高等代数(北大第三版)第一章多项式16剖析

1、一、一、k 重因式重因式设设 为数域为数域P的不可约多项式，的不可约多项式， ( )P ,f xx ( )p x则称则称 为为 的的 重因式重因式.( )f xk( )p x若若 1, 则称则称 为为 的的重因式重因式.k( )f x( )p x（若（若 =0=0， 不是不是 的因式的因式) ) k( )f x( )p x若若 ，但但 ( )|( )kpxf x1( ) |( ),kpxf x 定义定义若若 1, 则称则称 为为 的的单因式单因式.k( )f x( )p x1. 若若 的标准分解式为：的标准分解式为： ( )f x1211( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx

2、 则则 为为 的的 重因式重因式 . . ir1,2,is ( )ip x( )f x时，时， 为单因式为单因式 ;1ir ( )ip x时时, 为重因式为重因式 .1ir ( )ip x二、重因式的判别和求法二、重因式的判别和求法2. 定理定理6 若不可约多项式若不可约多项式 是是 的的 重因式重因式( )f xk( )p x(1),k 证证:假设假设 可分解为可分解为( )f x( )( ) ( ),kf xpx g x 1( )( )( )( )( )( )kfxpxkg x p xp x g x 1( )|( ) .kpxfx 其中其中( ) |( ) .p xg x则它是则它是 的微

3、商的微商 的的 重因式重因式.1k ( )fx ( )f x令令( )( )( )( )( ) ,h xkg x p xp x g x 是是 的的 重因式重因式( )p x( )fx 1k 且且 ,( ) |( )p xg x( ) |( )p xp x ( ) |( )( ),p xkg x p x ( ) |( )p xh x( ) |( )kpxfx 为为 的的 重因式，但未必是重因式，但未必是( )p x( )fx 1k ( )p x( )f x的的 重因式重因式. . k注意注意定理定理6 6的逆命题不成立的逆命题不成立，即即推论推论1若不可约多项式若不可约多项式 是是 的的 重因式

4、重因式则则 是是 的因式的因式，但不是但不是 的因式的因式.( )p x( )( )kfx( )f x(1),k ( )p x(1)( ),( ),( )kf xfxfx k推论推论2不可约多项式不可约多项式 是是 的重因式的重因式 ( )p x( )f x是是 与与 的公因式的公因式. ( )f x( )p x( )fx 推论推论3推论推论4多项式多项式 没有重因式没有重因式 ( )f x( ),( )1.f xfx ，若若 其中其中 为不可约多项式，为不可约多项式， 则则 为为 的的 重因式重因式. . ( )f x( )P f xx 11( ),( )( )( ) ,srrsf xfxp

5、xpx ( )ip x( )ip x1ir 根据推论根据推论3、4可用辗转相除法可用辗转相除法，求出求出( ),( )f xfx 说明说明来判别来判别 是否有重因式若有重因式是否有重因式若有重因式 ，还可由还可由( )f x的结果写出来的结果写出来. ( ( ),( )f xfx 532( )1020154f xxxxx 例例1. 判别多项式判别多项式 有无重因式有无重因式. ( )f x推论推论5注注: :不可约多项式不可约多项式 为为 的的 重因式重因式 为为 的的 重因式重因式. . ( )f x( )p x( )p xk( ),( )f xfx 1k 与与 有完全相同的不可约因式，有完全