必修2第三章直线与方程知识点及经典例题

1、数学必修2第三章直线与方程练习知识点（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是O°W a V 180°性质：直线的倾斜角 a =90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当=时，斜率k=0;当0 ： 90时，斜率k 0，随着a的增大，斜率k也增大；当90： 180时，斜率k ：:0，随着a的增大，斜率k也增大.（2）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k =tan：。斜率反映直线

2、与轴的倾斜程度。当很三0 ,90 时，k_0；当很三（90 ,180 时，k : 0； 当-90 时，k不存在。 过两点的直线的斜率公式：k二* 一 yi （为=x2）X2 一 Xi注意下面四点：（1）当Xx2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°（2）k与P1、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：y -% k（x-xj直线斜率k,且过点 人畀注意：当直线的斜率为0°时，k=0,直线的方程是yryx当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方

3、程不能用点斜式表示.但因I上每一点的横坐标都等于 X1,所以它的方程是X=X1。斜截式：y =kx b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：(X1 - x2 , y1 - y2 )直线两点X1, y1 ,X2,y2y2 %X2 1截矩式：X丄=1a b其中直线I与X轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0,b）,即I与x轴、y轴的截距分别为a, b。一般式：Ax By0 ( a, B不全为 0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：y =b （b为常数）； 平行于y轴的直线：x = a （a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线Ag

4、xB°y（0=0（ Ac,B。是不全为0的常数）的直线系：AgXB°y C = 0 （C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线 A°x B°y （° =0 （ A0,B。是不全为0的常数）的直线系：B°x-A°y V = 0 （C为常数）（三）过定点的直线系（i）斜率为k的直线系：y-yo=kx-Xg，直线过定点 x。，y。；（ii） 过两条直线h : Ax B1y C0, I2 : A2X B2y C0的交点的直线系方程为AxB1yCA2XB2yC2=0（ 为参数），其中直线丨2不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当 l1

5、 : k1x b| , l2 ： y 二 k2x b2时，I J/12 二 k k2, bJ b2 ； h _ l2 = k1k -1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(7) 两条直线的交点11 : Ax B1y C1 =0 l2 : A2x B2y C2 = 0 相交交点坐标即方程组AiX +B*Ci =0的一组解。A2X +B2y +C2 =0方程组无解=l1 /l2 ;方程组有无数解二ll与l2重合(8) 两点间距离公式：设A(Xi,yi),(X2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，则 | AB | = 区-Xi)2 (y2 -yi)2(9) 点到直线距离公式：

6、一点P X0,y0至煩线l1 : Ax By 0的距离d = AXo_Byo_CJa2 +B2(10) 两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。填空或选择可以用：11 : Ax亠By = 0 12: Ax亠By亠C2 = 0经典例题【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角(2)已知三点 A(a, 2), B(3, 7), C(-2 , -9a)在一条直线上，求实数a的值.121解：(1)直线AB的斜率匕二丄2丄>0,所以它的倾斜角4371 一11一一 <

7、0,所以它的倾斜角0 42一 1 _2k31 >0,0-3k _ 7 _(_9a)kBC 3-(-2)直线BC的斜率k2直线CA的斜率所以它的倾斜角7 9a5a是锐角；a是钝角；a是锐角. A、B、C三点在一条直线上，5kAB =kBC ,即 -3a解得a =2或a .97 9a= ?5l的斜率k的取值范围.【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0),过点P (-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线 解：如图所示，直线PA的斜率是=2 凹 5,1-( -2)直线PB的斜率是k2 -0-23 -(-1)当直线l由PA变化到y轴平行位置PC它的倾斜角由锐角:-(ta

8、n=5)增至90°斜率的变化范围是5,七);当直线I由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90增至一：(tan 一：=-丄)，斜率的变化范围是 (-：,.2 2 所以斜率的变化范围是(-“ -1 U5,；).【例3】(1 )已知直线li经过点M (-3,0), N (-15,(2)li的倾斜角为45 ° 12经过点k = 0 -(-6)1Kmn =,_(_15)2kRSP (-2 , -1),53_ 2 2 =10 (2) 2-6), I2 经过点 R (-2 , 3 ) , S( 0 ,2Q ( 3 , -6)，问I1与I2是否垂直？二 Ill2 -)，试判断I1与I2是否平

