自动控制原理第三章-2-时间常数-系统动态

1、自动控制理论自动控制理论12第三章要点 绪论 稳态响应 暂态响应 时间常数定义 例：二阶系统 系统的暂态（动态） 时间响应性能指标 状态方程的解时间常数定义4 暂态项具有指数形式暂态项具有指数形式Aemt，当，当 m=-a(a0) 为负实数时，为负实数时，Ae-at 具有如具有如图图3.3 所示的曲线形式（假定所示的曲线形式（假定A=1）ImRes平面平面m=-a图图3.3 指数项指数项 e at 的图形及极点的图形及极点在在 S 平面中的位置平面中的位置 时间常数时间常数 T：使：使e的指数部分的指数部分等于等于1的时间值。因此有，的时间值。因此有，11 aTTa 及时间常数定义时间常数定义

2、t1.0ate0T2T0.3685t1.0ate0T2T0.368 在一个在一个时间常数时间常数所对应的时间区间内，指数函数所对应的时间区间内，指数函数 e-at 的值将从的值将从 1 下降至下降至 0.368 从几何上看，从几何上看，Ae-at曲线在曲线在 t=0 处的切线与时间轴的相交点的值等于处的切线与时间轴的相交点的值等于时间常数时间常数 T00.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.50.60.70.80.91time1e t= w例：例：1, 1aAT 的图解测定的图解测定时间常数定义时间常数定义6时间常数定义时间常数定义 当当 m= +j d 时，系统

3、暂态响应函数为时，系统暂态响应函数为 Ae tsin( dt+ )。对于阻尼。对于阻尼正弦情况，时间常数通过表征包络线正弦情况，时间常数通过表征包络线 Ae t 的参数的参数 来定义。时间常来定义。时间常数数 T 等于等于 tAetAe（欠阻尼欠阻尼）（过阻尼过阻尼）)sin(tAedt21,1nndkkjjm nT11 7第三章要点 绪论 稳态响应 暂态响应 时间常数定义 例：二阶系统 系统的暂态（动态） 时间响应性能指标 状态方程的解例：二阶系统 -9例：二阶系统响应例：二阶系统响应图图 2.11参考点参考点MxbKB(a) 简单的质量简单的质量-弹簧弹簧-阻尼机械系统阻尼机械系统xaf(

4、t) 例例 1： 系统结构如图系统结构如图 2.11 所示。假设系统起初处于静止状态，然后所示。假设系统起初处于静止状态，然后在在t=0时时 xa 移动移动 1 个单位。分析个单位。分析 xb(t) 的运动。的运动。 根据建模部分的知识，我们可以列写位移根据建模部分的知识，我们可以列写位移 xb 和和 xa 之间的关系方程之间的关系方程abbbKxKxBDxxMD2t, D2xb=Dxb=0 1)(assbxtx?v 关键点在于求解关键点在于求解暂暂态解态解.tbssbbtxtxtx)()()(求解求解 例：例：系统结构如图系统结构如图 2.11 所示所示 - 经典方法经典方法 系统系统特征方

5、程特征方程为：为：0)(22MKmMBmMKBmMm0222nnmm122, 1nnm(1) 对于对于 1, 系统具有实根系统具有实根bmam21 and (2) 对于对于 =1, 系统具有相等实根系统具有相等实根nnmm21)1sin()(2tAetxnttbntttbnnteAeAtx21)(btattbeAeAtx21)(3) 对于对于 0 1, 系统具有共轭复根系统具有共轭复根 , 并且并且系统暂态具有阻尼正弦函数形式系统暂态具有阻尼正弦函数形式例：二阶系统响应例：二阶系统响应1021,21nnmj sin()tdAet11 全解是稳态解与暂态解之和：全解是稳态解与暂态解之和：tbss

6、bbtxtxtx)()()(从初始条件获得从初始条件获得 对于欠阻尼情况，对于欠阻尼情况，0 1，系统关于单位阶跃输入的全解为，系统关于单位阶跃输入的全解为)1sin(1)(2tAetxntbn)1cos(1 )1sin()(222tAetAetDxntnntnbnncos1sin0 sin102AAAnn0)0( ,0)0(bbDxx常数吗？常数吗？例：二阶系统响应例：二阶系统响应 例：例：系统结构如图系统结构如图 2.11 所示所示 - 经典方法经典方法12cos1sin0 sin102AAAnn cos1tan and 111212A单位是弧度单位是弧度 对于欠阻尼情况，对于欠阻尼情况，

