全国各地中考试题压轴题精选讲座五抛物线与几何问题

1、2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座五抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：yaxbxc(a工0；2、顶点式：y=a(xh)2+k;3交点式：y=a(xxi)(x-x2)，这里x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。xOy中，点A的坐标为(一 2, 2),点B的求上、BON面积的最大值，并求出此时点【典型例题】【例1】(浙江宁波)如图，平面直角坐标系坐标为(6,6),抛物线经过A、0、B三点，连结OA、OB、AB，线段A

2、B交y轴于点E.(1) 求点E的坐标；(2) 求抛物线的函数解析式；(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点0、B重合)，直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧)，连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，N的坐标；(4)连结AN，当aBON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP与AOAN相似(点B、O、P分别与点。、A、N对应)的点P的坐标.【思路点拨】(1)根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令x=0，即可求E点坐一121标。(2)列方程组求a、b的值。(3)依题意，设Nx,xx，求出BON面42积关于X的函数表达式，用二次函数的最值原理，可求N点的坐标。(4)根据三角形相似的性质

3、得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理即可求出点【例2】（天津）已知抛物线G：yi.x?x1.点F（1,1）.2（I）求抛物线C-的顶点坐标；（n）若抛物线C一与y轴的交点为A.连接AF，并延长交抛物线Ci于点B,求证：11AFBF抛物线Ci上任意一点P（xp,yp）（Oxp1）.连接PF.并延长交抛物线C于11点Q（XQ,VQ），试判断人三入之是否成立？请说明理由；0V”PFQF12（川）将抛物线Cl作适当的平移.得抛物线C2：y（xh），若2xm时.yx2恒成立，求m的最大值./2.【思路点拨】（I）只要把二次函数变形为yaxmn的形式即可。（II）求出AF和BF即可证明

4、。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。（川）应用图象平移和抛物线的性质来证明。(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；【例3(浙江省)如图，在直角坐标系中，抛物线2yaxbxca0与x轴交与点A(-1,0)、B(3,0)两点,抛物线交y轴于点C(0,3),点D为抛物线的顶点.直线yx1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线点问点P在何处时,线段PQ最长，最长为多少？设E为线段0C上的三等分点，连接EP,EQ,若EP=EQ，求点P的坐标.【思路点拨】(1)由待定系数法可求抛物线的解析式，把化为顶点式可求顶点坐标。(2)线段PQ用含P(x,x-1),Q

5、(x,x22x3)来表示，用二次函数的最值原理可求。【例4(四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的A、B两个顶点在X轴上，顶点C在y轴的负半轴上已知|OA|：|OB|=1:5,|OB|=|OC|,ABC的面积abc=15，抛物线yaxbxc(a0)经过A、B、C三点.(1)求此抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作X轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于X轴于点G,再过点E作EH垂直于X轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点皿，使AMBC中

6、BC边上的高为7、.2?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1 )由已知设0A2(x x 4x 5)，加1物2七状(称本出为x=2，根据EHEF，列方程求解。(3)禾9用直线解析式与抛物线解析式联立，求 M点的坐标。t(t0)，根据题意求t的值。(2)设E点坐标为【学力训练】1 21、(浙江绍兴)抛物线y-xi3与y轴交于点A，顶点为B,对称轴BC与X轴交于点c.(1)如图1.求点A的坐标及线段0C的长；(2)点P在抛物线上，直线PQ/BC交x轴于点Q,连接BQ.若含45。角的直角三角板如图2所示放置其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上.求

7、直线BQ的函数解析式；若含30.角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标.图1S22、(浙江衢州)已知两直线卜，|2分别经过点A(1,0)，点B(-3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有h_Ll2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线12交于点K，如图所示.(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；(2)抛物线的对称轴被直线h,抛物线，直线|2和X轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；(3)抛物线的另一个交点为当直线12绕点C旋转时，与M，请找出使MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标

