221- 2 2-3107- 611- 232010221123201213201100002210100123200100121000132 001021 000111103

18、421010232001021000111103401216100 0 11220 0 0 1' 0110 11360 1 2 1 6 101 3B 2 2求 X 使 AX B3 11 20 10 40 21 20 10 00 01 20 10 00 01 20 10 00 01 0 00 1 0 0 0 10 0 01故逆矩阵为0124(1)设 A解因为(A, B)3200102100019510302101000112400 1010113612 1 61012410113616104 12 12 21 23 11 310 215 312 4所以A1B101512因为求X使XA B

19、023ATXT213BT(AT,BT)所以XT (AT) 1BT从而X BA1AX2X A原方程化为（A2E)X因为(A 2E, A)所以X (A 2E) 1A6阶子式解在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r 1阶子式 有没有等于0的r在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r 1阶子式也可能存在等于0的r阶子式10 0 0例如 A 0 10 0 R(A) 30 0 100 0是等于0的2阶子式1 0 0是等于0的3阶子式0 1 07 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样解 R(A) RB)这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是

20、(10100)(11000)解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵10000110001 0 10 00001000000此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式3 102(1)112113 443 102解1121(下一步13 441 r2)112 13 10 2 (下一步13 4 42 3r 13 r 1)112 10 4 6 5 (下一步八 ” )0 4 6 53 71)112 10 4 6 50 0 0 0矩阵的秩为23 13 213(2)2 131705 13213解 2 13 1705 14是一个最高阶非零子式13823 （下

21、一步 1 228134413 3r 2071195(下一步0213327151344107119500000矩阵的秩是27是一个最高阶非零子式2183723075325801032022311 8 33 0 72 5 80 3 27 50 0（下一步1242 243 340 12 170 0 0 0 160 0 0 0 141 0 3 2 0（下一步2 3ri 3 2ri2 16r43 16r2)1 0 3 2 00 1 2 1 7 0 0 0 0 10 0 0 0 00 7 5矩阵的秩为35 8 070 0是一个最高阶非零子式3 2 010设A、B都是m n矩阵 证明AB的充分必要条件是证明

22、根据定理3必要性是成立的充分性 设R(A) R B) 则A与B的标准形是相同的准形为D 则有AD DB由等价关系的传递性有ABI 2 3kII 设A 1 2k 3 问k为何值 可使 k23(1) R(A) 1(2) RA) 2(3) R(A) 31 2 3k r 11 k解 A 1 2k 3 - 0 k 1 k 1k 2 30 0 (k 1)(k 2)R(A) R(B)设A与B的标(1)当 k 1 时 R(A 1当k 2且k 1时 R(A) 2当k 1且k 2时 R(A) 312求解下列齐次线性方程组：为 “ 2x3 x4 02x1 x2 x3 x4 02x1 2x2 x3 2x4 0对系数矩

23、阵A进行初等行变换112110102 1110 1312 2 120 014/3于是x1x2x3x44x 3x43x44x3x4x4故方程组的解为x1x2x3（k为任意常数）x4为 2x2 3x1 6x2x3 x4 0xb 3x4 05x1 10x2 x3 5x4 0解对系数矩阵A进行初等行变换1 2 1A 3 6 15 10 11120130 01050 000于是Xi2x2 x4x2 x2X3 0X4 X4故方程组的解为X121x2上100( kx3k10k20(1X4012x1 3x2 x3 5x4 03x1 x2 2x3 7x4 04x1 x2 3% 6x4 0为 2x2 4x3 7x

24、4 0k2为任意常数）解对系数矩阵A进行初等行变换有2315100031270100413 60 0 1 01 2 4 70 0 0 1于是x1 0x2 0x3 0x4 0故方程组的解为x1 0x2 0x3 0x4 03x1 4x2 5x3 7x42x1 3x2 3x3 2x44x1 11x2 13x3 16x4 07x1 2x2 x3 3x4 0解对系数矩阵A进行初等行变换有31310于是XiX23247431125313172163171917 00172017 00X3X4故方程组的解为3171917X3X4X3X313於2017x413X1X2X3X4ki317191710131720