9、行?2(-(-1)1I ?3 【例4】已知直线I经过点P(_5, _4),且I与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线解：由已知得I与两坐标轴不垂直.直线I经过点P(_5,_4),二 可设直线I的方程为y _(_4) =kx _(_5),即y4=k(x5).4-5 ,在y轴上的截距为5k 4.(2)ki =ta n45 =1， k2kk2 一 -1 , I1 丄 I2 I的方程.则直线I在x轴上的截距为5k 4 =5，即(5k 4)2 =10|k |.1根据题意得12当k 0时，原方程可化为(5k -4)2 =10k ,解得k-,k8 ;55当k ：0时，原方程可化为(5k 4)2二-10k

10、,此方程无实数解.28故直线I的方程为y 4 (x 5),或y 4 (x 5).55即 2x5y10 =0或 8x5y 亠20 =0 .【例5】经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程解：当截距为0时，设y =kx ,过点A(1,2),则得k =2 ,即y =2x ； 当截距不为0时，设=1,或-+-=1,过点A(1,2),a a a -a '则得 a =3 ,或 a - -1 ,即 x，y3=0,或 xy，1=0这样的直线有3条：y =2x , xy-3=0 ,或x-y *1=0【例6】写出过两点A(5,0) , B(0,-3)的直线方

11、程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程.解：两点式方程:y -(-3)0-(-3).;x -05-0点斜式方程：y -( -3)(x 0),即 y '(-3)(x 0).505斜截式方程：0( -3)Q 刖3cyx3,即 yx3.505截距式方程：x y =1 ；5-3一般式方程：3x 5y -15 =0 .3【例7】已知直线I的方程为3x+4y 12=0,求与直线I平行且过点（1 , 3）的直线的方程.3解：直线l:3x+4y12=0的斜率为4，/所求直线与已知直线平行，所求直线的斜率为,4又由于所求直线过点（一1, 3）,所以，所求直线的方程为：y_3 = x+l），即3x

12、 + 4y_9 = 0 .4【例8】已知a为实数，两直线l1: ax y 0, l2: x，y-a = 0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限5#及x轴上.解:解方程组ax y 仁°,x y -a =0,得交点（a21a -1).a21a -1>0,则 a > 1.当 a > 1 时,a 1-V 0,此时交点在第二象限内.又因为a为任意实数时，都有a2 - 1 _ 1>0,a -1a21a -1工0因为a工1 （否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x轴上-【例9】若直线I: y= kx_.3与直线2x+ 3y 6 = 0的交点位于第一象限，求直线I的

13、斜率的取值范围解：如图，直线 2x+3y 6=0 过点 A （3, 0）, B （0, 2）,直线 I： y = kxj 必过点（0, J3 ）. 当直线I过A点时，两直线的交点在 x轴；当直线I绕C点逆时针（由位置 AC到位置BC）旋转时, 交点在第一象限.根据kAc 303，得到直线I的斜率.0333倾斜角范围为 '逅，讼.I3 丿【例10】直线2x y 4=0上有一点P,求它与两定点 A（4, 1）, B（3, 4）的距离之差的最大值. 解：找A关于I的对称点A', AB与直线I的交点即为所求的 P点.设A'（a,b），则a -4b -14 =0，解得鳥所以线段 |A'B|二.(4-1)2 (3-0)2 =3. 2.#【例11】已知点A -2,3至煩线y =ax 1的距离为 2，求a的值;解:=ax 1,. ax - y 1 = 0, d2a-3 + 1| _ |2a_+2-a2 1-a2 1，二 2a + 2 =2a2 +2,#22a4a 8a 4 =2a 2, . 2a2 8a 2 =