全等三角形证明中考题(有答案)

1、新人教版八年级上学期全等三角形证明题一.解答题（共10小题）1 .（泉州）如图，已知AD是乙、ABC的中线，分别过点CF_LAD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF.2 .（河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中Z090,ZB=NE=30、.（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是设ABDC的面积为S1,AEC的面积为S2,则Si与S2的数量关系是1E2当ZaDEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了/BDC和AAEC中BC、CE边上

2、的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究BD=CD=4 , DE/ AB交BC于点E （如图4）.若在射线BA已知/ABC=60。点D是角平分线上一点，上存在点F,使dcf=SaBDE，请直接写出相应的BF的长.3 .(大庆)如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90绕着顶点B顺时针旋转60。使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H.(1)求证：CF=DG;(2)求出/FHG的度数.4 .(阜新)(1)如图，ABC和ZaADE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=90当点D在AC上时，如图1，线段BD、C

3、E有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的ADE绕点A顺时针旋转%角(0。aV90，如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.(2)当/ABC和乙、ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立？不必说明理由.甲：AB:AC=AD:AE=1,/BAC=/DAEM90/ BAC= / DAE=90 / BAC= / DAE M90乙：AB:AC=AD:AEMl,丙：AB:AC=AD:AEM,BB(1)(2)5.(仙桃)如图所示，在/ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE/BC,如图，然后将/ADE绕A点顺时针旋转

4、一定角度，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=2BD，ENCE,得到图，请解答下列问题：(1)若AB=AC，请探究下列数量关系： 在图中，BD与CE的数量关系是; 在图中，猜想AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k?AC(k1)，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.6.(四川)CD经过/BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且/BEC=/CFA=/a.B（D若直线CD经过/BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：

5、如图1，若/BCA=90/=900则BECF;EF|BE-AF|（填，Z或=）； 如图2,若0。ZBCAV180，请添加一个关于/a与/BCA关系的条件，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2）如图3,若直线CD经过ZBCA的外部，Za=ZBCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.7.（绍兴）课外兴趣小组活动许老师出示了如下问题：如图1,己知四边形ABCD中，AC平分/DAB,求时，/DAB=60/B与/D互证：AB+AD=7；AC.小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD补，特殊化，看如何解决该问题.2B=/D，如图2，可证AB+ADJAAC:

6、（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）&（常德）如图，已知AB=AC,（1） 若CE=BD，求证：GE=GD;（2） 若CE=m?BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系.（只写结论，不证明）9.(泰安)(1)已知：如图，在AOB和乙、COD中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=60。求证：AC=BD:/APB=60度；(2)如图，在AOB和ACOD中，若OA=OB，OC=OD，/AOB=/COD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为；ZAPB的大小为;(3)如图，在aAO

7、B和ACOD中，若OA=k?OB,OC=k?OD(k1),ZAOB=ZCOD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为;ZAPB的大小为10.（南宁）（A类）如图，DE_LAB、DFAC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题（只需写出一种情况）AB=AC:BD=CDBE=CF已知：DEAB、DF_LAC，垂足分别为求证：BE=CF已知：DE_LAB、DF_LAC，垂足分别为求证：BD=CDE、F, AB=AC , BD=CDE、F, AB=AC , BE=CFE、F, BD=CD , BE=CF已知：DE_LAB、DF_LAC，垂足分别为求

8、证：AB=AC（B类）如图，EG/AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）AB=AC:DE=DF;BE=CF已知：EG/AF,AB=AC,DE=DF犬求证：BE=CFA新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一.解答题（共10小题）1 .（泉州）如图，已知AD是AABC的中线，分别过点CF_LAD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF.考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据中线的定义可得BD=CD，然后利用角角边”证明BDE和乙、CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证.解答：证明：*/AD是AAB

9、C的中线，BD=CD, /BEAD,CFAD, /BED=/CFD=90在ABDE和ZaCDF中，ZBED=ZCKD=90nZBDE=ZCDF,BD=CD BDEOACDF（AAS）, BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2.（河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/C=90/B=/E=30（1）操作发现如图2，固定/ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DE/ACS1=S2设4BDC的面积为AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是(

10、2)猜想论证当乙、DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AAEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ABC=600点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE/AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使Sadcf=Sabde，请直接写出相应的BF的长.考点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：。)根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出/ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得/ACD=60。然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根

11、据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=JAB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC2的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2) 根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD，再求出/ACN=/DCM，然后利用角角边”证明/ACN和ADCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3) 过点D作DF1/BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点闩为所求的点，过点D作DF2LBD，求出/FiDF2=601从而得到/DF1

