数学物理方程分离变量法研究生高校本科生PPT课件

1、2.1 分离变量法概述 求解数学物理方程定解问题的主要方法有：分离变量法求解数学物理方程定解问题的主要方法有：分离变量法(也叫驻波法、富氏级数法也叫驻波法、富氏级数法)、行波法行波法(达朗贝尔法达朗贝尔法)、积分变换法、积分变换法、Green函数法函数法(镜象法镜象法)等等。其中分离变量法等等。其中分离变量法是最常用、最基本和最重要的方法。是最常用、最基本和最重要的方法。 分离变量法的物理背景是波动现象，它的结构特点是时间和空间函数的乘积形式。分离变量法的物理背景是波动现象，它的结构特点是时间和空间函数的乘积形式。于是这给我们一个启示：波动方程的解是否可以具有变量分离形式的解（即时间于是这给我

2、们一个启示：波动方程的解是否可以具有变量分离形式的解（即时间空间分离）？空间分离）？第1页/共97页2.1 分离变量法概述 一、基本思想： 1、利用变量分离形式的解，把求解偏微分方程定解问题化为常微分方程的定解问题； 2、先寻找方程满足齐次边界条件的特解，然后利用解的叠加原理求出偏微分方程定解问题的形式解； 3、分离变量法属于直接求方程特解的方法。第2页/共97页2.1 分离变量法概述 分离变量法解题的难易程度与选择的坐标系有关。 常用的坐标系有： 直角坐标系(笛卡尔坐标系) ：适合于求解区域为矩形域； 极坐标系：适合于求解区域为圆形或扇形域； 柱坐标系：适合于求解区域为圆柱形域； 球坐标系：

3、适合于求解区域为球形域。 因此，当偏微分方程的研究区域为矩形、圆形、扇形、圆柱形、球面等区域时，特别适合使用分离变量法求解。第3页/共97页2.1 分离变量法概述 分离变量法解题的求解步骤-五步： (1)分离变量； (2)求解常微分方程的本征值问题(Eigenvalue problem); (3)决定解的基本结构(本征解)； (4)解的叠加； (5)确定方程中的叠加系数。第4页/共97页2.1 分离变量法概述 掌握直角坐标系下使用分离变量法求解偏微分方程的思路和步骤； 掌握直角坐标系下齐次方程、齐次边界条件下分离变量法的求解方法; 掌握求解非齐次方程的固有函数法固有函数法和冲量定理法冲量定理法

4、； 掌握非齐次边界条件齐次化的方法； 学习其它坐标系下使用分离变量法求解偏微分方程的方法。本章主要内容第5页/共97页讲解内容安排2.1 分离变量法概述2.2 直角坐标系下的分离变量法 2.2.1 齐次方程定解问题的解法 2.2.2 非齐次方程定解问题的解法 2.2.3 非齐次边界条件的齐次化 2.2.4 高维定解问题的解法2.3 极坐标系下的分离变量法2.4 Sturm-Liouville问题2.1 分离变量法概述第6页/共97页2.2 直角坐标系下的分离变量法2.2.1 齐次方程定解问题的解法20001, 0,0 (1)( )|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)(),i

5、ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxlu x t例：求解有界弦的自、对偏微分方程定由振动解问题满足第一类齐次边界条件的定解问题解实施分离变，设量：22)( ) ( ) (4)( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) (5)( )( )X x T tX xT tX x Tta Xx T tXxTtX xa T t其中和是待定函数。为了求出满足边界条件(2)的特解，把(4)代入(1)，得即，第7页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法22(5),-( )( )- (5)( )( )( )( )0 (6)( )( )0 x tXxTtX xa T tXxX xTt

6、a T t式中的是两个独立变量，为了使之成立，只有两侧都等于一个常数才行，我们把其记为，即 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)( ) (9)( ) (0)( )XT tX l T tX x TxX x Tx把代入定解条件、 ，分别得及2000, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl第8页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法( )( )0(0)0,( )0 (10)( ),( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lX xXxX x

7、XX l因为是任意的，故，所以由(8)式得为了确定下一步首要任务就是求解下列常微分方程问题： (10)( )SturmLiouville通常称定解问题为固有值问题或问题。2000, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl第9页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法( )( )0,(6)( ), ,(10)0110ii( )xxllllX xAeBeA BABAeBeee 。目标：选取适当的 ，使得具有非零解。称能够使具有非零解的常数 为，相应的非零解为。下面分三种情况进行讨论：时 此时)求的通解为其中