7、 0 0 时流过电感时流过电感的电流的电流 i2(t)。（此例中，我们将进一步分析初始条件）。（此例中，我们将进一步分析初始条件）-经典方法经典方法例：二阶系统响应例：二阶系统响应16 例例 2：电路系统如图：电路系统如图 3.5 所示，所示，t=0 时开关闭合，请分析时开关闭合，请分析 t0 时流过电感时流过电感的电流的电流 i2(t)。（此例中，我们将进一步分析初始条件）。（此例中，我们将进一步分析初始条件）-经典方法经典方法 列写列写 i2(t) 关于输入的微分方程关于输入的微分方程0)(2ssti0)200402(22iDDtsstititi)()()(222解解 tttteAeAti

8、ti10210122)()(A1=? A2=? 10010020212mmmm 系统系统特征方程特征方程为：为： 由于能量无法突变，于是有由于能量无法突变，于是有22(0 )0, (0 )5iDi A1=0, A2=-5 tteti1025)(例：二阶系统响应例：二阶系统响应17第三章要点 绪论 稳态响应 暂态响应 时间常数定义 例：二阶系统 系统的暂态（动态） 时间响应性能指标 状态方程的解 一阶系统暂态 二阶系统暂态 更高阶系统系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）19一阶系统动态一阶系统动态w如前所示，系统传递函数的极点决定了系统时间响应函数的特点如前所示，系统传递函数的极点决定了系统时间

9、响应函数的特点( )( )1( ),ptAG sg tAetpsp为实数w对于没有零点的一阶系统，系统具有一个极点，且有（输入为单对于没有零点的一阶系统，系统具有一个极点，且有（输入为单 位阶跃信号）位阶跃信号）wp0 表示系统极点位于表示系统极点位于 S 平面平面的右半平面，指数项增加，系统的右半平面，指数项增加，系统是是不稳定的不稳定的wp=0，则系统响应关于时间为常数，系统是，则系统响应关于时间为常数，系统是临界稳定的临界稳定的系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）20 由一阶对象组成的单位反馈闭环系统仍然是一个一阶系统，只是系统增益和时间常数变小，为原值的1/(1+K0)原一阶对象原一阶

10、对象闭环传递函数闭环传递函数 G(s)11111)()()(0000000TsKKsTKsTKsTKsRsCsG其中，其中，00001,1KTTKKK在零初始条件假设下，在零初始条件假设下， 1)()()()(TsKsRsGsRsC如果如果 r(t) 已知，则可以得到系统的时间响应已知，则可以得到系统的时间响应 c(t)一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）R(s)C(s)+-100sTKE(s)211. 如果如果 r 为单位阶跃函数：为单位阶跃函数：r(t)=1一阶系统的阶跃响应为一阶系统的阶跃响应为TsKsKTsKssC111)()1 ()()(1TteKsCLtc稳

11、态稳态暂态暂态001)(KKKc00011111)(KKKKew由于一阶系统的闭环增益不为由于一阶系统的闭环增益不为 1，因此，即使在系统中增加，因此，即使在系统中增加比例比例控制器，控制器，系统的稳态误差一般也不为零系统的稳态误差一般也不为零一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）22)1 ()()(1TteKsCLtc一阶系统的阶跃响应为一阶系统的阶跃响应为ctKT10.632KT2w对系统进行时域响应分析：对系统进行时域响应分析：当当 t=0, c(0)=0，TKdtdct0当当 t=T， KeKTc632. 0)1 ()(1当当,t Kc)(0tdtdc当当3tT，

12、Ktc95. 0)(5tT，Ktc993. 0)(一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）1. 如果如果 r 为单位阶跃函数：为单位阶跃函数：r(t)=123C(s)-100sTKR (s)+E (s)CK控制器控制器R (s)C(s)+-101KT s E (s)K1=KC K0 考虑比例控制器考虑比例控制器110011101001( )1111KKT sTKG sKKT sKsT sT 闭环传递函数闭环传递函数 G(s)当当 r(t) 为单位阶跃函数时，为单位阶跃函数时，1110111100111( )11KKKTKKC sKKssssTT10(1)111( ) ( )

13、(1)1KtTKc tLC seK11()1KcK 1111( ) 111KeKK Kc, K1,e()一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）24R (s)C(s)+-10sTKE (s)求取系统稳态误差求取系统稳态误差010101( )1( )K( )111ET sE sGsR sT sKT s w闭环误差传递函数闭环误差传递函数 GE(s) 为为当当 r(t) 为单位阶跃函数时，为单位阶跃函数时，00111( )( )( )1ET sE sGsR sT sKs 如果系统是稳定的，可以利用终值定理求解稳态误差如果系统是稳定的，可以利用终值定理求解稳态误差00001111

