三角函数难题训练

1、AB=6m , / ABC=45 ,后考虑到安全1、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使/ADC=30（如图所示）.（1）求调整后楼梯AD的长;（2）求BD的长.（结果保留根号）2、如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线 PQ上点E 处测得/ AEP=74 , / BEQ=30 ;在点 F 处测得/ AFP=60 , / BFQ=60 , EF=1km. （1）求证AB =AE ; （2）两个岛屿A和B之间的距离为多少km （结果精 确到 0.1km）（参考数据：根号 3=1.73, cos74 =0.28

2、, tan74 =3.49, sin76 =0.97, cos76 =0.24）3、一副三角板按图1所示的位置摆放.将4 两个三角形重叠（阴影）部分的面积为多少？DEF点A （F）逆时针旋转60后（图2）,测得CG=10cm,则卜列结论:）A、1个B、2个C、3个D、4个4、如图，ABC和4CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点,tan/AEC=第；S4ABC+SCDE$ACE;BM，DM;BM=DM,正确结论的个数是5、如图，AB计，/ACB=90,ACBC,分别以ABCW边AB、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,连接EF、GM、N

3、D,设AEF、BNQCGM的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确的是（）A、S1=S2=S3B、S1=S2VS3C、S1=S3VS2D、S2=S3VS16、在矩形ABCD中，有一个菱形SBFDE,现给出下列命题BFDE （点E, F分别在线段AB, CD上），记它们的面积分别为,贝U tanZEDF=T若 DE的平方=BD ?EF,贝U DF=2AD .贝U (SABCD 和)A、是真命题，是真命题 C、是假命题，是真命题B、是真命题，是假命题D、是假命题，是假命题则AD的长是多7、如图，在等腰直角三角形ABC中，/C=90,AC=6,D是AC上一点，若tan/DBA=8、在锐角ABC中

4、，/BAC=60,BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF,则结论：DF=EF;AD:AB=AE:AC;4DEF是等边三角形；BE+CD=BC;当/ABC=45时，BE=”DE中，一定正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个9、如图，两个高度相等且底面直径之比为 体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点1: 2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯.若把甲杯中的液P的距离是（）10、如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D.飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60。和30。.飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30,

5、而山头D恰好在飞机的正下方.求山头C、D之间的距离.11、如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=3,DC=5,AB=4倍根号2,/B=45动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.(1)求BC的长；(2)当MN/AB时，求t的值；(3)试探究：t为何值时，MN等腰三角形.12、如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,/C=90,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点

6、B运动，点P,Q分别从点D,C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).(1)设BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；(2)当t为何值时，以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；(3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO=OB时，求/BQPW正切值；(4)是否存在时刻t,使得PQBD?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.13、水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD,如图所示，已知迎水面AB的长为10米，/B=60,背水面DC的长度为10倍根号3米，加固后大坝的横断面为梯形ABED.若CE的长为5米.（1）

7、已知需加固的大坝长为100米，则需要填方多少立方米；（2）新大坝背水面DE的坡度为多少？（计算结果保留根号）14、如图15,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C,景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位于景点A的北偏，东30。方向上，景点D位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上,已知AB=5km,AD=8km.(1) 景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(结果精确到0.1km)(2) 求景点C与景点D之间的距离(结果精确到1km)(参考数据：73=1.73,45=2.24,sin53=cos37=0.80

8、,sin37=cos53=0.60,tan53=1.33,tan37=0.75,sin38=cos52=0.62,sin52=cos38=0.79,tan38=0.78,tan52=1.28,sin75=0.79,cos75=0.26,tan75=3.73)15某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A,B相距3米,探测线与地面的夹角分别是30。和60。（如图），试确定生命所在点C的深度.（结果精确到0.1米，参考数据:72=1.41,731,73）16、（1）如图16-1,16-2,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度

9、数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律。图16-1（2）根据你探索到的规律，试比较18。，35。，50。，62。，88。，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小（1） 比较大小，（在空格处填写“V”“或=）若a=45,贝Usinacosa右a45,则sincosa（2） 利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小。sin10、cos30、sin50、cos701、解：（1）已知AB=6m,ZABC=45.AC=BC=AB?sin45=6x=3,已知/ADC=30.AD=2AC=6答：调整后楼梯AD的长为6m；（2）CD=AD?cos30=6x=3,BD=CD-BC=3