8、为任意常数。把其代入边界解固有值问题条，数得数件固有值(或本征值)固有函(或本征函)AB0( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值问题第10页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法1 10 0 ( )000,(6)( ), ,(10)0 00( )00llABeeX xX xAxBA BBABAlBX x 对于这个矩阵方程，其系数行列式为从而有，故时，方程只有零解， 不可取。时 此时的通解为其中为任意常数。把其代入边界条件，得从而有，故时，方程只有零解， 也不可取。( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值问题AX = 0

9、A0X = 0线性代数中，对于方程当系数行列式，则只有第11页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值问题2220,(6)( )cossin, ,(10)0 sin0cossin0( )0sin00, (1,2,.) , (1,2,.) nX xAxBxA BABlAlBlX xlBlnnnnl时 此时的通解为(一对共轭复根)其中为任意常数。把其代入边界条件，得欲使，必须要求，即保证，于是从而得到了固有值为 (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnXxBxnl相应的固有函数为第12页/共97页2.2.1

10、 齐次方程定解问题的解法2222( )(11)(7)( )( )0( )cossin (13)(12) (13)(4)( , )( )( )(cossin)isin i14)(innnnnnnT tnaTtT tln an aT tCtDtlln an anux tXx T tCtDtxlll为了求出，把式代入式求方程满足边界条件的特解，得其通解为一对共轭复根，即把、代入式即得。到一族特解，为)nnnnCCBDDB其中的，为任意常数。2( )( )0 (7)Tta T t222 , (1,2,.) (11)( )sin,(1,2,.) (12)nnnnlnXxBx nl( , )( ) ( )

11、 (4)u x tX x T t设第13页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法11iv)(14)( , )( , )(cossin)sin (15)(15)( , )(1)( )v)(2nnnnnnnn an anu x tux tCtDtxlllCDu x t一般而言，式特解中的任一个未必满足初始条件，这些特解一般还不是原定解问题的最终解。令其中的、为待定的任意常数。根据叠加原理，由式所确利用叠加原理求出定的函数也是方程定解问题的满足形式解确定方边界条的数件程中系0101(15)( )( , )(3)|( )sin|( )sintnnttnnu x tnuxCxln anuxDxll

12、的解。欲使式成为定解问题的真正解，还需要使得满足初始条件，即第14页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法010100|( )sin|( )sin( )( )sin2( )sin, 1,2,.(16)2( )sintnnttnnlnlnnuxCxln anuxDxllnxxxlFouriernCxxdxllnnDxxdxn al这两式正好是和关于的正弦展开。根据级数展开法则(见下页附录)，便可得到定( )(15) (16)解问题的最终解由、式共同确定。end第15页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法01- , ( )( )(cossin)21( )cos, 0,1,2,.1(

13、)sin, 1,2,.nnnlnllnll lf xannf xaxbxllnaf xxdxnllnbf xxdxnlFour rlie对于周期为的函数，可以展开为三角函数级数：附录：级数展开法则其中，第16页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法1001( )()( )sin (0)2( )sin, 1,2,.( )()( )cos (0)22( )sin, nnnlnnnnnf xodd functionnf xbxalnbf xxdxnllf xeven functionanf xaxblnaf xxdxnllFourier当为奇函数 时，其系数为当为偶函数 时，其系数为附录：级数

14、展开法则001,2,.l，第17页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法32( )( )( )( )( )( )( )(0)( )(0)( )(0)( )0,( )xxxCxxCxlll对于定解问题，如果初始条件和满足：，即连续三次可微， ，即连续二次可微；即全部符合齐次边界条件，则定解问题的解是适定的，即解是存在的、唯一的并且稳定的。解的存在定理第18页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法2222(14)( , )()cos(arctan)sin( , )()sincos(arctan)arctannnnnnnnnnnnnDn anux tCDtxlClnux tCDxlDDn