12、F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出/CDF1=ZCDF2，利用边角边”证明CDF1和ACDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰/BDE中求出BE的长，即可得解.解答：解：。)/DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，2 AC=CD, /BAC=90-/B=90-30=60 ACD是等边三角形， /ACD=60 /CDE=/BAC=60/ACD=/CDE,-DE/AC；/B=30/C=901,CD=AC=AB, BD=AD=AC,根据等边三角形的性质，/ACD的边AC、AD上的高相等， BDC的面积和4AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)即S

13、仁S2；故答案为：DE/AC;S仁S2；(2)如图，-/DEC是由ABC绕点C旋转得到， BC=CE,AC=CD, /ACN+/BCN=90/DCM+/BCN=180-90c900 /ACN=/DCM, 在4ACNftlADCM中,AC=CD ACNADCM(AAS), AN=DM, BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)即S1=S2；(3)如图，过点D作DFi/BE,易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DFi，且BE、DF1上的高相等，此时SadcF=Sabde,过点D作DF2_LBD, /ABC=60 /FiDF2=ZABC=60 DF1F2是等边三角形， DF1=

14、DF2,BD=CD,/ABC=60。点D是角平分线上一点， /DBC=/DCB=260=30 /CDF1=18O-30150/CDF2=360-150-60150 /CDFi=/CDF2, 在CDFl和ACDF2中，m二DL“ZCEFAZCDFAlCD=CD ACDFiBACDF2(SAS),点F2也是所求的点/ABC=60。点D是角平分线上一点，/DBC=/BDE=/ABD=260=30又/BD=4,BE=-DE/AB,ohcos30=2考书2BFI二；BF2=BFI+F1F2=_；+；二：3?333故BF的长为一或：33C(3)题圜点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边

15、三角形的判定与性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点F有两个.3. (大庆)如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90)绕着顶点B顺时针旋转60。,使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H.(1)求证：CF=DG；(2)求出/FHG的度数.考点：全等三角形的判定与性质.分析：在乙CBF和ADBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；(2)根据全等三角形的对应角相等，

16、即可证得/DHF=/CBF=60)从而求解.解答：。)证明：在CBF和ZaDBG中，rBCABDZCBF=ZBDG=60,血BGCBF。/DBG(SAS), CF=DG；(2)解：/CBF/DBG, /BCF=/BDG,又/CFB=/DFH, /DHF=/CBF=60)ZFHG=180。-ZDHF=180。-60=120点本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关4.（阜新）（1）如图，在ABC和ZaADE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=90 当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的ADE绕点A顺时针旋

17、转角（0。aV90。，如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.（2）当/ABC和乙、ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由.(1)(2)甲 AB : 乙 AB : 丙 AB :AC=ADAC=ADAC=ADAE=1,ZBAC=ZDAEM90AEMl,ZBAC=ZDAE=90AEM,ZBAC=ZDAEM90考点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：（1）BD=CE,BD_LCE.根据全等三角形的判定定理SAS推知ABD。/ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等/ABF=/

18、ECA;然后在/ABD和乙、CDF中，由三角形内角和定理可以求得/CFD=90即BD_LCF；BD=CE,BD_LCE.根据全等三角形的判定定理SAS推知ABD。/ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等/ABF=/ECA;作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角/ABF=/HCF，再根据三角形内角和定理证得/BHC=90（2）根据结论、的证明过程知，/BAC=/DFC（或/FHC=90时，该结论成立了，所以本条件中的/BAC=/DAE去|30。不合适.解答：解：（1位结论：BD=CE,BDCE;结论：BD=CE,BDCE-1分理由如下：*/BAC=/DA

19、E=90/BAC-/DAC=/DAE-/DAC，gp/BAD=/CAE-7分在AABD与ZaACE中，AB=ACZBAD=ZCAEAD=AEABDAACE（SAS）BD=CE1分延长BD交AC于F,交CE于H.在AABF与ZaHCF中，/ZABF=/HCF,/AFB=/HFCZCHF=ZBAF=90BDCE-3分点评：本题考查了全等三角形的判定与性质.(2) 在图中，BD与CE的数量关系是 ; 在图中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/BAC的数量关系,并证明你的猜想；(2)结论：乙.AB:AC=AD:AE,/BAC=/DAE=902-分SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作为判定三

20、角形全等的定理.注意：在全等的判定中,没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL,因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等.5.（仙桃）如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE/BC,如图，然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图,然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD,EN=2cE,22（1）若AB=AC，请探究下列数量关系:得到图，请解答下列问题：（2）若AB=k?AC（k1），按上述操作方法，得到图，请继续

