河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试(I)文科数学试题(含答案解析)

1、绝密启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（I ）文科数学本试卷4页。总分150分。考试时间120分钟。注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时,选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动.用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。问答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。3 .考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。1 .若集合A =- 集合3满足AUB=A ,则B可以为A.B. 1|C. 1.2D

2、. -1,0,1,22 .设复数之=1痣必，则在复平面内之对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 .“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点.某电商平台的直播间主要经营食品和服装 两大类商品.2020年前三个季度,该宜播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番,整理前 三季度的收入情况如图所示.则下列说法错误的是A.该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B.该直播间第三季度的服装收入比笫一季度和第二季度的服装总收入还要多C.该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的4D.该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的104.函数/Q）=的图象大致为5 .已知函数 /

3、（才）=sin H 7 .设a = /（兀氏），=/（）. 1"）< = /（ logy J 7t）,则 a ,b .c 的大小关 系是A. a>b>（:B. b>c>aC. c>b>aD, b>a>c6 .在钝角三角形ABC中,冗克=（1 ,JM）, I衣H =1,S、a坎：=今"，点D为BC的中点,则I而I =AgB,fC 除D 1乙乙乙乙7 .已知函数/（才）=加占-2+的图象恒过点（2.1）,若对于任意的正数"2.不等式工+ m nA恒成立.则实数八的最大值为A. 9B. 3 + 2 招C. 7D. 4

4、 728 .设抛物线/ = 2久3a>0）的焦点为F.倾斜角为夕的直线I经过抛物线的焦点厂且与抛物线相交于M,N两点.若前俞=一2 俞z ,贝ij 5山20=2 四1V24"A亏B.5C.彳D,-9 .若各项均为正数的数列满足%,+1=4n41«5 =256 .则使得不等式4"<133（1 + /二+ 石+ /二）成立的最大正整数的值为A. 5B. 6C. 7D. 810 .在平面内，A （：是两个定点，B是动点，若彳方=就|四+病| = |无| 则ABC的 内角A的最大值为 21 +4彳.0<丁（2,11 .已知函数/"）=，1若函数

5、）=/（）於+4在区间 2,1上Kf（卫 + 2）,彳<0?2 ,有3个不同的零点,则实数A的取值范围是A. （ 4 2V3 f0） B. （ 1.0）C. （-4 + 273-.0）D. （，。）12.在中，AC = 2有，顶点B在以AC为直径的圆上.点P在平面ABC上的射影为AC 的中点PA =2 .则其外接球的表面积为A. 127rB.学次C. *兀D. 161t34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为.14 .从古至今,文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字 读至开头一字另成一首新诗,称之为“通体回文诗【数

6、学中也 有类似的情况：对一个整数从左向右和从右向左读 其结果都是质数,可以称它为“通体质数”,若在闭区间10.301 中,任取一个整数.则此整数是“通体质数”的概率为.15 .对于双曲线r=来说，我们定义圆一 +Zr212/=/为它的“伴随圆”.过双曲线三一号 =1（ >0）的左焦 a J俯视图点F,作它的伴随圆的一条切线，设切点为T.且这条切线与双曲线的右支相交于点P.若M为PF1的中点，同在T右侧，且|MO| 一 |MT|为定值J则该双曲线的离心16.已知函数/Q)= sin 2? + sin 2/卜同时满足下述性质：若对于任意的:r12z率为文科数学试题第3页（共4页）以W W卜,

7、5）+/（/2）/（二3）恒成立;/（卷）点一八则a的值为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第22.23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. （12 分）已知数列（«“>是递增的等差数列,打=:,且满足。，是与的等比中项.（1）求数列0的通项公式；（2）求数列（一）的前项和.18. （12 分）如图QAJ_平面A3C,DA=AC = l,0是AB的中点，ACO为 等边三角形.（1）证明：平面ACD«L平面BCE；（2）若ADBE,P为CE的中点,Q为线段OP上的动点，判