14、1()lim ( )lim( )lim11tssT see ts E ssT sKsK 问题：问题：有什么方法可以消除稳态误差？有什么方法可以消除稳态误差？一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）25C(s)-100sTKR (s)+E (s)11 (sTKiC控制器控制器有，利用有，利用 PI 控制器控制器101(1)( )( )( )(1)(1)iiiK T sC sG sR sT s T sK T s闭环传递函数闭环传递函数 G(s)其中，其中，10CKK K当当 r(t) 为单位阶跃函数时，系统输出的拉普拉斯变换为为单位阶跃函数时，系统输出的拉普拉斯变换为101(1

15、)1( )(1)(1)iiiKT sC ssT s T sKT s如果系统是稳定的，可以利用终值定理求解稳态如果系统是稳定的，可以利用终值定理求解稳态1)(lim)(0sCscs011)(e增加增加积分环节的效果是在积分环节的效果是在 S 平面上增加一个零点和一个平面上增加一个零点和一个极点极点一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）26C(s)-100sTKR (s)+E (s)11 (sTKiCController利用利用 PI 控制器控制器当当 r(t) 为单位阶跃函数时，系统误差信号的拉普拉斯变换为为单位阶跃函数时，系统误差信号的拉普拉斯变换为001(1)1( )(

16、1)(1)iiiT s T sE ssT s T sKT s如果系统是稳定的，可以利用终值定理求解稳态误差如果系统是稳定的，可以利用终值定理求解稳态误差001(1)( )( )( )(1)(1)iEiiT s T sE sGsR sT s T sK T sw系统误差传递函数系统误差传递函数 GE(s) 为为001(1)1()lim0(1)(1)isiiT s T sess T s T sK T s 当控制器包含积分环节时，稳态当控制器包含积分环节时，稳态误差为零误差为零一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）272.如果如果 r 为单位斜坡函数：为单位斜坡函数：r(t)=t

17、TsTsTsTsssC11111)(22TtTeTttc)(系统斜坡响应为系统斜坡响应为r, ctTc(t)r(t)-TT0.386T系统稳态响应为系统稳态响应为( )lim( )sstctc ttT ttr)(系统具有稳态误差系统具有稳态误差Ttctret)()(lim)(一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）28w线性系统对输入信号导数（积分）的响应，可通过系统对输入信线性系统对输入信号导数（积分）的响应，可通过系统对输入信号的响应进行微分（积分号的响应进行微分（积分-积分常数则由零初始条件决定）求得积分常数则由零初始条件决定）求得. .)(1)(tgeTtcTt单位

18、脉冲 r(t)=(t)单位阶跃 r(t)=u(t)=1Ttuetc 1)(单位斜坡 r(t)=tTttrTeTttc)(单位抛物线 r(t)=t2/2)1(2)(2222TttxeTTtttcDDDDDD系统输入系统输入系统响应系统响应t0t0一阶系统动态一阶系统动态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）2922d( )d ( )( )( )ddy ty tMBKy tf ttt 例例2. 质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统etvdttdvRCdttdvLCccc)()()(22 例例1. R-L-C 串联电路串联电路dtdqRTqRqRhdtdhRATTdthdTTffin212222212

19、122221)( 例例3. 液位系统液位系统所有这些例子均为二阶系统，它们的动态（暂态响应）仅仅取决于所有这些例子均为二阶系统，它们的动态（暂态响应）仅仅取决于系统特征方程的根系统特征方程的根 回顾第回顾第2章的例子章的例子二阶系统暂态二阶系统暂态系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）30w一个一个简单简单线性时不变二阶系统可以表示为线性时不变二阶系统可以表示为kxtcydttdybdttyda)()()(11212 方程的解为（假定方程的解为（假定a0,b0,c0 及及 y1(0)=y1(0)=0 ）：）：121121)(yecectytmtm 其中，其中， 是特解，是特解， 它是系统新的它是

20、系统新的，同系统输入具有相同的函，同系统输入具有相同的函数形式；数形式；c1 和和 c2 取决于系统的初始条件；系统取决于系统的初始条件；系统由由 和和 确定，它们是二阶微分方程的确定，它们是二阶微分方程的特征方程特征方程解。解。为了得到系统的解，通常应用为了得到系统的解，通常应用拉普拉斯变换拉普拉斯变换系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态二阶系统暂态1y1m2m31w线性时不变二阶系统的一般形式为线性时不变二阶系统的一般形式为kxtcydttdybdttyda)()()(11212w令输入变量令输入变量 x(t) 为阶跃函数为阶跃函数 x(t)=A，于是系统稳态为，于是系统稳态为

