万能公式推导

1、和差化积公式推导sin2a=2sinacosa=2sinacosa/(cosA2(a+sinA2(a)*,(因为COSA2(a)+SinA2(a)=1)再把*分式上下同除cosA2(a),可得sin2a=2tana/(1+tanA2(a)然后用a/2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式推导tan3a=sin3a/cos3a=(sin2acosa+cos2asina)/(cos2acosa-sin2asina)二(2sinacosA2(a)+cosA2(a)sinasinA3(a)/(cosA3(a)cosasinA2(a)2sinA2(a)cos

2、a)上下同除以cosA3(a),得：tan3a=(3tanatanA3(a)/(1-3tanA2(a)sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sinacosA2(a)+(12sinA2(a)sina=2sina2sinA3(a)+sina2sinA3(a)=3sina4sinA3(a)cos3a=cos(2a+a)=cos2acosasin2asina=2cosA2(a)1cosa2cosa$访人2(a)=2cosA3(a)cosa+2cosa28$人3(a)=4cosA3(a)3cosa即sin3a=3sina4sinA3(a)cos3a=4cosA3(a)

3、3cosa首先，我们矢口道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以，sina*cosb=sin(a+b)+sin(a-b)/2同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到，

4、cosa*cosb=cos(a+b)+cos(a-b)/2同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-cos(a+b)-cos(a-b)/2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x

5、,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sinsinx-siny=2coscosx+cosy=2cos(x+y)/2*cos(x-y)/2(x+y)/2*sin(x-y)/2(x+y)/2*cos(x-y)/2cosx-cosy=-2sin(x+y)/2*sin(x-y)/2同角三角函数的基本关系式倒数关系tana-cota=1sina-CSCa=1cosa-seca=1商的关系sina/cosa=tana=seca/CSCacosa/sina=cota=csca/seca平方关系sinA2(a)+cosA2(a)=11+tanA2(a)=secA2(a)1+cotA2(a

6、)=cscA2(a)同角三角函数关系六角形记忆法构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。倒数关系对角线上两个函数互为倒数；商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式sin(a+3)=sinacos3+cosasin3sin(a-3)=sinacos3-cosasin3cos(a+3)=cosacos3-sinasin3cos(a-3

7、)=cosacos3+sinasin3tan(a+3)=(tana+tan3)/(1tana-tan3)tan(a3)=(tanatan3)/(1+tana-tan3)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2a=2sinacosacos2a=cosA2(a)sinA2(a)=2cosA2(a)1=12sinA2(a)tan2a=2tana/(1tanA2(a)tan(1/2*a)=(sina)/(1+cosa)=(1-cosa)/sina半角的正弦、余弦和正切公式sinA2(a/2)=(1cosa)/2cosA2(a/2)=(1+cosa)/2tanA2(a/2)=(1cosa)/(1+cosa)

8、tan(a/2)=11cosa)/sina=sina/1+cosa万能公式sina=2tan(a/2)/(1+tanA2(a/2)cosa=(1tanA2(a/2)/(1+tanA2(a/2)tana=(2tan(a/2)/(1tanA2(a/2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3a=3sina4sinA3(a)cos3a=4cosA3(a)3cosatan3a=(3tanatanA3(a)/(13tanA2(a)三角函数的和差化积公式sina+sin3=2sin(a+3)/2)-cos(a3)/2)sinasin3=2cos(a+3)/2)-sin(a3)/2)cosa+cos3=2cos(a+3)/2)-cos(a3)/2)cosacos3=2sin(a+3)/2)-sin(a3)/