数学曲线曲面PPT课件

1、 从卫星的轨道、导弹的弹道，到汽车和飞机等的外形，直至日常生活中的图案和花样设计从卫星的轨道、导弹的弹道，到汽车和飞机等的外形，直至日常生活中的图案和花样设计1 曲线曲面曲线曲面第1页/共80页2 一类是曲线可以用一个标准的解析式来表示，称为一类是曲线可以用一个标准的解析式来表示，称为曲线的方程等。曲线的方程等。 第二类曲线的特点是，不能确切给出描述整个曲线第二类曲线的特点是，不能确切给出描述整个曲线的方程，它们往往是由一些从实际测量得到的一系列的方程，它们往往是由一些从实际测量得到的一系列离散数据点来确定。这些数据点也称为型值点。离散数据点来确定。这些数据点也称为型值点。第2页/共80页早期

2、手工绘图早期手工绘图3第3页/共80页工业产品的形状大致上可分为两类：工业产品的形状大致上可分为两类： 一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，大多数机械零件属于这一类。大多数机械零件属于这一类。 第二类以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓自由曲线曲面组成，如飞机、第二类以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓自由曲线曲面组成，如飞机、汽车、船舶的外形零件。自由曲线汽车、船舶的外形零件。自由曲线曲面因不能由画法几何与机械制图表达清楚，曲面因不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解决的问

3、题。成为摆在工程师面前首要解决的问题。 4第4页/共80页5 对于复杂曲线和曲面的绘制方法对于复杂曲线和曲面的绘制方法先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，然后借用然后借用曲线板曲线板把这些点分段光滑地连接成曲把这些点分段光滑地连接成曲线。绘出的曲线的精确程度，则取决于所选择线。绘出的曲线的精确程度，则取决于所选择的数据点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数据点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数量取得多，则连成的曲线愈接近于理想曲的数量取得多，则连成的曲线愈接近于理想曲线。线。第5页/共80页6第6页/共80页存在的问题 不灵活不灵活 不易修改不

4、易修改 耗费时间耗费时间7利用计算机设计曲线和曲面利用计算机设计曲线和曲面第7页/共80页p1963年，美国波音年，美国波音(Boeing)飞机公司的飞机公司的Ferguson将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，从此，从此，参数形式参数形式成为自由曲线曲面数学描述的标成为自由曲线曲面数学描述的标准形式。准形式。p1964年年 MIT的孔斯（的孔斯（Coons）用封闭曲线的四）用封闭曲线的四条边界定义一块曲面；条边界定义一块曲面； p1971年年 雷诺汽车公司的贝塞尔（雷诺汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法；同了一种用

5、控制多边形定义曲线和曲面的方法；同期，法国雪铁龙（期，法国雪铁龙（Citroen） 汽车公司的德卡斯汽车公司的德卡斯特里奥（特里奥（de Castelijau）也独立地研究出与）也独立地研究出与Bezier类似的方法。类似的方法。 p1972年年 德布尔（德布尔（DeBoor）给出了）给出了B样条的标准样条的标准计算方法；计算方法；8第8页/共80页p1974年，美国通用汽车公司的戈登（年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（和里森费尔德（Riesenfeld）将）将B样条理论用于样条理论用于形状描述，提出了形状描述，提出了B样条曲线和曲面。样条曲线和曲面。p1975年，美国年

6、，美国Syracuse大学的佛斯普里尔大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理）提出了有理B样条方法。样条方法。p80年代后期皮格尔（年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（）和蒂勒（Tiller）将有理将有理B样条发展成非均匀有理样条发展成非均匀有理B（NURBS）样）样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。广为流行的技术。90P1P2P3P第9页/共80页一、曲线曲面的基础知识 Bzier曲线曲线/曲面曲面 B样条曲线样条曲线/曲面曲面 NURBS曲线曲线/曲面曲面 Coons曲面曲面10第10页/共80页 曲线与曲面的两种

7、表示方法曲线与曲面的两种表示方法 参数表示参数表示 非参数表示非参数表示 非参数两种表示方法非参数两种表示方法 显式显式 隐式隐式11第11页/共80页1 1、显式表示 显式表示显式表示 平面曲线平面曲线 每一每一个个x值只对应一个值只对应一个y值，所以显式方程不能表示封闭或者多值，所以显式方程不能表示封闭或者多值曲线，例如圆值曲线，例如圆12 xfy 第12页/共80页2 2、隐式表示 隐式表示隐式表示 平面曲线平面曲线 隐式表示的优点是易于判断函数隐式表示的优点是易于判断函数f(x,y)是否大于、是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线