25、人(k11701k2为任意常数）求解下列非齐次线性方程组：4x1 2x2 Xs 23x1 1x2 2x3 1011X1 3x2 8对增广矩阵B进行初等行变换43112108310031108346于是RA) 2 而RB)故方程组无解2x X (2) 3x4x3y 2y8y yZ 4z 2z 9z45136解对增广矩阵B进行初等行变换213432811429451361 0 0 0010021001200于是2z 12（k为任意常数）2x4x2xy 2y y2z w对增广矩阵B进行初等行变换1 1/20 00 01/2000 1/21 00 01 y于是2y yz0x y z wk1121 0

26、0k212 010120 （匕00k2为任意常数）2x3xy 2yx 4yz 3w3z 5w对增广矩阵B进行初等行变换有7 76/5/7 7 01 97 7 01/5/01010014 213 511312 42 3 1B6-75-7w w1- 79- 7z z1- 7 5-7 z wX y z w)研2k1K/V6- 75- 70 01- 79- 70 1%1- 75- 710X y z wnBA14写出一个以223r41c2001x c1为通解的齐次线性方程组解根据已知可得2401c2Xi2X2c3X3c11x40与此等价地可以写成x1X2X3c22x3 x43x3 4x4X4x1X2x1

27、 2x3 x4 0x2 3x3 4x4 0这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组15取何值时非齐次线性方程组X1 X2x3 要使方程组有唯一解必须R(A) 3 因此当 1且程组有唯一解. 要使方程组无解必须R( A(1)(2) 0 (1因此 2时 方程组无解(3)要使方程组有有无穷多个解(1)(2) 0 (1因此当 1时方程组有无穷多个解XiX2%2Xi X2X3(1)有唯一解(2)无解 (3)有无穷多个解0 0 (1)(22(1)(1)(1)22时方R(B)故)(1)2 0必须 R(A) RB)(1)2 016非齐次线性方程组2x1 x2 x3 x1 2x2 x3 x1 X2 2x3当 取何

28、值时有解并求出它的解1)2)211解 B 1 2 1112要使方程组有解必须（1当 1时2121 01120 0 0 ()(2) 0 即 11 o O1 1 OO 1 O1 o O2 1111212 12 11 B方程组解为x1x2x1x2x3X3 1X3X3X111x2k10(k为任意常数)X310210122 0 1 1 240 0 0 0方程组解为X2X32- X12或X2X3X32X32X3X112x2k12(k为任意常数)X310(2)X1 2x2 2% 117设 2x1 (5 )x2 4x3 2 2x1 4x2 (5)x3问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解 并在有无穷多解

29、时求解22解B 2 5242 50 10 0 (1要使方程组有唯一解(1)(10)所以当 1且 10时2142514211)(10) (1)(4必须 R(A) R(B) 30方程组有唯一解.)即必须要使方程组无解必须R(A)R(B)即必须(1)(10) 0 且(1)(4) 0所以当 10时方程组无解.要使方程组有无穷多解必须R(A) R(B) 3 即必须(1)(10) 0 且(1)(4) 0所以当 1时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为1221B-0 0000 000方程组的解为x1x2X3X2x31x2X3X122x2k11k20X30110 (k1k2为任意常数)018 证明R(A)使 A

30、abT1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT证明必要性由R(A) 1知A的标准形为1001,0)1或 A P 1 0 (1, 0, ,0)Q 100) Q 1 则a是非零列向量bT0 000(1,010 000即存在可逆矩阵P和Q 使1 PAQ 0 (1,Q ,0)0 1 令 a P 1 0bT (100是非零行向量且A abT充分性 因为a与bT是都是非零向量所以A是非零矩阵从而RA) 1因为1 R(A)R(abT) minR(a)R(bT) min1 11所以RA) 119 设A为m n矩阵 证明(1)方程AX占有解的充分必要条件是R(A) m证明 由定理7 方程AX占有解的充