8、断三 棱锥Q ACD的体积是否为定值？若是,求出该定值；若不是.说明 理由.19. （12 分）电子烟是一种模仿卷烟的电子产品，有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾 病,某医疗机构随机抽取了 100人进行调查,吸电子烟与不吸电子烟的比例为1 ： 3 .整理数据 得到下表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计（1）完成2X2列联表.在犯错误的概率不超过5%的前提下.能否认为吸食电子烟与感染 肺部疾病有关？（2）为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中， 按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别.采用分层抽样的方法抽取8人.从这8个人中

9、任取 2人进行血液、痰液等相关医学检查求这两个人来自同一类别的概率.参考公式及数据:肥=7/，?的儿”鲁/其中一十十c十乩（a 十十（、）（。十）P(K2>AW)0.0500.0100.0050.0013.8416,6357.87910.82820. （12 分）已知函数 /（才） = sin /一e"T （a ER）.定义八7）的导函数为（?）./.（彳）的导函数为> 以此类推,若/（2020>（1）=sin 1.求函数/（2%+/（2）若 q>i .I>。,证明：/axo.21. （12 分）已知圆M：（w而）2+/ = 32.点q是圆M上的一个动点

10、，点N（一疝,0）.若线段QN的 垂直平分线交线段QM于点T.（1）求动点T的轨迹曲线。的方程；（2）设。是坐标原点，点尸（2.1）,点R （异于原点）是曲线C内部且位于）轴上的一个动 点点S与点R关于原点对称,直线PR.PS分别与曲线C交于八，8（异于点P）两点.判断直 线A3是否过定点？若过.求出定点坐标;若不过,说明理由.（二）选考题：共1（）分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。22. 选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中曲线C的参数方程为广=''（?r0“为参数）以坐标原点。为 y=t极点U轴的非负半轴为极轴建立极坐

11、标系.直线/的极坐标方程为PCOS卜+；）="；.（1）求直线/的直角坐标方程；（2）若直线2经过曲线C的焦点T.且与曲线。交于M,N两点，求 TN.23.1选修45：不等式选讲工10分）已知函数/Gt）=|r 11.（1）求不等式/（x）/（2x4-4）,1的解集;（2）当l<一1时/（ar）+/（z）+/>0恒成立.求实数a的取值范围.文科数学试展第4页（共4页）文科数学参考答案及解析河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（I ） 文科数学 3 一、选择题1. C【解析】由题意得集合A = <l|0402,由选项 可知.集合（1,2）满足题意.2. D【解

12、析】由题意可知於皿=3之=|痣+一。式= 2 - i.对应包平面内的点（2. -1）位于第四象限.3. D【解析】设第一季度的总收入为。则由题意可知. 第二季度的总收入为2°,第三季度的总收入为4a，故 A正确；由图可知，该直播间第三季度的服装收入为 4aX07 = 2,8，第一季度和第二季度的服装总收入为 。义0.9 + 2。*。8 = 2.5”2&/,故15正确；该直播间第 二季度的食品收入为2“X0.2 = 0.4a 第三季度的食品 收入为4XO.3 = 1.2，号=故C正确；而第一季1.2a0度的食品收入是0.1«，不满足是第三季度食品收入的 ，故D错误.4

13、. B【解析】由函数奇偶性的定义可知，函数八%）为奇 函数.所以排除选项A,当彳=4时（2,4）,所以 排除选项C.D.5. C【解析】由题意得,（/）=cos、r-l40所以/（才） 在定义域上单调递减.因为> = hO<O.P< 0.l" = l,Iog,.i7tV0,所以 c»a.6. C【解析】由题意得I就1=2.由S = -AB I AC I sin A =咚，可得sin A =除.当A = ?时,易知八BC为宜角三角形.不合题意，舍去；当A 一三时.M而=4（益+元） 两边平方得|彳方|2=；（X1P + 44由题意可得I前1=21而I ,设I