15、 atlCCn al对式可以重写为代表了一个驻波，代表了弦上各点振动的，代表，其中为，弦振义振幅相位初相固有频率(本征频率动的为)。解的物理意( , )( )( )(cossin)sin (14)nnnnnn an anux tXx T tCtDtxlll第19页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法arctan (0,1,2,.)sinsin0(1)nnmmDn anlCmlnxmxmnln对每个 值，弦上的各点均以相同的频率和相同的初相位振动。当时，表明这些点振义节点幅为零，永远保持不动，这些点称为节点包括两个端点一共是个 ；解的物理意121 (1,2,.)sin221sin1,(2

16、)( , )( , )tanding wavemknnknxl kxnlknnu x tux t 当时，表明这些点振幅达到最大，这些点称为腹点一共是个 。所以，用方程来描述弦的振动，就表示了一系列振幅不同、频率不同、相位不点同的驻波(S )的叠加。腹第20页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法1fundamental wave2secondary harmonic wave/first overtone3triple-harmonic wave/second overtone(.1)( )nnnFigfundamental tone义基波二次谐波三次谐波称时的驻波为()；时的驻波为()

17、；时的驻波为()；依此类推。弦线上的基波对应弦发出的最低音，其它频率均为其整数倍，音均基解的物理意overtone)n all称为(。频率为。我们听到的音乐是不同频率声音的叠加，改变 就可以改变频率，小提琴、吉他就是通过改变长度而更泛音换声音的。n=1n=2n=3x=0 x=lfundamentalfirst overtonesecond overtoneFig1. Normal modes of vibration for a standing wave on a string fixed at both ends第21页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法123、虽然可以使用驻波的

18、思想来帮助理解解题的思路和方法，但分离变量法并不仅仅只适合于表达驻波的传播，这种方法的求解能力远大于此。求解其它各种定解问题，如扩散问题、热传导问题、温定场问题等均可以适用。、分离变量法的解题精髓是通过变量分离，把求解偏微分方程的问题化为求解常微分方程的问题。、只有当时，定解问题才可以采用分离变量法求解，否则无效。边条为齐注意：方程和界件均次第22页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法利用分离变量法求解定解问题的过程可以条写边条齐个骤问题关归纳变题键结如下：定解件完整，界件次化，五步 分离量法循序解，固有(值思)解小是路的。对偏微分方程定解问题实施分离变量五个步骤是：求固有值问题(空间

19、变量)求偏微分方程满足边界条件的特解(时间变量与固有函数乘积形式)利用叠加原理求出定解问题的形式解确定系数第23页/共97页第24页/共97页第25页/共97页第26页/共97页第27页/共97页第28页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法20002, 0,0 (1)( )|0,|0,0 (2)|( ), |( ),0 (3i)( , ) ( )(ttxxxxx ltttua uxl tuutuxuxxlu x tX x T t、对偏微分方程例 ：使用分离变量法求解下列定解问题解：，设定解问题实施分离变量22 (4)( )( )(4)(1)( ) ( )( ) ( )( )( )()

20、(5)( )( )X xT tX x Tta Xx T tXxTtX xa T t其中和是待定函数。把代入，得即，常数第29页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法22( )( )- (5)( )( )( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)XxTtX xa T tXxX xTta T t把代入边界和初始条件、 ，分(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)( ) (9)( ) (0)( )XT tX l T tX x TxX x Tx别得及2000, 0,0 (1)|0,|0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxxx ltttua ux

21、l tuutuxuxxl第30页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法( )( )0(8)(0)0,( )0 (10)(6)(10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lXxX xXX l因为是任意的，故，所以由式得于是和就组成了一个固有值问题。 (10)2000, 0,0 (1)|0,|0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl第31页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法10,(6)( ), ii( ),(10)0011xxllllX xAeBeA BABAeBeABee 0。类似地，和

22、例 一样，分三种情况进行讨论：时 此时的通解为其中为任意常数。把其代入边界条件，)求解固有得值问题( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值问题第32页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法 1 10 0 - ( )000,(6)( ), ,(10)0 00( )00llABeeX xX xAxBA BBABAX x对于这个矩阵方程，其系数行列式为从而有，故时，方程只有零解， 不可取。时 此时的通解为其中为任意常数。把其代入边界条件，得从而有，故时，方程只有零解， 也不可取。( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值问题第3

