线性代数考试题及答案

1、2009 2010学年第一学期期末考试线性代数试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分 100分，120分钟完卷。得分、单项选择题。（每小题3分，共24分）2、闭卷考试。题号一二三四五总分分数评阅人:总分人:1.行列式(A) 0(B)(C)(D)】2.设A为3阶方阵,2，A3,则 A(A) 24(B)24 (C)6(D)】3.已知A, B,为n阶方阵,则下列式子一定正确的是(A) AB BA (B)(A_ 22_B) A 2ABB2(C) ABBA(D)(AB)(AB) A2B2】4.设A为3阶方阵，0,则(A)(B)(C)(D)【】5.设矩阵A与B等价，则有(A) R(A) R(B)(

2、B)R(A) R(B)(C) R(A) R(B) (D)不能确定 R(A)和R(B)的大小【】6.设n元齐次线性方程组 Ax 0的系数矩阵 A的秩为r ,则Ax 0有非零解 的充分必要条件是(A) r n (B) r n (C) r n (D) r n【】7.向量组ai，a2， ,am(m 2)线性相关的充分必要条件是(A) ai,a2, am中至少有一个零向量(B) ai,a2, am中至少有两个向量成比例(C) ai,a2, am中每个向量都能由其余 m 1个向量线性表示(D) ai,a2, am中至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示【】8. n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是(

3、A) R(A) n(B)A有n个互不相同的特征值(C) A有n个线性无关的特征向量(D)A一定是对称阵得分二、填空题。(每小题3分，共15分)1.已知3阶行列式D的第2行元素分别为1,2,1 ,它们的余子式分别为1, 1,2 ,则D 。八r 0 1462.设矩阵方程X，则X。1 0213 .设x是非齐次线性方程组 Ax b的一个特解，1, 2为对应齐次线性方程组Ax 0的基础解系，则非齐次线性方程组 Ax b的通解为.4 .设m n矩B$ A的秩R(A) r ,则n元齐次线性方程组 Ax 0的解集S的最大无关组So的秩Rs0 。25 .设是万阵A的特征值，则 是A的特征值三、计算题（每小题8分

4、，共40分）.53121021 .计算行列式12121 01341022.已知矩阵A2113 ,求其逆矩阵A 1。4183. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 ，已知 1 , 2, 3 是它的三个解向量且2132，23 ，求该方程组的通解。4354214 . 求矩阵 A 的特征值和特征向量。122_225 .用配万法化一次型 f x1 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3成标准型。得分四、综合体（每小题8分，共16分）1 .解下列非齐次线性方程组2x1 x2 x3 x414x1 2x2 2x3 x422x1 x2 x3 x412.已知向量组16求（1）向量组的秩；（2）向

5、量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。B五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足A2 A 2E 0,证明A及A 2E都可逆，并1求A及(A 2E)一、单项选择题。（每小题3分，共24分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C二、填空题。（每小题3分，共15分）(C1,C2R)4.n r 5.2 11.4 2.3. x G 1c2 246三、计算题（每小题8分，共40分）.1.解:11（2分）=02 .已知矩阵解：（A,E）10求其逆矩阵11113 .设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为11204011202分）3,已知（2分）（2分）（

6、2分）（4分）（2分）3是它的三个解向量且23,求该方程组的通解。32x14.:由已知可得：对应的齐次线性方程组Ax 0的解集S的秩为4 3 1,因此齐次线性方程组 Ax 0的任意非零解即为它的一个基础解系。 （3分）令 2 1 （ 23）则 A A2 1 （ 23H 2A 1A 2 A 32bb b 0所以 （3,4,5,6）T 0为齐次线性方程组 Ax 0的一个基础解系。 （3分）由此可得非齐次线性方程组 Ax b的通解为:43x k k(k R)54(2分)，2求矩阵A11的特征值和特征向量。2A的特征多项式为:(1)(3)所以A的特征值为11, 2 3。（4分）（1）当11时，对应的特

7、征向量满足1 1 x11 1 x2,解得：x1x20则11对应的特征向量可取p1(2分)（2）当13时，对应的特征向量满足xix211x111 x21(2分)则13对应的特征向量可取P2112_225.用配万法化一次型 f x1 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3成标准型。解： f2x1x22x1x32x225x326x2x3(x1x2x3)222x2 4x3 4x2x322(Xi X2 X3)(X2 2x3)4 分）y1X1X2 X322令 y X2 2X3则把f化成标准型得：f y y （4分）y3 X3四综合题（每小题8 分, 共 16分）1. 解下列非齐次线性方程组2X

8、1 X2 X3 X4 14X1 2X2 2X3 X4 22X1 X2 X3 X4 1解：对增广矩阵B 作初等行变换21421121101r120 001 05 分）2111100000由上式可写出原方程组的通解为：X1100X22113 分）c1c2(c1 ,c2 R)X3010X40002. 已知向量组123a12 , a23 , a33116求 （1） 向量组的秩； （2） 向量组的一个最大无关组， 并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。12解： A 2 33107r10 152 分）3 116000则 Ra2,2 分）故向量组的最大无关组有2 个向量，知a1 ,a2为向量组的一个最大无关组。2分)且 a37a1 5a2 (2 分)五、证明题(5分)证明：设n阶方阵A满足A2 A 2E 0,证明A及A 2E都可逆，并求 A1及(A 2E) 1。证明：.1,.(1) 由已知可得