14、FNI =才，则|FM| = 21.由抛物线的定义可知.|。7|=1.|»2|二21. 磊M = 1,所以 g =3i.在 AENC 中.I r m I1cos/ENC= 二 = 丁 = cos 九所以 sin 0 =.则 I < | VV9. C【解析】由题意可知,数列是公比为4的等比 数列.且3 = 16,所以*=4厂 /二=2冷一1 ,所以 右7也是等比数列.所以原不等式可以化筒为4" V 133X2。即2"V133,所以的最大值为7.10. A【解析】由|茄+法| = |而| = |茄一诧|,得 BDLBC,故点B在以CD为直径的怩L匕设CD = Z

15、r.CD的中点为E,则|4七| = |（：。|=2厂,所以当48与E8E相切时,角A的最大值为011. C【解析】当0 2.0）时,才+ 20,2）,所以 /（）= £/（l十2）= 一7一2,画出函数/（Z）的图 象如图所示,.2x了）衣2+2荏衣）=：X（4 + l + 2X2XlXcos日，所以|AO I =§. 447. A【解析】由函数的图象过定点（2.1）,可得加+ = 1.14/ 14 且 m >0 , >0 ,所以 1 = （w + ）X（ 1 | = m n mn ）5 +幺+%>5+2在=9当且仅当m= 时.m n33等号成立.8. D

16、【解析】如图所示.过点M.N分别作准线的垂线. 垂足分别为D.C,直线/与准线交于点E.若满足8（7）在区间-2.门上有三个零点.则函数 /Q）的图象与过定点（1.0）的直线在区间一2.门上 有且只有三个不同的交点.联立广二7" '二酎整理得 / +（£+2）一6=0令 4 = 0解得 = -4 + 273 或/： = 一4一2依（舍去3所以实数大的取值范用是 （- 4+2-,0）.12 . D 1解析】如图所示,设AC的中点为O',外接球的球心为O.在RtZXPO'A中.j S（yp= 1 .设外接球的半径为R,在5O'OC中（我一12+（

17、后> =k 解得 r=2所 以，外接球的表面积为4所2 = 16兀j二、填空题I13 .粤 【解析】由几何体的正视图可知.该几何体底面: 的用形圆心角应为120,所以，该几何体的体积应该j1147r6k为所在回锥体枳的木所以v= X-X4 = -.14 . y 【解析】由题意，一一列举出区间口0,30内的通 体质数,有U,13J7,根据古典概率模型，可以计算出 概率为十.15 .亭【解析】如图,设匕为双曲线的右焦点,在 RtAOFiTrpJOFt I =<, IOTl=a,所以 I 丁Fi I =b, |M9|一|MF|=1 |PFz I -（IMFJ ITF, |）= ；lPFz

18、| 一 （； I PE | - I7凡 l） =：（| PF" 一3i|PF1|）+|丁玛 1=6 -。=5一。=可？解得a = l,所可得，/(i)=*sin ( 21+16 , 0【解析】化简f（1）=sin 2才+ sin （ 2jt +三）+ a ： 卷）+a.当彳40.宁时，|2x +y-此时/（i）的最大值为VT+a ,最I 小值为竽+a .对于任意的6 ,必5 。号卜若满 足） + /（*?）2/（八）怛成立，则只需点+ 2a > 点"+a ,即又因为="+4一a'+痴.斛得。=0.三、解答题17 .解：（1）设数列（右 的公差为d.由

19、题意可得a： =。2。8 （。】+3d尸= （ai+74）.* ）1a尸万，由于d>0.解得1d =2 ,所以a* =。】+（打-1）3=2.（5分）乙（2）记数列（一）的前项和为S., aM+i J由（D知一一,4,、=4（,. “叫1（刀十 1） ” n-v J口.1 Q A 111 1 I 1 1 I 仙则 S =4| 5-+-z 7"+H XT I Ti-（12 分）18. （1）证明：由题意可知，AD«L平面ABC 因为BCU平面ABC.所以AD±BC. 又因为 OA=OB = OC,所以 ACLLBC. 因为 ADC1AC = A ,AD,ACU