23、3页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值问题2220,(6)( )cossin, ,(10)0 cos0sincos0( )00cos021, (0,1,2,.)2(21) , (4nX xAxBxA BABlAlBlX xBlnlnnnl时 此时的通解为(一对共轭复根)其中为任意常数。把其代入边界条件，得欲使，必须保证，即要求，于是从而得到了固有值为0,1,2,.) (11)(21)( )sin , (0,1,2,.) (12)2nnXxBxnl相应的固有函数为第34页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解

24、法2222( )(11)(7)(21)( )( )04(21)(21)( )cossin (13)22(12) (13)(4)(21)( , )( )( )iic si()o2nnnnnnT tnaTtT tlnanaT tCtDtllnaux tXx T tCtl。为了求出，把式代入式，得其通解为一对共轭复根，即把、代入式即得到一族特求方程满足边界条件的特解解，为(21)(21)sin)sin 22. (14)nnnnnnanDtxllCCBDDB其中的，为任意常数。2( )( )0 (7)Tta T t222(21) , (0,1,2,.) (11)4(21)( )sin,(0,1,2,.

25、) (12)2nnnnlnXxBx nl( , )( ) ( ) (4)u x tX x T t设第35页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法110(21)(21)(21)( , )( , )(cossin)sin 222 .(15)(15)( )( , )(3)(|( )siinv)( )v)nnnnnnntnnananu x tux tCtDtxlllCDu x tuxC。令其中的、为待定的任意常数。欲使式成为定解问题的真正解，还需要使得满足初利用叠加原理求出定解问题的形式解确定方程始条的件，即中系数10121)2(21)(21)|( )sin22nttnnnxlnanuxDxll

26、第36页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法end01010(21)|( )sin2(21)(21)|( )sin22(21)( )( )sin22(21)( )sin24(21)( )sin(21)2tnnttnnlnnnuxCxlnanuxDxllnxxxlFouriernCxxdxllnDxxdxnal这两式正好是和关于的正弦展开。根据级数展开法则，便可得到0, 0,1,2,.(16)( )(15) (16)ln定解问题的最终解由、式共同确定。第37页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法2010( )( )310(10)( ),100)1000( , ), 010,0 (

27、1)( )|0, |ttxxxxxxxxxauu x txtua uxtuu下面举一个具体给定、值的例子。例 ：设有一根常为个单位的弦，两端固定，初速度为零，初位移为求弦作微小横向振动时的位移（设。解：设表示弦上任意位置 和任意时刻 的位移，它可以归结为下列定解问题0020,0 (2)(10)|, |0,0 (3)100010,10000()11(15)(16)ttttxxuuxllaa的解。这时是代表与弦的材料、张力等有关的量 。显然，本例与例 完全相同，可以直接套用例的结果，其付氏级数解由、确定。第38页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法10003333330( )0,021(

28、)sin(10)sin5000100, ; 2(1 cos)45, ;5( )21( , )cos10(215(21)nlnnxDnnCxxdxdllWhen n is evennnWhen n is oddnu x tnn 本问题的方程和例1是一样的，这里仅需要确定其系数即可。所以定解问题的解为：(21) sin10(21)ntxnnn这里 为奇数时，使用代替了 。第39页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法2004, 0,0 (1) ( )|0, |0,0 (2)|( ), 0 (3)( , )( ) ( ) (4)(1)(i)txxxx ltua uxl tuutuxxlu x

29、tX x T tX x T例 ：用分离变量法求解下列热传导方程的第一类边值问题解：，设代入)分离变原程量方，得222)( ) ( )( )( )- (5) ( )( )ta Xx T tXxT tX xa T t即，第40页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法222( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)XxX xT ta T tXT tX l T tX x T把代入定解条件、 ，分别得( ) (9)x200, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ),0 (3)txxxx ltua uxl tuutux

30、xl第41页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法2( )( )0(0)0,( )0 (10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lXxX xXX l因为是任意的，故，所以由(8)式得于是(6)和(10)就构成了固有值问题：(10)200, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ),0 (3)txxxx ltua uxl tuutuxxl第42页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法2( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值问题0,(6)( )( )cossin, ,(10)0 sin0cossin0( )0si

31、n00, ii( ) (1,2,.)nX xAxBxA BABlAlBlX xlBlnnn。我们知道，只有当时 方程才有非零解。 的通解为其中为任意常数。把其代入边界条件，得欲使，必须要求，即保证，于是从而得到了固有值（特征值）为)求解固有值问题 , (1,2,.) (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnlnXxBxnl相应的固有函数为第43页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法22222222(11)(7)( )( )( )0( ),(1,2,.) (13)(12) (13)(4)( , )iii)natlnnnnT tnaT tT tlT tC enux tX。把式