31、分必要条件是R(A) R(A E)而| Em|是矩阵(A 弱的最高阶非零子式 故F(A) R(A E) m 因此 方程AX Em有解的充分必要条件是R(A) m(2)方程YA E有解的充分必要条件是R(A) n证明注意 方程YA E有解的充分必要条件是 AY En有解 由(1) AY En有解的充分必要条件是 RAT) n 因此，方程YA En有解的充分必要 条件是R(A) RAT) n20 设A为m n矩阵 证明 若AX AY 且R(A) n 则X Y 证明 由AX AY 得A(X Y) O 因为R(A) n 由定理9 方程A(X Y)。只有零解即X Y O 也就是X Y第四章向量组的线性相

32、关性1及3V1解设v12v2 v3(10)TV2 (011)V3 (30)T求 v1 v2v1 v2(1(1V1 2v2(100)11)T(01)T1) TV3 3(1(3 1(012)0) T0 3T2(031) T1 4(330)10)T23)Ta2 (10解1)T13)3(a13(a1a)2(a210) Ta3a)(45( a3a)求a 其中a1(21)Ta)2( a2 a) 5(a3a)整理得E(3a1 2a2 5a3)613(2,5,1,3)T 2(10,1,5,10)t65(4,1, 1,1)T(12已知向量组Aa1(0B b1 (24) T3)T2)Ta2 (3b2 (012)t

33、a3211) T(2b3(4证明B组能由A组线性表示证明由但A组不能由B组线性表示(A, B)0 3 2 210 3 12 10 13 2 120 41031224 1032201 1016151 302817知 R(A)由1 0 310 160 0 200 0 4115124103157 10 16115250041350000R(A B) 3所以B组能由A组线性表示44792530475 02041124 1 01110213021022 1 01110001000知 R(B) 2 因为 R(B) R(B A)所以A组不能由B组线性表示4 已知向量组A a1 (011) T a2 (110

34、) TBb1 (101) Tb2 (121)T b3 (32证明A组与B组等价证明由1)T(B, A)1 1 3 0 1 r 0 2 2 1 1 11110113 0 10 2 2 1 10 0 0 0 0知 R(B) R(B AR(A) R(B A) 2组与B组等价2 显然在A中有二阶非零子式所以 R(A) 2 从而 R(A) R(B)故R(A) 2 又R(A B) 因此A5 已知 R(a1 a2 as)2 Ra2 a3 a,3 证明(1) a1能由a2a3线性表示(2) 2 4不能由21 a2a3线性表示证明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关 又由Rfa

35、a?a?)2知aia2a3线性相关故a1能由a2(2)假如a4能由aa?故a4能由a a3线性表示 能由ai a a3线性表示a3线性表示a3线性表示则因为ai能由aa3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾 因此a不6判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1)(131) T (210) T (141)(2) (230) T (140) T (002)解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为1 2 1r 1 2 1 r 1 2 1A 314 077 011 1 0 10 2 20 0 0所以RA) 2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为2 1 0|B

36、| 3 4 0 22 00 0 2所以RB) 3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关T1 a)7 问a取什么值时下列向量组线性相关a1 (a 11) Ta2 (1 a 1)T a3 (1解以所给向量为列向量的矩阵记为A 由a11|A|1a1a(a 1)(a 1)11a知 当a 1、0、1时 R(A) 3此时向量组线性相关8 设a1a2线性无关a1 ba2 b线性相关求向量b用a1 a21(a1b)2( a2 b) 0线性表示的表示式解因为a ba2 b线性相关故存在不全为零的数12使由此得-ai2a22-aii 2(1JR2b cai(1c) a2设aia2线性相关bib2也线性相关问aibia2b2是否一定线性相关试举例说明之解不一定例如 时有ai(i2)a2(24) T, bii)T, b2(0T0)aibi(i 2)bi(