10、-3答：BD的长为3-3（m）.解：（1）相等（1分）因为/BEQ=30,ZBFQ=60,所以/EBF=30,所况F=BF（2分）又因为/AFP=60,所以/BFA=60.在AEFAABF中，EF=BF,ZAFE=ZAFB,AF=AF,所以AEFAABF,所以AB=AE（5分）（2）方法一：作AHPQ,垂足为H,设AE=x贝UAH=xsin74,HE=xcos74HF=xcos74+17分）AHF中，AH=HF?tan60.所以xsin74=（xcos74+1）?tan60即0.96x=（0.28X+1）X1.73所以3.6,艮叫B=3.6km答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km.（10

11、分）方法二：设AF与BE的交点为G,在RtEGF中，因为EF=1,所以EG=（7分）在RtAEG中，ZAEG=76,AE=EG-cos76=-0.243.6答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km.（10分）3:过G点作GFUAC于H,如图，ZGAC=60,ZGCA=45,GC=10cm,在RtGCH中，GH=CH=GC=5cm,在RtAGH中,AH=GH=cm,AC=（5+）cm,两个三角形重叠（阴影）部分的面积=?GH?AC=x5x6+）=25+83QbD4、解：.ABC和CDE均为等腰直角三角形,.AB=BC,CD=DE,/BAC=/BCA=/DCE=/DEC=45,/ACE=90;A

12、BCACDE=tan/AEC=,.tanZAEC=;故本选项正确；111$ABC=2a2,SACDE=2b2,S梯形ABDE=2(a+b)2, SAACE=S梯形ABDE-SABC-SACDE=ab,ABC+SACDE=1(a2+b2)2ab(a=b时取等号)，SAABC+SAODESSAACE;故本选项正确；过点M作MN垂直于BD,垂足为N. 点M是AE的中点，则MN为梯形中位线， .N为中点， .BMD为等腰三角形，.BM=DM;故本选项正确；又MN=(AB+ED)=3(BC+CD), ./BMD=90,即BMDM;故本选项正确.故选D.5、解：设三角形的三边长分别为a、b、c, ,分别以

13、ABC的边AB、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG, .AE=AB,/ARE=/ACB,/EAR=/CAB,AERAACB,ER=BC=a,FA=b,1S1=-ab,3b12S3=同理可得HD=AR=AC,S1=S2=S3=.故选A.6、解：设CF=x,DF=y,BC=h,则由已知菱形BFDE,BF=DF=y由已知得：,二.s追得:=丁，即cos/BFC=丁，./BFC=30,由已知./EDF=30VI.1.tan/EDFW,所以是真命题.已知菱形BFDE,DF=DE由已知DEF的面积为：DF?AD,也可表示为：BD?EF,又DE2=BD?EF,.DEF的面积可表示

14、为：DE的平方即：DF的平方，DF?AD=DF2,DF=2AD,所以是真命题.故选：A.7、解：作DEXAB于E点.tanZDBA=.BE=5DE,.ABC为等腰直角三角形，/A=45,.AE=DE.BE=5AE,又AC=6,.AB=6的.AE+BE=5AE+AE=6,.AE=1,，在等腰直角ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2.8、解：:BD、CE为高，.BDC=/CEB=90,又:F为BC的中点，DF=BC,EF=BC,.DF=EF;5=/A,/ADB=/AEC,/.AADBAAEC,.AD:AB=AE:AC;/BAC=60,ABC+ZACB=120,DF=CF,EF=BF,，BEF+Z

15、CDF=120,/BFE+/CFD=120,DFE=60,又;DF=EF,.DEF是等边三角形；BE+CD=BC%in/BCE+BC?sin/CBD=BC?(sin/BCE+sin/CBD)=BCWsin/BCE+sin(60-/BCE),不一定等于BC;./ABC=45,BE=口BC=V2DE.正确的共4个.关故选C.Bft卜16cm甲巳/P乙9、甲液体的体积等于液体在乙中的体积.设乙杯中水深为x,贝U兀X12X16=兀X48Xx,解得x=4.在直角ABP中，已知AP=43,AB=83,.BP=12.根据三角形的面积公式可知直角ABP斜边上的高是6,所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16-6

