上海市虹口区2019届高三二模数学试题

1、上海市虹口区2019届高三二模数学试题作者:日期：上海市虹口区2019届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1 .设全集U=若8=”|x引1,则C/=【答案】【解析】【分析】先化简集合A,再利用补集定义直接求解.【详解】.全集U=R,集合A=x|x-3|1=x|x4或xv2）,?uA=x|2NW4=2,4故答案为：2,4【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2 .若复数志=iQi）（为虚数单位），则的共轲复数,二【答案】.【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轲复数的概念

2、得答案.【详解】由z=i（2-i）=1+2i,得，=1-.故答案为：1-2i.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轲复数的基本概念，是基础题.1.江3.已知ssS=5，日在第四象限，则8S（0+9）=【解析】【分析】n利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得8式+日）的值.1,丁22【详解】cos0=且。是第四象限角，则sin忏-2-85%=-受,又+9-sin2位故答案为.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符11号，属于基础题.2019开4.行列式57T9cosOTT的元素叮的代数余子式的值等于COS-3【答案】7【解析】【

3、分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解.201949【详解】行列式yr-匚。5n,_.,八、业j,.疔汗的兀素兀的代数余子式的值为:r55m-COS23(-1)2+1/7r=-(4cos-9sin)=(29)=7.Sincosq7/23匕故答案为：7.【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为【答案】.16【解析】【分析】设A=周六、周日都有同学参加公益活动，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得.【详解

4、】设A=周六、周日都有同学参加公益活动,基本事件的总数为25=32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，故A包含32-2=30个基本事件，3015p(A)二-p-321615故填：诟【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题.Ky26.已知匕、是椭圆。;彳十而二1的两个焦点，点P为椭圆。上的点，修七1二8,若为线段储的中点，则线段OM的长为【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可.22【详解】Fi、F2是椭圆。一十二二1的两个焦点，可得Fi(-3,0),F2(3,0)3627点P为椭圆C上的点，|PFi|=8

5、,则|PF2|=4,M为线段PFi的中点，则线段OM的长为：1PF2|=2.故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查.7.若函数人为二间二一创一4(&ER)有3个零点，则实数白的取值范围是【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可.【详解】函数f(x)=x|x-a|-4有三个不同的零点，就是x|x-a|=4有三个不同的根；2当a0时，函数y=x|x-a产产一年“弓口与y=4的图象如图：ox-x,x0必须卜1口二4,解得a4；I24,2.当awo时，函数y=x|x-a|=心了曰与y=4的图象如图:才一x,x211r4故棱锥

6、的体积VSh=QX2X2=3，J1%?口4故答案为-.-1【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键.10.在平面直角坐标系工。了中，边长为1的正六边形MKBEF的中心为坐标原点J如图所示，双曲线是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点、R、口、E,则双曲线1的方程为【答案】2-乖乖2T【解析】【分析】求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a,b即可得到双曲线方程.【详解】由题意可得c=1,边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O,如图所示,双曲线r是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E,可得B

7、(-：，*)，代入双曲线方程可得：白一白二1,a2+b2=1,解得a2=V坦，b2屋，/24a4b2222所求双曲线的方程为：2-书.2T22故答案为：2-书书.22【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查.11 .若函数f(x)=汽万_1孑_；_2)0，则八2019)的值为【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f(0)与f(-1)的值，据此依次求出f(1)、f(2)、f(3)的值，分析可得f(x)=f(x+6),(x0),据此可得f(2019)=f(3+336X6)=f(3),即可得答案.【详解】根据题意，函数当xwo时，f(x)=2x,则f

8、(0)=20=1,f(-1)=21=2,当x0时，f(x)=f(x1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1),+彳导f(x+1)=-f(x-2),f(x+4)=-f(x+1)=f(x2),即f(x+6)=f(x),x0,又f(2019)=f(3+336X6)=f(3)而f(1)=f(0)-f(-1)=1-2=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1-1=-2,f(3)=f(2)-f(1)=-2-(-1)=-1,f(2019)=f(3+336X6)=f(3)=-1;故答案为：-1.【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题.147712 .过点产卬一刁作

9、圆二加)+m+1)=1(m6R)的切线，切点分别为八、R,则前-曲的最小值为【答案】272-3【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值.44【详解】圆C：（x-：m）2+（y-m+1）2=1的圆心坐标为（-m,m-1）,半径为1,PA=PB=dPC*T,cos/APC=瓦，.cos/APB=2(无)2-1=1-记I,鼠?成二(PC2-1)X(1-焉)=-3+PC2+焉2-3+2：*，嬴-3+2松,尸1LJrLajjC当且仅当PC二电2主元时取等号，而，藁的最小值为皿-3.故答案为：22-3.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本

10、不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13 .已知叫口是两个不同平面，山为江内的一条直线，则你是住邛”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m/3不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】“、3表示两个不同的平面，直线m?”，m/3,不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，.不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m/就，满足