32、代入式，以求出，得这是一个一阶常微分方程，可以使用常数变易法求之（使用移项积分也可以得到，如下例）。其解可以直接得到，为把、代入式即得求方程满足边界条件的到一簇特特解，为解2222( )( )sin (14)natlnnnnx T tC exlC其中的为任意常数。( )( )( )( ) ( )( ),( )( )P t dtP t dtT tP t T tQ tT teQ t edtc附：常数变易法对于其解为第44页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法222211010( , )( , )sin (1i5)(15)( )( , )(3)|( )sin2( )sin (v) v)nat

33、lnnnnntnnlnnu x tux tC exlCu x tnuxCxlnCxxdxll。令其中的为待定的任意常数。欲使式成为定解问题的真正解，还需要使得满足初始条件，利用叠加原理求出定解问题的形式解确定即方程中的系数 (16)( )(15) (16)定解问题的最终解由、式共同确定。第45页/共97页2.2.1 非齐次方程定解问题的解法2000, 00 (1)00 (2)|3sin ,|0 (3)ttxxxxtttua u x, t u|, u| ux u 例5：用分离变量法求解下列定解问题解：这是一个有界弦自由振动问题，和本章例1一样。这1, ( )3sin ,( )0,(1,2,.),

34、1( , )(cossin)sin (4)nnnnnlxxxnnu x tCnatDnatnx 里固有值为由例的结果可确定本问题的最终解。T(t)X(x)第46页/共97页2.2.1 非齐次方程定解问题的解法00002122( )sin0 sin022( )sin3sinsin1 23sinsin20( 1),1 213sinsin3sin32( , )3cossinnnnDn dn dn an aCn dn dn dCwhen nCddu x tatx 这里，根据三角函数的正交性，有所以本定解问题的解为：第47页/共97页2.2.1 非齐次方程定解问题的解法11(4)(3)sin3sin (

35、5)sin0 (6)(5)nnnnCnxxDnanx通过本例，我们发现，对于初始条件已经是三角函数级数的情况下，我们不必要再使用系数公式去求积分来计算形式解中的系数，而只需要比较两边的系数即可。如对本题而言，把代入，有显然，欲使成立，10(1),3;(6)0nnCnCD只可能是欲使成立，只可能是。这样处理，问题就容易多了。第48页/共97页2.2.1 非齐次方程定解问题的解法第49页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法00, 00 (1)00 (2)|sin2sin3 (3)txxxxtuDu x, t u|, u| uxx 例6：用分离变量法求解下列定解问题解：这个问题没有现成的公式

36、可套,直接2( , )( ) ( ) (4)( ) ( )( ) ( )( )( )- (5)( )( )i)u x tX x T tX x T tDXx T tXxT tX xDT t按照分离变量法求解。，设把(4)、对偏微分方程定解问题实施代入(1分离变，量)，得即第50页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法22( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)sXxX xT tDT tXT tXT tX x T把代入定解条件、 ，分别得in2sin3 (9)xx200, 00(1)00 (2)|sin2sin3 (

37、3)txxxxtua Du x, t u|, u| uxx 第51页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法2( )( )0(0)0,( )0 (10)(6)(10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 (1T tT tXXXxX xXX因为是任意的，故，所以由(8)式得于是和就构成了固有值问题：0)200, 00(1)00 (2)|sin2sin3 (3)txxxxtua Du x, t u|, u| uxx 第52页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法2( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX固有值问题0,(6)( )( )cossin, ,(

38、10)0 sin0cossin0( )0sin00, (1,2,.ii( ) nX xAxBxA BABABX xBnnn。我们知道，只有当时 方程才有非零解。 的通解为其中为任意常数。把其代入边界条件，得欲使，必须要求，即保证，于是从而得到了固有值（特征值）为)求解固有值问题, (1,2,.) (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnXxBnxn相应的固有函数为第53页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法222(11)(7)( )( )( )0( ),(1,2,.) (13)(12) (13)(4)( , )( )( )sin (iii14)Dn tnnDn tnnnn