8、上或在曲线的哪一侧。曲线上或在曲线的哪一侧。 三维空间曲线的隐式表示三维空间曲线的隐式表示130,yxF22ax +2bxy+cy +2dx+2ey+f=000f ( x , y,z )g( x , y,z ) 第13页/共80页曲线的非参数表示存在问题曲线的非参数表示存在问题u与坐标系相关与坐标系相关u会出现斜率为无穷大的情况会出现斜率为无穷大的情况( (如垂线如垂线) )u非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示u不利于计算和编程不利于计算和编程 14第14页/共80页3 3、参数表示 将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数将曲线上各点的坐标变量显式地表

9、示成参数 的函数形式的函数形式 其中其中 ， 和和 分别是参数分别是参数t t的显式函数的显式函数 15( )( ( ), ( ), ( )tx t y t z tP0,1t)(tx)(ty)(tzt)()()(tzztyytxx第15页/共80页000(,)xyP111( ,)x yP010010010() ,()() ,xxxx tPtyyyy tPPP0,1t通常将参数区间规范化为0,1参数方程中的参数可以代表任何量，如时间、角度等连接 和 两点的直线段的参数方程可写为第16页/共80页更大的自由度更大的自由度参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，

10、具有形状不变性；状不变性；在参数表示中，变化率以切矢量表示，不会出现在参数表示中，变化率以切矢量表示，不会出现无穷大的情况；无穷大的情况；对参数表示的曲线、曲面进行平移、比例、旋转对参数表示的曲线、曲面进行平移、比例、旋转等几何变换比较容易；等几何变换比较容易；用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数的系用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数的系数几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。数几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。参数表示比非参数表示更优越参数表示比非参数表示更优越第17页/共80页一些概念一些概念插值插值 给定一组有序的数据点给定一组有序的数据点PiPi，i=0, 1,

11、, ni=0, 1, , n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。插值，所构造的曲线称为插值曲线。18第18页/共80页逼近逼近 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近逼近，所构造的曲线为，所构造的曲线为逼近曲线逼近曲线。插值则称为。插值则称为拟合拟合。19曲线的拟合曲线的逼近第19页/共80页20 曲线曲面的曲线曲面的拟合拟合：当用一组型值点来指定曲线曲：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时

12、，形状完全通过给定的面的形状时，形状完全通过给定的型值点列型值点列。 曲线曲面的逼近：当用一组曲线曲面的逼近：当用一组控制点控制点来指定曲线曲来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过面的形状时，求出的形状不必通过控制点列控制点列。但受。但受其影响。其影响。第20页/共80页二、BezierBezier曲线生成1、Bezier定义 在空间给定n+1个点P0,P1,P2,Pn，称下列参数曲线为n次的Bezier曲线2110 1iin ii,nnBEZ(t )C t (t ),t , inn!Ci!(ni )! 第21页/共80页 一般称折线P0P1P2Pn为P(t)的控制多边形；称P0,P1,P

13、2,Pn各点为P(t)的控制顶点。 Bezier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形P0P1P2Pn是P(t)的大致形状的勾画；P(t)是对P0P1P2Pn的逼近22第22页/共80页2、Bezier曲线的特点 曲线的起点与终点和特征多边形的起点与终点曲线的起点与终点和特征多边形的起点与终点重合重合，且多边形的第一条边和最，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢方向切矢方向。而且由于曲线的形状趋向于。而且由于曲线的形状趋向于控制多边形的形状，所以可以通过调整顶点的位置来控制曲线的形状。控制多边形的形状，所以可以通过调整

14、顶点的位置来控制曲线的形状。23第23页/共80页 端点特性 对称性 控制顶点次序颠倒，则新的曲线与原曲线的形状 相同，仅曲线的走向相反。24第24页/共80页凸包性 点集的凸包是指包含这些点的最小凸集 Bzier Bzier曲线位于其控制顶点的凸包之内25P0P1PnPn-1BzierBzier曲线的凸包性曲线的凸包性凸集凸集P(t)第25页/共80页 由于计算曲线与控制多边形端点连线比较麻烦， 我们利用我们利用BezierBezier曲线的凸包性质得到：曲线的凸包性质得到： d(P(t),P0Pn) max (d(P1,P0Pn),d(Pn-1,P0Pn)26第26页/共80页 几何不变性