8、.1233、(广西桂林)已知二次函数yx-x的图象如图.42(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标；(2)轴向上平移，设平移后的抛物线与将该抛物线沿它的对称 x轴，y轴的交点分别(3)直径，D为圆心作O D，试判设(2)中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为为A、B、C三点，若/ACB=90，求此时抛物线的解析式；断直线CM与OD的位置关系，并说明理由.4、(山东日照)如图，抛物线Vax2bxa0与双曲线y-相交于点A,B.已知点B的坐标为(一2,2),点A在第一象限内，且tan/AOX=4.过点A作直线AC/X轴，交抛物线于另一点C.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算ABC的面积；(3)

9、在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积.若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由.5、(湖北黄冈)如图所示，过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M4(xi,yi)和N(X2,y2)两点(其中xivO,x20).(1)求b的值.(2)求Xi?X2的值.(3)分别过M,N作直线I：y=-1的垂线，垂足分别是Mi和Ni.判断MiFNi的形状，并证明你的结论.(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有，请求出这条直线m的解析式;如果没有，请说明理由.y5f抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】（浙江宁波）

10、解：(1)设丫171*11,将点A(-2,2)点B6,6)代入得2mn21得m,n3。6mn62当x0时，y3。,点E的坐标(0,3)。(2)设抛物线的函数解析式为yax2bx,将A(-2,2),点B6,6)代入得4a2b2QRaAhA1。抛物线的解析式为解得ab2(3)过点N作X轴的垂线NG,垂足为G,交0B于点Q,过B作BH_LX轴于H,SVBON S,，Q0N SVBQN)=-QN0G+-QNGH221 QNOG+GH23 QNOH4 227z、4(x3)(x6)。x3时,BON面积最大，最大值为岂4此时点N的坐标为(3,(3, 4),(4)过点A作AS_LGQ于SA(-2,2),B(6

11、,6),N/AOE=/OAS=/BOH=45,OG=3,NG=4在RDSAN和RtANOGt即,/SAN=tan/NOG=NS=AS=5。41/OAS-/SAN=/BOG-/NOG。OAN=/BON。ON的延长线上存在一点P，使BOPsIOAN。A(-2,2),N(3,叽-在RtAASN中，AN=,AS2+SN2525.17当ABOPsIOAN时,OBOAOP得0P=2。517，过点P作PT_Lx轴于点PTOTNG1OG4。设P(4t,t)，(4t)2t2（15.17）2（”），解得，tiPt2415（舍）。4点P的坐标为15巩严。（15,15）将公OPT沿直线4OB翻折，可得出另一个满足条件

12、的点由以上推理可知,【例2】（天津）当占=1八、P的坐标为（15,15）或（2,15）时，BOP与ZaOAN相似。1解：（l）T%x2（II）根据题意，可得点1r)2A(0,1),/F(1,1).-AB/X轴.得AF=BF=1，2AFBF抛物线11PFQF2成立.理由如下:如图，过点P（xp,yp）作1/1_1_8于点乂，FM=1xp,PM=1yp(0xp1)。RtAPMF中，有勾股定理，得PF2FM2PM2(122Xp)(1yp)又点p（Xp，yp）在抛物线G上，得yp1(Xp1)即(Xp1)22yp1-PF22yP1(1yp)2yp2,即PFyp。过点Q(Xq,yo)作QN_LAB，与AB

13、的延长线交于点N,同理可得QFyo/pMF=/QNF=90。，/MFp=/NFQ,.PFPM、QFQN1yP1pF,QNyo1QF1o这里PM1,PF，即_LQFQFQF1PF（川）令y3x，设其图象与抛物线c2交点的横坐标为Xo,Xo,且XqXq,12一抛物线C2可以看作是抛物线2、左右平移得到的，V观察图象随着抛物线C2向右不断平移，Xo,X。的值不断增大,当满足2Xm,yzX恒成立时，m的最大值在X。处取得。-当X02时所对应的X。即为m的最大值。二将Xo/B1得一(222带入-(Xh)2x,2h)22。解得h4或hO（舍去）。,y21V此时得？4)2X。解得Xo2Xo180的,最大值为