11、必要性,m/3是“23的必要不充分条件故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题.1L14.钝角三角形的面积是Z,=阮=也则人。等于（）A.1B.2C.D.5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B,再由余弦定理求得AC的值.【详解】由题意，钝角评BC的面积是11K近1S=5?AB?BC?sinB=5乂1xxsinB=sinBsinB,2if，b=2或-（不合题意，舍去）；44在cosB,212由余弦定理得：AC2=AB2+CB2-2AB?CB?cosB=1+2-2X1x也x（崂）

12、=5,解得AC的值为故选：C.【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题.（x2y+10表示的平面区域，且与圆5/+/3=16相交于、R两点，则当ABty-20最小时，直线i的方程为（）A.12-B.1+!：C.D.3工十入一i.：:【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0,0）的距离最大.由此可得结论.【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P,则APXOP,所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x-2y+1=0与

13、y-2=0的交点（3,2）时，|OP局长，因为23kop=4,则直线l的方程为：y2=-（x4）,即五十13=0.故选：D.【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0,0）的距离最大.16.已知等比数列的首项为2,公比为-g,其前,四项和记为若对任意的HEN*,均有月工3况厂2式村恒成立，则日一八的最小值为（7 A.B.U C.13D. 15【答案】B【解析】【分析】Sn=1-1?（.-,n为奇数时，Sn=!+?.,根据单调性可得：Sn-, . -SnSi=2;乙 QJLfiMn为奇数时，Sn = /+?）3,可知：Sn单调递

14、减，且-+3313313I3n为偶数时，Sn-?J11,可知：Sn单调递增，且?ny,-S2Sn0，白羊1）.（1）若函数fM的反函数是其本身，求。的值;(2)当*=：时，求函数y=f(x+八一牙)的最小值.【答案】(1)1=3；(2)-3【解析】【分析】(1)由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式.(2)得到解析式后根据基本不等式求最小值.【详解】(1)由题意知函数f(x)的反函数是其本身，所以f(x)的反函数ay=9-3x,x=l0%(9-qL),反函数为y=h的内-吟=/(幻=.沁g式9-：3,),所以a=3.(2)当”:时，f(x)J,-岩f飞(9-广勺，9r则y=f(x)+

15、f(-x)=-(+9-3)工-3,故最小值为-3.【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题.18 .如图，在多面体88。力/1。1中，公、R%、A均垂直于平面ABC44=4,(,匚1=312。.(1)求百出与平面4/G所成角的大小；(2)求二面角力-%-g的大小.【答案】(1) arcsm；(2) arccns【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系.(1)由已知分别求出用向的坐标与平面A1B1C1的一个法向量，则线面角可求;(2)求出平面AA1B1的一个法向量，结合(1),由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-A1B1-C1的大小.【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系,.A

16、A1=4,CC1=3,BB1=AB=AC=2,/BAC=120,A(0,0,0)，Ai(0,0,4),Bi横,-1,2),Ci(0,2,3)(1)ZlRrW*L=-1,2),2,L),设平面AiBiCi的一个法向量为m=(与y、刃,m-A.=h/3x-y-2z=0-JL，取y=i,得加=m/l1C1=2y-z=0ABi与AiBiCi所成角的最小值，ABi与AiBiCi所成角的大小为arcsm-(2)设平面AAiBi的一个法向量为=(与，勺)，取 xi =1，得也=(1,取,0) 面角A-AiBi-Ci的大小为arccos-.【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题.19

17、 .如图，一块长方形区域*BCDABlAD=2在边/八的中点。处有一个可转动的探照灯，其照射角上EOF始终为:设“=探照灯照射在长方形总内部区域的面积为S.(i)求*关于b的函数关系式;i3立，(2)当工我工彳时,求的最大值.17Ttana + tan- a),1 11rt;+)*2 tana3rrtan(- a)7T0 工 a C4n7r42(2) 2-亚n. 1 3nB1 _- =) t07l(= 一 Ct)；,n 3k2-a-T【解析】【分析】(1)根据条件讨论 a的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可.(2)利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可.JT【

18、详解】(1) BEO,彳),则 OA= 1,即 AE = tan a71H HOF =-民,4ffHF =tan (彳 - a),1tana则AAOE, AHOF得面积分别为-x 1 x tanJT则阴影部分的面积 S= 1_tana _tOn(V , 2 -27T 7T当C J,)时，E在BH上，F在线段CH上，如图,1 1 11 = =+71EH二就，FH g喘.3dEF 口口1 +则S=”f m4)，产 7T 5 = %十金)即“%，2 gmmdL,)；4同理当 a G -, ? 5 = 1- -tan(a -2317T-taw + tanC-.1 1(12 ta7iatan.(3n-)