15、 曲线的形状仅与其控制顶点有关，而与具体坐标系的选择无关。 曲线的可分割性 采用德卡斯特里奥算法进行分割 如何进行分割27第27页/共80页3、Bezier曲线分割 分割定理 一条多项式曲线被分割成两段，得到的两段曲线仍是多项式曲线28P=Q+R00000011nniii,ni,niinnn iii,nii,niitQ : P(t )P BEZ(t )PBEZ()t ,t tttR : P(t )P BEZ(t )PBEZ()tt , t 第28页/共80页 将分割成的两段曲线继续不断地分割下去，所将分割成的两段曲线继续不断地分割下去，所生成的控制顶点序列将收敛于曲线生成的控制顶点序列将收敛于

16、曲线P(t)P(t)，这一这一点称为点称为BezierBezier曲线的收敛性。曲线的收敛性。 Bezier Bezier 曲线具有的收敛性质，保证了在适当次曲线具有的收敛性质，保证了在适当次数的分割之后，分得的每一段曲线都能由其两数的分割之后，分得的每一段曲线都能由其两端点的连线所代替。所以可以利用端点的连线所代替。所以可以利用BezierBezier曲线曲线的分割性和收敛性来生成的分割性和收敛性来生成BezierBezier曲线。曲线。29第29页/共80页 几何解释30第30页/共80页一次一次BezierBezier曲线曲线 P P0 0，P P1 1 t=0 t=13101101P(

17、 -t )PtP(i)0P1P第31页/共80页二次二次BezierBezier曲线曲线32P0, P1, P232220121101P( -t ) P(t )tPt P(i)1 2 1 21 2 21 1101(t(- t )t* t*( -t )( -t )*( -t )(t)第32页/共80页三次三次BezierBezier曲线曲线 13 = (t + (1 - t)3 1 = (t + (1 - t) . (t2 + 2t(1 - t) + (1 - t)2) 1 = t3 + 3t2(1 - t) + 3t(1 - t)2 + (1 - t)3 B1(t) = t3B2(t) = 3

18、t2(1 - t)B3(t) = 3t(1 - t)2B4(t) = (1 - t)333P0P1P2P33223123413131Q(t )(t ) Pt(t ) Pt (t )Pt P 第33页/共80页34第34页/共80页三、B样条曲线、从 Bezier 曲线到样条曲线Bezier Bezier 曲线在应用中的不足：曲线在应用中的不足： 缺乏灵活性 一旦确定了特征多边形的顶点数(m个)，也就决定了曲线的阶次(m-1次)，无法更改；控制性差当顶点数较多时，曲线的阶次将较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱；第35页/共80页B-Spline原因原因 ( (对比对比bezierb

19、ezier曲线曲线) ) Bezier Bezier 曲线的次数由控制点决定曲线的次数由控制点决定 例如例如P P4 4P P5 5线段不易弯曲线段不易弯曲. . 第36页/共80页复杂曲线如何表示复杂曲线如何表示 多段多段BezierBezier 连接点的光滑连接点的光滑( (导数相同导数相同) )比较难比较难B-Spline第37页/共80页为了克服 Bezier 曲线存在的问题，Gordon 等 人拓展了 Bezier曲线，就外形设计的需求出发， 希望新的曲线 易于进行局部修改； 更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。于是，用 n次样条基函数替换了伯恩斯坦基 函数，构造了称之为样条曲线的新型

20、曲线。第38页/共80页39第39页/共80页B-Spline 灵活灵活 次数和控制点个数无关次数和控制点个数无关 右图右图 8 8个控制点，个控制点，3 3次次第40页/共80页2、样条曲线的数学表达式样条曲线的数学表达式为：1nii ,kkP ( t )PB( t ) 1,1,11,1111,( )0,( )( )( ), iiiii ki ki kiki kii kitttBtttttBtBtBtttttt 其他 给定参数t轴上的一个分割ti(titi+1，i=0，1，2)。由递推关系所定义的Bi，k(t)称为k阶(或k-1次）B样条基函数。并约定0/00。第41页/共80页 在上式中，

21、在上式中，0 t 1； i= 0, 1, 2, , m所以可以看出：所以可以看出：样条曲线是分段定义的。如果给定样条曲线是分段定义的。如果给定 m+n+1 个顶个顶点点 Pi ( i=0, 1, 2, m+n)，则可定义，则可定义 m+1 段段 n 次的参数曲线。次的参数曲线。 42第42页/共80页一次均匀一次均匀B B样条曲线样条曲线 空间空间n+1n+1个顶点个顶点 （i = 0i = 0，1 1，。，。，n n）定）定义义n n段一次（段一次（k k1 1，二阶）均匀，二阶）均匀B B样条曲线，即样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段每相邻两个点可构造一曲线段P Pi i（u u），其