39、nT tT tDn T tT tC enux tXx T tC enxC。把式代入式，以求出，得解之得把、代入式求方程满足边界条件的即得到一簇特解，为其中的为任特解意常数。第54页/共97页2.2.1 齐次方程定解问题的解法2110113( , )( , )sin (15)(15)iv)( )(3)|sinsin2sin3sin1,2,0( 1 3)(15)v)Dn tnnnnntnnnu x tux tC enxCuCnxxxnxCCCwhen nand。令其中的为待定的任意常数。把代入初始条件，比较两边的、利用叠加原理求出定解问题的形式解系数，得代入、确定，方程中的系数得原定解问9( ,

40、)sin2sin3DtDtu x texex题的解为第55页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法 对于非齐次方程的定解问题，不能直接使用分离变量法，可以采用下列几种办法求解这种问题： (一)、 固有函数法 (二) 、冲量定理法 (三) 、积分变换法（第四章讲）第56页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法2001( , ), 0,0 (1) ( )|0, |0,0 (2)|( ), 0 (3)( )iiitxxxx ltua uf x txl tuutuxxl例：求解有限长度杆、有热源的热传导方程的定解问题解：问题产生的热传导现象由以下两部分组成：）热源产生的热传导；( ,

41、)( , )( , )(4)( , )( , ) u x tv x tw x tv x tw x t) 初始温度产生的热传导。由物理学中的叠加规律，可以假设 其中和分别满足：热源初始温度第57页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法200200( , ), 0,0 ( )|0, |0,0 |0, 0 , 0,0 ()|0,|0,0 |( ), 0txxxx lttxxxx ltva vf x txl tvvtvxlwa wxl twwtwxx ()(1)( )( )()( )lvwuvw我们知道，只有当方程和边界条件均为齐次时，才能直接使用分离变量法求解。对定解问题 ，可以直接使用分离

42、变量法 与本章例同，这里解略 。剩下的主要任务就是求解定解问题。另外，不难验证，只要 是的解， 是 的解，那么就一定是原定解问题的解。第58页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法20( )(), 0,0 (2) |0, |0,0 (3)( , )( ) ( ),(2) (3)( )( )0 ()i0txxxx lva vxl tvvtv x tX x T tXxX xX定解问题的解法有以下两种：一解：，即求定解问题 )首先求出相应的齐次方程满足齐次边界条件 的固有函数。设代入、 可得固有值问的固有函数固有函数法 付氏级数法三步骤完成。题)( )02.2.11( )sin,1,2,.(

43、4)nX lnXxBx nl这与的例 完全相同，根据例1，可知其固有函数为第59页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法111ii( )iii)( , )( , )( )( )( )sin (5)( )( )( )sin( , ), )( )sin,nnnnnnnnnnnnnv x tvx tT t XtTT tTtxlT tT tnxlnf x tfltfttxx。其中为待定函数。这里与直接使用分离变量法不同，没有直接把代入，而是作为待定函数)求定解问题的形式解确定待定函数为了确定处理。的，即，把展开成为付氏级数10 (6)2( )( , )sin, (7)nlnnf tf x tx

44、dxll其中第60页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法112121120(5) (6)( )( )sin,( )cos,( )() sin,( )()( )sin( )sin,( )()( )( ) (8)2( )( , )tnxnnnxxnnnnnnnnnnnnnnvTtx vT txlllnnvT txllannnTtT txf txlllanTtT tf tlf tf x tl 把、 都代入的方程，得从而有 即其中sin,lnxdxl1111( , )( , )( )( )( )sin (5)( , )( )sin, (6)nnnnnnnnnnv x tvx tT t XtT

45、 txlnf x tf txl第61页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法222222222()0()0( )()( )( ) (8)(8)( )( ) (9)(9)(5)()( , )( )sinnnna nttlnna nttlnanTtT tf tlT tfednv x tfed式是一阶常微分方程，使用常数变易法可以得到其结果，同时应用积分中值定理，可以得到把代入，即得到定解问题 的解，为1 (10)( )( , )( , )( , )nxlu x tv x tw x t而原定解问题 的解由组成。以上即为固有函数法求解定解问题的三步骤。( )( )()tfdft积分中值定理表述