14、&J列（浙江省）解：（1）由题意，抛物线交y轴于点c（0,3）,故设抛物线的解析式为yax2bx3,把A(1,0)、B(3Q)代入，得:a b309a 3b 3，解得2抛物线的解析式为yX22x3x14。抛物线的顶点坐标为(1,4)。(2)由题意，得P(x,Q(x,x22x3),2117x24线段PQ=x22x3x1x2x4线段PQ最长为174E(0,1)，或E(0,2)。2/EP=EQ,PQ与y轴平行，-2OE=x2x3x1当0E=1时，Xi=O,X2=3，点P坐标为(0,1)或(3，2)。当OE=2时，XT,X2=2,点P坐标为(1,0)或(2,1)o综上所述，点P的坐标为(0,1)或(3

15、,2)或(1,0)或(2,1)o【例4】(四川成都)解：(1)OA:OB1:5，设OAt(t0)，则OB5t(3)/E为线段0c上的三等分点，OC=3,AB6t。又OBOC,OC5to112tSABC?ABOC?6t5t15,-11，即11。而t0,t1oAOA1,OBOC5。5)。-ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(5,0),C(0,设ya(x1)(x5)，把C(0,5)代入得a1。2t抛物线yaxbxc经过A、B、c三点，- -,此抛物线的函数表达式为yx24x5o(2)设点E的坐标为(x,x24x5),- 点在丫触右侧的抛物线上，-xOo由抛物线的对称性，知点F与点E关于抛物线

16、的对称轴x=2对称，易得点F的坐标为(4x,x24x5)。要使矩形EFGH能成为正方形，有EHEF,则x24x52x4。22。二x4x52x4或x4x52x4由得，x26x10,解得Xi3,?0,X23.TO(舍去)由得，x22x90,解得X31.10,焉1,T0(舍去)EFGH的边长为当x310时，EF2(3.10)422.10,此时正方形22.10o当x1时，EF2(1M0)42J102,此时正方形EFGH的边长为2.102。- 当矩形EFGH为正方形时，该正方形的边长为22.10或2.102。(3)假设存在点M，使MBC中BC边上的高为7,2。- M点应在与直线BC平行，且相距72的两条

17、平行直线11和|2上。由平行线的性质可得：11和|2与y触的交点到直线BC的距离也为八2。如图，设11与y轴交于P点，过P作PQ与直线BC垂直，垂足为点Q，OBI|0C/OBC=/OCB=45在RtAPQC中，|PQ7.2,/PCQ=/OCB=45,-由勾股定理，得IPC2|PQ14o二直线h与y轴的交点坐标为P(0,9)。同理可求得：12与y轴交点坐标为R(0,19)。易知直线BC的函数表达式.yX5。二直线li和12的函数表达式分别为1i:yx9；12:yx19。根据题意，列出方程组：yx2-4x-5，vyx9y2 4x-5 x -x 19由 得，x7X22x25x140,解得由 得，x2

18、 5x 14 0 ,=-31 5X6=15。2（3）存在D点使ABD的面积等于ABC的面积。理由如下：过点C作CD/AB交抛物线于另一点D，此时ABD的面积等于ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。 -直线AB相应的一次函数是：y2x2，且CD/AB, -可设直线CD解析式为y2xp,把C点的坐标（-4,4）代入可得，p12。 直线CD相应的一次函数是：y2X12。2vq解方程组解得，y2xiy18点D的坐标为（3,18）。5、（湖北黄冈）解：（1）直线y=kx+b过点F（0,1）,b=1o1、（2） 直线y=kx+b与抛物线y=x2父于MfXi,yi）和N（x2,y2）两点,4可以得kx+b=1x2，整理得：x2-4kx-4=0o出：4二Xi?x2=-4o（3） AM1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）。理由如下:设直线I与y轴的交点是F1,则22222222FM12=FF12+MlFl2=xi2+4,