22、定义），其定义表达为：表达为： （1u）Pi1 u Pi N0，1（u）Pi1 N1，1（u）Pi4310 ;,.,1 0111 1)(1uniuuPiiiPP第43页/共80页二次样条曲线在二次样条曲线中，n=2,k=0,1,2其基函数形式为：因此可写出二次样条曲线的分段表达式为： ( i= 0,1,2,m )m+1段20,221,222,21( )(1)21( )( 221)21( )2FttFtttFtt22, 212, 12, 0)()()()(iiiiPtFPtFPtFtP第44页/共80页P3B:P0P0,P1,P2P2P1P1,P2,P3B:P4n=2,二次二次B样条曲线样条曲线

23、m+n+1个顶点，三个顶点，三点一段，共点一段，共m+1段。段。i=0P0,2(t)i=1P1,2(t)第45页/共80页三次样条曲线三次样条曲线分段三次样条曲线由相邻四个顶点定义，其表达式为：P( t )=F0,3(t)B0+F1,3(t)B1+F2,3(t)B2+F3,3(t)B3(0t 1)可见，由 n 个顶点定义的完整的三次样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接而成的。第46页/共80页当参数均匀分割时，空间当参数均匀分割时，空间n+1个顶点个顶点 ( i=0,1,2,3.n)定义的三次定义的三次B样条曲线称为三次均匀样条曲线称为三次均匀B样条曲线。由相邻四个顶点定样条曲线。由相邻四个顶

24、点定义的三次均匀义的三次均匀B样条曲线及其性质。样条曲线及其性质。B0,4(u) = 1/6 (1-t)3B1,4(u) = 1/6 (3t 3 6t 2 +4)B2,4(u) = 1/6 (-3t 3 + 3t 2 + 3t +1)B3,4(u) = 1/6 t347第47页/共80页33( )( )jiijijtBt PP第48页/共80页3、B样条曲线的计算可采用不同的方法计算B样条曲线上任何一点的值。 deBoor算法的描述如下： 1 ,)jjt t,1,0( )( )( )jii kij knii kiBttBt PPP,11,1111( )( )jii kii kikij ki k

25、ii kittttBtBttttt P11, -1211 ( )ji kiiii kij ki kii kittttBttttt PP1jjttt 将将t固定在区间固定在区间 (k-1jn)上，将上，将 简化如简化如下下( ) tP(3.3)(3.3)第49页/共80页上式将同一条曲线 由k阶B样条表示成k1阶B样条。反复运用此公式，最终将得到 111, 0, 1,2,( )( )( )1,2,1; 1,illli k liiiii k lii k lilijkjkjtttttttttttlkijklj PPPP则式（3.3）可表示成 ,12( )( )( )jlii kij ktt Bt P

26、P1( )( )kjttPP( ) tP第50页/共80页于是于是, 的值可以通过的值可以通过deBoor算法的递推关系求算法的递推关系求得。下图反映的是用得。下图反映的是用deBoor算法从算法从 得得到到 的递推过程。的递推过程。012,nP P PP1( )kjtPdeBoor算法的递推关系算法的递推关系Pj-k+3Pj-1Pj-k+1Pj-k+2Pj1kjP12jkP13jkP1jP 2 jP 2 3jkP( ) tP第51页/共80页 1rriiPP1riP12j kj kj PPP( ) tP1( )kjtPdeBoor算法的的几何意义，以线段割去角，从多边形开始经过k1层的割角，

27、最后得到上的点。这个割角过程比Bzier曲线的割角过程复杂。第52页/共80页B样条曲线的样条曲线的deBoor算法算法 3 4jkPPj-k+1Pj-k+2Pj12jkP1jP13jkP 2 jP 2 3jkP第53页/共80页区别BzierBSpline第54页/共80页样条曲线是一种非常灵活的曲线，样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线的局部形状受相应顶点的控制很曲线的局部形状受相应顶点的控制很直观。这些顶点控制技术如果运用得直观。这些顶点控制技术如果运用得好，可以使整个样条曲线在某些部好，可以使整个样条曲线在某些部位满足一些特殊的技术要求。位满足一些特殊的技术要求。第55页/共80页Bezier曲面 Bezier曲面的定义 控制定点 控制网格56000 10 1mni,ji,mj,nijP(u,v )P BEZ(u)BEZ(v )(u,v ) , , 0m,ni,ji,jP i,jP第56页/共80页Bezier曲面 Bezier曲面的性质 边界线570000 1mi,i,miP(u, )P BEZu , 010 1mi,ni,miP(u, )P BEZu , 0000 1n,jj,njP( ,v )P BEZv , 010 1nm,jj,njP( ,v )PBEZv , 第57页/共80页Bezier曲面 角点位置580 00 0,P( , )P 00 1,nP(