46、为第62页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法22112101112220010( )|0,|0|( , )( , ; )( , ) ( )|0, |0 |0 ( , )( , ; ) (11)(xx ltxx lttvvatxvvvf x tv x tvvaf x ttxvvvv x tv x td：若定解问题的解为，则定冲解二 、冲量定理法量定理问题的解为此两行对应即可可以使用分离变量法第63页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法1222( )( )(11)( )( , )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )02.2.21

47、v x tX x T tX x T ta Xx T tXxT tX xa T tT ta T tn根据冲量定理，欲求定解问题，只需求定解问题 ，然后再代入即可。而 中的方程和边界条件均为齐次的，故可以使用分离变量法求之。设，代入 中的方程，得对于这个问题，我们根据例，已经知道其固有值为=2222222,1,2,.( )( )0nla nT tT tl第64页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法222222222222222222222222()( )( )0( )( )ln ( )ln ( )( )tttta na ndttlla nT tT tlT ta ndtT tla ndT

48、tdtla nT tdtlT tcece 第65页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法2222()110( )( )0,1( )sin,1,2,.( , ; )( )sin (12)2( )( , )sin (13)(13)(12)(12)(11)( )na ntlnnlnXxX xnX xBx nlnv x tBexlnBf xxdxll而对可以由本章例 知道，其中根据冲量定理，把代入，再把代入，即得到定解问题的解。即第66页/共97页2.2.2 非齐次方程定解问题的解法22222222()001()0012( , )( , )sinsin2( , )sinsin (14)a nt

49、tllna nttllnnnv x tf xxdx ex dlllnnf xxdx edxlll (10)(14)通过比较，可见。2222()01()( , )( )sin (10)a nttlnnnv x tfedxl 而前面(一)使用固有函数法得到的定解问题 的解为02( )( , )sin,lnnf tf x txdxll其中第67页/共97页小 结 方法方法定解定解条件条件分离变量法分离变量法 固有函数法固有函数法 冲量定理法冲量定理法齐次方程齐次方程 齐次边界齐次边界条件条件 2.2.2 非齐次方程定解问题的解法如果边界条件为非齐次的，怎么办？注：Laplace方程除外，边界条件非齐

50、次，仍然可以用分离变量法求之(见下节)。要求不要求要求要求要求不要求第68页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化( , )( , )( , )( , )( , )u x tv x tw x tw x tv x t利用解的线性叠加原理，设选取适当的，使其边界条件为非齐次，从而使得的边界条件齐次化。( , )w x t首要任务-如何选取适当的。边界条件（非齐次）泛定方程定解问题初始条件定解条件下面分不同类型的边界条件进行讨论。第69页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化0|( )|( )( , )( , )( , ) (1)( , )( )( )( )( )( )( )( , )(

51、 )( ), ( )xx lttw x txtlututu x tv x tw x tw x tA t xB tttB ttA tl一、对于第一类非齐次边界条件若设则可以取直线实际上，可以取简单的直线情况，即可以令代入边界条件于是得，再代入直线方程即得。第70页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化02|( )|( )( , )( , )( )( )( , ) )( )(2xxxx lututu x tv x twttw x txt xlx t二、对于第二类非齐次边界条件若设则可以取第71页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化0|( )|( )( , )( , )( ,( ,)

52、(3)(xxx lututu x tv x twwxx tt xtt三、对于混合非齐次边界条件若设则可以取第72页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化0(|( )|( )( , )( , )( , ), )( ) )( ) (4(xxx lututu x tw xv x tw x tttxlt四、对于混合非齐次边界条件(另一类)若设则可以取第73页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化200( , ),0,0( )|( ), |( )|( )1( )( , )( , )( , ) (1)( ) ( , )( )()( ) (2)txxxxx ltw xua uf x txl tu

53、t utuxu x tv x tttxlxtwt例1:求解下列定解问题解： ）首先把边界条件齐次化。设的解为的边界条件左端为第二类，右端为第一类，故可取第74页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化2000( )()( )( , ) ( )()( )( ), |()| ( ) ( )()( )|( ) (0)()(0)tttttttxxxxxxxxxxtttuvwvtxltvuwa uf x ttxltuvwvtvuvuwxtxltxxl这时， 又 ( , )( )()( ) (2)w x ttxltutwt第75页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化000200|-|( )(