21、ckAy )(1w为了得到二阶系统的标准形式，引入新的变量，令为了得到二阶系统的标准形式，引入新的变量，令1( )( )yty tkcnab 22nac无量纲的输出变量无量纲的输出变量系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态二阶系统暂态32w引入新变量之后，可以得到引入新变量之后，可以得到二阶系统的标准形式：二阶系统的标准形式：2222)()(2)(nnntydttdydttydkxtcydttdybdttyda)()()(11212w其中，其中， 是无量纲的是无量纲的阻尼比阻尼比， n 是系统的是系统的自然频率自然频率w系统的传递函数为：系统的传递函数为：2222)()(nnnsss

22、XsYw系统特征方程的根为：系统特征方程的根为：2211,nndjjss系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态二阶系统暂态etvdttdvRCdttdvLCccc)()()(22 例例1. R-L-C 串联电路串联电路2TTLCn111其中，其中，自然频率自然频率2( )/( )( )nnnVc sLCG sRE sssssLLC2221121111/TTTLCRLRnn22222 阻尼比阻尼比w系统特征方程的根为：系统特征方程的根为：2211,nnjss系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态二阶系统暂态333422d( )d ( )( )( )ddy ty tMBKy t

23、f ttt 例例2. 质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统 阻尼比阻尼比KMB2其中，其中，自然频率自然频率MKn2222( )11( )( )2nnnKY sMG sBKF sKK ssssMMw系统特征方程的根为：系统特征方程的根为：2211,nnjss系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态二阶系统暂态35w具有标准形式的二阶系统还可以表示为如下图所示的单位反具有标准形式的二阶系统还可以表示为如下图所示的单位反馈系统结构馈系统结构)2(2nnss_rcw因为系统特征方程的根为：因为系统特征方程的根为：2211,nnjss 对于对于 , 系统是稳定的系统是稳定的 对于对于 , 系统

24、是不稳定的系统是不稳定的00w如果系统是稳定的，则系统暂态响应取决于阻尼比如果系统是稳定的，则系统暂态响应取决于阻尼比 的值，分的值，分三种情况：三种情况： (1) ; (2) ; (3) 对于对于 ，系统是，系统是临界临界稳定的稳定的11100系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态二阶系统暂态36二阶系统暂态：二阶系统暂态：0 011w在这种情况下，系统传递函数为：在这种情况下，系统传递函数为：2222( )2nnnnndndsssjsjw如果系统输入为如果系统输入为单位阶跃函数单位阶跃函数，则零初始条件下系统响应的传递函，则零初始条件下系统响应的传递函数为数为)()(222nnn

25、ssssC222221()()nnndndssss12222( )( )1(cossin)111 1sin(1)1nntddtnc tLC settetarctanLT-1系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）37二阶系统暂态：二阶系统暂态：0 011 如图所示，这是一个衰减振荡过程，其振荡频率就是有阻尼如图所示，这是一个衰减振荡过程，其振荡频率就是有阻尼振荡频率振荡频率 d d ，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数衰减，两者均由参数阻尼比阻尼比 和自然频率和自然频率 n n决定。决定。(a) 根分布根分布 (b) 单位阶跃响应单位

26、阶跃响应系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）3801234567891000.20.40.60.811.21.41.61.82t increases 图图 3.6 二阶系统暂态二阶系统暂态 欠阻尼响应欠阻尼响应 1临界阻尼响应临界阻尼响应 =0振荡响应振荡响应 系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态：二阶系统暂态：0 011w不同的不同的 取值下的取值下的单位阶跃单位阶跃暂态响应暂态响应1039w系统误差信号为：系统误差信号为：)0()1arctan1sin(11)()()(222ttetctrtentnw当当 t t 时，系统误差（即时，系统误差（即稳态误差稳态误差）为）为 e (

27、)e ()w当当 =0=0 时，系统阶跃响应无阻尼，因此响应曲线将以自然频率时，系统阶跃响应无阻尼，因此响应曲线将以自然频率 n n作等幅振荡作等幅振荡ttcncos1)()11sin(111)(222arctantetcntn系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态：二阶系统暂态：0 01 40w如果系统输入为如果系统输入为单位脉冲函数单位脉冲函数，则系统响应为（，则系统响应为（ R(s)=1R(s)=1 ）：）：22221)(nnnsssC)sin()(tetcntnn2211系统的暂态（动态）系统的暂态（动态）二阶系统暂态：二阶系统暂态：0 011时，系统具有两个时，系统具有两个不同的实根不同的实根ns)1(22, 1)11(111)(2)1(2)1(222ttnneetc2nnssssC)1()1(1)1()1(11)(2122212222w如果系统输入为如果系统输入为单位阶跃函数单位阶跃函数，则零初始条件下系统响应为，则零初始条件下系统