20、平面 ACD. 所以8cL平面ACD.因为8CU平面BCE,所以平而ACDJ_平面BCE.（5分）（2）解：三核维QAC。的体积是定值.（6分）取3C的中点M连接PM.0M.如图.因为 CP = EP,CM=BM,所以 PM/EB.因为 EB AD.所以 PM/AD.因为平面ACD ,ADU平面ACD, 所以PM平面ACD.同理可证明OM平面ACD.因为 PMCOM=M.所以平面OPM平面ACD又POU平面POM.所以尸0平面ACD.所 以 V三改暂Q.MD = VO-ACl） = V三统军力."力="T XYX1=C（12 分）河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试

21、（I）文科数学19.解由题意可知2X2列联表如下：感染肺部疾病未感染仲部疾病总计吸电子烟151025不吸电子烟255075总计4060100琬 e 八加、工 100X(15X50-25X10)2则P的观测值k = -40X60X25X75-七556>3.841.所以在犯错误的柢率不超过5%的前提下,能认为吸食电子烟与感柒肺部疾病有关.（5分）（2）由题意可知,在抽取的8人中吸电子烟的有8X15259=3（人）不吸电子烟的有8X9 = 5（人）.4040设吸电子烟的3人为1.2,3,不吸电子烟的5人为A,B,C,D,E,从8人中任选2人,则所有的可能结果为j28种；设事件A,这两个人来自同

22、一类别,则有（1.2）.（1.：（8.。），（3,£）,9.。）9。.耳）.（。.£；）.共13种： 结果，（13i所以 P（A） = .（12 分）：20. （1）解：由题意知/Q） = cos工一GCi,，（«r）= -sin 1 一 all /u, （ x ） = - cos /一 ae'" , I （r） = sin 工一ac"一】，尸m = cos 工一。匕，所以函数J、”Cz）的周期是4,所以 r20W（x） = /m（x） = sinx-a-1.因为尸2幽«）=尸，（）= sin l-a=sm 1.所以 a=0.

23、/（b）= sin ：所以/（21+三）=呵2工+方）.（3分）!当孑+ 2时<272氏兀，氏e Z,即一普+ i 23212上“WhW考+x,A £Z时,/X.r）单期递增；当9 + 2K2h+ V J + 2E m E E Z,即卷+为式 *9+归兀* £ Z时，/（才）单调递减.：综上.函数/（2、r + g）的单调递增区间为一招十| 次£名,单调递减区间为为+“书+ i ik ,66Z.（6 分）j（2）证明：当以1时.“iXsin4一十令 «（£>=1 -sin x ,则1 cos彳20,所以g（上）在区间0.+。口） 上

24、单调递增.g（k）2g（0）=0.所以sin所以f ,当且仅当工=0时取等号.（9分）令-Gr）=H-ei,则 l（Z）= l ©L.所以/?（工）在区间（0.1）上单调递增.在区间（1, +8） 上单调递减.所以*1）（九（1）一0,当且仅当/一1时取等号.故 fGr）V0.（12 分）21.解：（1）由题意可知，I TM I + I TN | = | TM| +I TQ=r = 2>MN | =276 ,所以动点T的轨迹为以M,N两点为焦点的椭圆. 设楠圆的长轴长为2a,短轴长为20,焦距为2c，则 4 夜=2。,a=2 >c=V6 .Fh az-bz-c2 .得 6

25、=72 22所以曲线C的方程为5 + 5 = 1.（5分）O L（2）设苴线AB的方程为歹=&+八人（力.”）黯H = 1 由 82 消去不整理得（1 + 4/）/+8触n +丁 =1+。，4尸一8 = 0.则 A = （8H» - 4（1+联2）（4-8） = 16（取“一尸+2）>0,8M4/- 8川+会=- 4m Uz = 4"+厂又直线PA的方程为），-1 =纥3（一2）， 门2即空号.令1=0,得y(1 -2a)ii 2/2因此点R的坐标为（0.上筌尸包卜同理可得.S(1一202 2f*2 277?： <lAl-2k)x-2t-24)以一2i由。S=R。，得；+5=0,>T-2222化简得(2 46)彳】心一(2 4£ + 2z)(/i + -)+& = 0,即 门 一 ”）乂会一,2 女 + 2，（一品）+& = 0,整理得 24 + 4A+/+，-2=0,即（i+2）（2A+z -