54、)0|-|( )( )0( , )( , ) ( )()( ),0,0( )|0, |0|( ) (0)()(0)xxxxxxx lx lx ltxxxxx ltvuwttvuwttv x tva vf x ttxltxl tvvvxxl对于边界条件来说，有左端：右端：所以，得到了满足的定解问题为边界条件已经齐次化( , )( )()( ) (2)w x ttxlt第76页/共97页2.2.3 非齐次边界条件的齐次化12122211210110222222( )()( )( , )( , )( , ) (3)( , )( , )( , ) ( )()( )()|0, |0|0,0,0()xx

55、ltv x tv x tv x tv x tv x tvvaf x ttxlttxvvxvvvaxl ttx）求解定解问题 边界条件已齐次化，方程为非齐次对于，可以令其中和分别满足20220|0,|0|( ) (0)()(0)xx ltvvxvxxl()()对于 ，可以使用固有函数法或者冲量定理法求之 非齐次方程，齐次边界条件()()对 ，则完全可以使用分离变量法求之 解略第77页/共97页 目前，数学物理方程中一般都仅给出了一维空间的波动方程或热传导方程的分离变量法的解，很少见到如何用分离变量法求解高维空间的边值或混合问题，本节讨论高维空间下求解偏微分方程的分离变量法的技巧。2.2.4 高维

56、定解问题的解法第78页/共97页2.2.4 高维定解问题的解法1, ,( , , ,0)( , , )(), 0,0,0,0 (1) (0, , , )( , , , )0 ( )txxyyzza b cu x y zx y zuk uuuxaybzc tuy z tu a y z t现在用一个长方体的热传导问题说明高维情况的分离变量法。例：求边长分别为的长方体中的温度分布，设长方体表面温度保持零度，初始温*布。*度分为 (2)( ,0, , )( , , , )0 (3)( , ,0, )( , , , )0 (4)( , , ,0)( , , ) u xz tu x b z tu x yt

57、u x y c tu x y zx y z222 (5)i( , , , )( , , ) ( )(1)( )( )0 () (6)0 xxyyzzu x y z tv x y z T tT tkT tvvvv解： )时空变量的分离。令代入得，这里已令比值等于- (7)第79页/共97页2.2.4 高维定解问题的解法222ii( , , )( ) ( , )(7)(2)( )( )()( )0()(8)( )(0)0,( )0 (9)( , )v x y zX x w y zX xXxX xXX aw y z)空间变量的分离。令，代入和得到关于的常微分方程及边界条件，即固有值问题这里已令第二个

58、比值等于同时，22220 (10)( , )( ) ( )(10)(3) (4)( )() ( )0()(11)()(0)0, ( )0 yyzzwwww y zY y Z zYyY yYY b遵守再令，并且代入和、 可以得到另外两个固有值问题这里已令第三个比值等于2 (12)( )( )0 (13)()(0)0,( )0 (14)ZzZ zZZ c第80页/共97页2.2.4 高维定解问题的解法22222222222222iii)( ) () (),( )sin,1,2,. (15),( )sin,1,2,. (16)nmnnZzCz nccmmYyBy mbbpa求解固有值问题。这三个固有

59、值问题、 、 的固有值和固有函数分别为2222222,( )sin,1,2,. (17)(15) (16) (17)( , , ) (18)ppmnppYxAx pav x y zpmnabcv2把、相加，即得到关于空间变量的固有值及相应的固有函数，为=(+)( , , )sinsinsin (19)mnpmnx y zCxyzabc第81页/共97页2.2.4 高维定解问题的解法22iv)( )(18)(6),( )( ) (20)v)( , , , )sinsinsin pmnpmnktpmnpmnktpmnpmnT tT tTtAepmnux y z tAxyzeabc求解关于的常微分方

60、程，为此，把代入得的通解叠加并且确定系数。2111111000 (21)( , , , )sinsinsin (22)(18)(5)( , , )( , , ,0)sinsinsin8( , , )pmnktpmnpmnpmnpmnabpmnpmnu x y z tAxyzeabcpmnx y zu x y zAxyzabcFourierAx y zabc 把代入，可得这是三重级数。系数为sinsinsin (23)(22) (23)cpmnxyzdxdydzabc最终解由、共同确定。第82页/共97页2.3 极坐标下的分离变量法22222222222(, )(, )()11cos ,sint