16、-4=6.故选B.10、解：飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为二二二二二林8x/3rm60和30,到B处时，往后测得山头C的俯角为30。，./BAC=60,/ABC=30,/BAD=30,./ACB=180-ZABC-ZBAC=180-30-60=90,SPAAB=6千米，.BC=AB?cos30=6X32=3宇米.RtABD中，BD=AB?tan30=6X33=23,作CEBD于E点，ABBD,/ABC=30,./CBE=60,贝UBE=BC?cos60=323,DE=BD-BE=32,CE=BC?sin60=CD=DE2+CE2=(32)2+(92)2=21千米.，山头C

17、、D之间的距离根号21千米.AB的直角三角形,=92,11、解：（1）如图，过A、D分别作AK，BC于K,DH，BC于H,则四边形ADHK是矩形.KH=AD=3.在RtAABK中，AK=AB?sin45=42?22=4BK=AB?cos45=42?22=4.在RtACDH中，由勾股定理得，HC=52-42=3.BC=BK+KH+HC=4+3+3=10(2)如图，过D作DG/AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形.1.MN/AB,2 .MN/DG.BG=AD=3.GC=10-3=7.由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t,CM=10-2t.DG/MN,./NMC=/DGC.又/C=/C

18、,.MNCAGDC.CNCD=CMCG,即t5=10-2t7.解得，t=5017.(3)分三种情况讨论：当NC=MC时，如图，即t=10-2t,t=103.当MN=NC时，如图，过N作NEXMC于E.解法一：由等腰三角形三线合-性质得EC=12MC=12(10-2t)=5-t.在RtCEN中，cosc=ECNC=5-tt,又在RtADHC中，cosc=CHCD=35,5-tt=35.解得t=258.解法二：3 ./C=/C,/DHC=/NEC=90,.NECADHC.NCDC=ECHC,即t5=5-t3.4 .t=258.当MN=MC时，如图，过M作MFCN于F点.FC=12NC=12t.解法

19、一：(方法同中解法一)cosC=FCMC=12t10-2t=35,解得t=6017.解法二：5 .ZC=ZC,/MFC=/DHC=90,.MFCADHC.FCHC=MCDC,即12t3=10-2t5,t=6017.综上所述，当t=10分数线3、t=258或t=6017时，MNC为等腰三角形.12、解(1)如图，过点P作PMXBC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形.，PM=DC=12.,.QB=16-t,6 .S=12X12X(16-t)=96-6t(0Wtv16);(2)由图可知：CM=PD=2t,CQ=t.以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若PQ=BQ.在RtAPM

20、Q中，PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得t=72;若BP=BQ.在RtPMB中，BP2=(16-2t)2+122.由BP2=BQ2得：(16-2t)2+122=(16-t)2即3t2-32t+144=0.由于=-7040,3t2-32t+144=0无解，PBWBQ.若PB=PQ.由PB2=PQ2,得t2+122=(16-2t)2+122整理，得3t2-64t+256=0.解得t1=163,t2=16(不合题意，舍去)综合上面的讨论可知：当t=72秒或t=163秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.(3)如图，由4OAPsOBQ,得APBQ=A

21、OOB=12.7 .AP=2t-21,BQ=16-t,2(2t-21)=16-t.8 .t=585.过点Q作QEXAD,垂足为E.PD=2t,ED=QC=t,.PE=t.在RtPEQ中，tanZQPE=QEPE=12t=3029.又AD/BC,./BQP=ZQPE,9 .tan/BQP=3029;(4)设存在时刻t,使得PQXBD.如图，过点Q作QEAD于E,垂足为E.由RtABDCRtAQPE,得DCBC=PEEQ,即1216=t12.解得t=9.所以，当t=9秒时，PQXBD13、解：(1)分别过A、D作AFBC,DGBC,垂点分别为F、G,如图所示在RtAABF中，AB=10米，/B=60.所以sin/B=AFAB,.AF=10X3253,DG=5根号3;所以SADCE=12XCEXDG=12X5X53=252根号3,需要填方100X2523=1250根号3(立方米)；(2)在直角三角形DGC中，DC=103,所以GC=DC2-DG2=(103)2-(53)2=15,所以GE=GC+CE=20,所以坡度i=DGGE=5320=34;答：(1)需要土石方1250根3立方米.(2)背水坡坡度为4分之根3.14、解：(1)如图1,过点