21、探究：AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.考点：全等三角形的判定.专题：压轴题；探究型.分析：C）根据题意和旋转的性质可知AECADB，所以BD=CE;根据题意可知/CAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得至【J/BADACAE,在AABM和AACN中，DM=：BD,EN=CE，可证ABMACN，所以AM=AN，即/MAN=/BAC.22（2）直接类比（1）中结果可知AM=k?AN,/MAN=/BAC.解答：解：（1）BD=CE；AM=AN,/MAN=/BAC,/DAE=/BAG,/CAE=/BAD,在ABAD和，CAE中AE二ADZCAE=Z

22、BAD-CAEABAD(SAS),AC=AB /ACE=/ABD,DM=-BD,EN=-CE,22 BM=CN,在ZaABM和ZaACN中，ZACN=ZABMIAB二AC ABMAACN(SAS),AM=AN, /BAM=/CAN,即/MAN=/BAG;(2)AM=k?AN,/MAN=/BAC.点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有：sss、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件-本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目.6.（台州）CD经过

23、/BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且/BEC=/CFA=/a.（不要求证明）考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理.专题：几何综合题；压轴题.分析：由题意推出zCBE-ZACF，再由AAS定理证BCECAF，继而得答案.解答：解：（1）/ZBCA=90Za=90ZBCE+ZCBE=90ZBCE+ZACF=90,ZCBE=ZACF,（D辐巽。邑弱时齿部，且E,尸在射线CD上，请解决下面两个问题： 如团T%90则BE=CF;EF=|BE-AF|（填 如囱导跋;/电C晅牛厂1钻请添加一个关于/a与/BCA关系的条件/a/BCA=180，使中的两个结论仍然翘理御懈

24、鼐殿。人总800（2）证嵋囱春号1Sd蔡湖国曲反御就8,0/a=Z卷岸吟昌提出军汽BE,AF三条线段数量关系的合理猜想/ZBCA=180-Za, ZCBE+ZBCE=ZBCA.又/ZACF+ZBCE=ZBCA, ZCBE=ZACF,又-BC=CA,ZBEC=ZCFA, BCEACAF（AAS） BE=CF,CE=AF,又-EF=CF-CE, EF=|BE-AF|.（D匚匚一口匚_lA匚点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等，相似的综合应用.7.（绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1,己知四边形ABCD中，AC平分/DAB，/DAB=60Z

25、B与/D互补，求证：AB+AD=.；AC.小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.（1）特殊情况入手添加条件：ZB=ZD”如图2，可证AB+ADPAC;（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）2ATI在ADC中，cos30=,AC在AABC中,AB=(2)由(1)知，AE+AF=.1AC,/AC为角平分线，CF_LCD,CEAB,CE=CF.而/ABC与/D互补，/ABC与/CBE也互补， /D=/CBE. 在RtACOS30CDF与RtACBE中盂，

26、ACZCEB=ZCFDZD=ZCBEtCE=CT RtCDF也RtACBE. DF=BE. AB+AD=AB+(AF+FD)=(AB+BE)+AF=AE+AF=一-;AC.点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质； 解决本题的关键.通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是&（常德）如图，已知AB=AC,若CE=BD，求证：GE=GD;（2）若CE=m?BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系,（只写结论，不证明）考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题；压触题；探究型.分析：（1）要证GE=GD，需证GDFGEC，由已知条件可根据AAS判定.（2）若CE=m?BD（m为正数），那

27、么GE=m?GD.解答：证明：过D作DF/CE,交BC于F,贝U/E=ZGDF./AB=AC,/ACB=/ABC /DF/CE, /DFB=/ACB, /DFB=/ACB=/ABC. DF=DB. /CE=BD, DF=CE,在ZaGDF和ZaGEC中，ZE二ZGDFZDSF=ZEGC,DF=EC GDF。/GEC(AAS). GE=GD.(2) GE=m?GD.SSS、SAS、ASA、AAS、点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:HL.本题的辅助线是解决题目的关键.9.(泰安)(1)已知：如图，在AOB和ACOD中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=6

28、0求证：AC=BD:/APB=60度；(2)如图，在AOB和ZaCOD中，若OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为AC=BD；/APB的大小为一；(3)如图，在/AOB和ACOD中，若OA=k?OB,OC=k?OD(k1),/AOB=/COD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为AC=k?BD；/APB的大小为180。一考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理.专题：探究型.分析：分析结论AC=BD可知，需要证明/AOCBOD，围绕这个目标找全等的条件；(2) 与图比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明/AOC。/BOD，方法类似；(3)转化为证明ZAOCBOD.解答：解：。)/ZAOB=/COD=60, ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC.即：ZAOC=ZBOD.又/OA=OB,OC=OD, AOC也ABOD. AC=BD.由得：ZOAC=ZOBD,/ZAEO=