19、.7T0 M t 七 47F n ffR 1 3h1 - 一- ff),3nTT(2)当 0 E 4 _ 时，S= 1 tana4-2?r ct) 12、v4 2- (1+tan a+)=21 + tana0wtan a 苧即 1 w 1+tan a 2 (1 + tana)1 + tana %-=2盘,1 + tana当且仅当1+tan a=,即1+tan a= 4I时取等号,1 + tana17即5 = 2 -(1 + tuna + )卫2 - yZ,即S的最大值为2-位21+ tanaDO 图 AD0 图 A【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以

20、及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题.20 .设广为抛物线匚：/二41的焦点，过点产的直线I与抛物线C相交于八、B两点.(1)若WF=2曲,求此时直线的方程；(2)若与直线1垂直的直线I1过点F,且与抛物线。相交于点叭N,设线段孙的中点分别为P、Q,如图，求证：直线PQ过定点；【答案】(1)=士酒f;(2)0);(3)/=202)【解析】【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用4T=2病得直线1方程.122(2由(1)得点PizmZ+L2m),又直线与直线,垂直，将m换为-一，同理可得Q(二十1，-).由此

21、thnj.m可求直线PQ的方程，可得结论；(3)利用$rrF的面积是的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程.【详解】(1)抛物线焦点坐标为F(1,0),设直线t方程为x=my+1,设点A(x1，y1)，B(X2,y2),联立x my +y2 = 4#,得：y2- 4my- 4=0,则由韦达定理有：y+y2=4m,，yy2=-4,-1-X1=2（X21）,一y1=2y2,由可得m2 =m= -=,8， 网2.直线方程为x= 土 j=y+1,即 y = %也丈-1)(2)由(1)得点P(2m2 + L 2m),又直线乙与直线垂直，将m换为-，,22同理可得Q

22、(+ 1 ,- 一).mm+ 2mmmm于1时，直线PQ的斜率kpQ =丁=一2/一;加 Tm2m直线PQ的方程为：y-2m = (x- 1 -2m2),整理为 m (x-3)(m2-1) y=0,于是直线 PQ恒过定点 E (3, 0),m= 土时，直线PQ的方程为：x=3,也经过点E (3, 0)综上所述：直线 PQ恒过定点E (3, 0).(3)设 S (x1, y1) , T (x2, y2),F (1, 0),准线为 x= - 1, 5&%T/ = 乂 2|%71|=卜1 丫2|,设直线TS与x轴交点为N,1Satsf一 .|FN |y1 - 丫2|,心51 7/的面积是 BSF的面

23、积的两倍,1 1型=2, . |FN|=1,N(2,0).设TS中点为(y1=4#122M(x,y),由得Vi_巧=4(xx2),f/2一tx2x-2，=?即y2=2x-4-，TS中点轨迹方程为y2=2x-4.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题.21.设各项均为正数的数列品的前项和为又，且口1=1,成二又+又.1SE/V,之2),数列勾满足n(n+1)3=2士(EEN).(1)求数列6)、g小的通项公式；1 1(2)设二二一,是的前订项和，求正整数m,使得对任意的hen*,2 nun11均有

24、丁拨左丁曲；(3)设甘=工快=也也+加也+一+%,且#0,其中-4一,=E-1口(日e旷，n2),求集合中所有元素的和.【答案】(1)%=凡，与(2)m=4；(3)见解析.【解析】【分析】(1)a1=1,an=Sn+Sn1(nCN,n?,%，=Sn+1+Sn,相减可得：%i工-播=an+l+an,化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得an.数列bn满足比.玩与=2、(nCN*).n2时，”b2?bn-1=工叱/，相除可得bn._1111_111(2)品齐一逅二二7一所亍=9一丁E，利用求和公式与裂项求和方法可得：111Tn=一作差Tn+1-Tn,利用其单调性即可得出士*(3)x=k1b1+

25、k2b2+-+knbn,且x0,其中k1，k2,，kn-1,1(nCN*,n2,要使x0,则必须kn=1,其它k1,k2,，kn1e-1,1(nCN*,n2),可任取1,-1.通过放缩及其求和公式即可证明.另外kn=1.此时：x2-22-2n1+2n0.其它k1，k2,，kn1e-1,1(nCN*,n),可任取1,-1.此时集合内的元素x共有2n一1个互不相同的正数，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n一1个.利用反证法证明这2n一1个式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和.【详解】(1)a1=1,an2=Sn+Sn1(nCN*,n0,an+l=Sn+1+Sn,相减可得：3-吊=an+1+an,化为：(an+1+an)(an+1an1)=0,an+i+an0an+ian=1,又域=S2+S,可得W-a2-2=0,a20,解得：a2=2,a2a1=1).数列an设等差数列，3n=1+n-1=n.数列bn满足的血=2(neNjnfTi-1)n2时，bb2?bn1_q-z,1(2) cn2并%.111111,-()%,%2fl0(n+1)2n几几+1，1+2n1 1IT)n n 4- 1722口111Tn(1_一川+1n1,12231 2_1(11i1_