排列组合的题型与方法剖析

1、排列组合问题经典题型与排列组合问题经典题型与通用方法通用方法 高二数学组高二数学组（一）排序问题（一）排序问题1.1.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法: :题目中规定相邻的几个元素捆绑成题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列一个组，当作一个大元素参与排列. .解析：把解析：把A,B视为一人，且视为一人，且B固定在固定在A的右边，则本题的右边，则本题相当于相当于4人的全排列，人的全排列，4424A 种。种。.例例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果五人并排站成一排，如果A,B必须相邻必须相邻且且B在在A的右边，则不同的排法有（的右边，则不同的排法有（ ） A、60种种

2、B、48种种 C、36种种 D、24种种D（一）排序问题（一）排序问题2.2.相离问题插空排相离问题插空排: :元素相离（即不相邻）问题，可先元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端几个元素插入上述几个元素的空位和两端. .例例2.2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（那么不同的排法种数是（ ）A A、14401440种种 B B、36003600种种 C C、48204820种种 D D、48004800

3、种种55A26A52563600A A 再用甲乙去插再用甲乙去插6 6个空位有个空位有 种，种，不同的排法种数是不同的排法种数是 种。种。解析：除甲乙外，其余解析：除甲乙外，其余5 5个排列数为个排列数为 种，种，B（一）排序问题（一）排序问题3.3.定序问题缩倍法定序问题缩倍法: :在排列问题中限制某几个元素必在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. .例例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果五人并排站成一排，如果B必须站在必须站在A的右边（的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A、

4、24种种 B、60种种 C、90种种 D、120种种B种。种。解析：解析：B在在A的右边与的右边与B在在A的左边排法数相同，所的左边排法数相同，所以题设的排法只是以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即个元素全排列数的一半，即552260AA（一）排序问题（一）排序问题4.4.定位问题优先法：定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例例4.4.现有现有1 1名老师和名老师和4 4名获奖同学排成一排照相留念，名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？若老师不站

5、两端则有不同的排法有多少种？13A44A143472A A 种，种，4名同学在其余名同学在其余4个位置上有个位置上有种方法；种方法；种种 ,解析：老师在中间三个位置上选一个有解析：老师在中间三个位置上选一个有所以共有所以共有（一）排序问题（一）排序问题解析：（解析：（1 1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成看成6 6个不同的元素排成一排，共个不同的元素排成一排，共 种。种。66720A 5.5.多排问题单排法多排问题单排法: :把元素排成几排的问题可归结为一把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。排考虑，再分段处理。例例5.(1) 6个不

6、同的元素排成前后两排，每排个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，个元素，那么不同的排法种数是那么不同的排法种数是( )A、36种种 B、120种种 C、720种种 D、1440种种C（一）排序问题（一）排序问题例例5. (2)8个不同的元素排成前后两排，每排个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其个元素，其中某中某2个元素要排在前排，某个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少个元素排在后排，有多少种不同排法？种不同排法？解析：看成一排，某解析：看成一排，某2 2个元素在前半段四个位置中选个元素在前半段四个位置中选排排2 2个，有个，有 种，种，24A14A55A1254455760A

7、A A 某某1 1个元素排在后半段的四个位置中选一个有个元素排在后半段的四个位置中选一个有 种，种，其余其余5 5个元素任排个元素任排5 5个位置上有个位置上有 种，故共有种，故共有种排法种排法. .5.5.多排问题单排法多排问题单排法: :把元素排成几排的问题可归结为一把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。排考虑，再分段处理。例例6.6.有有5 5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？站法？（一）排序问题（一）排序问题n个元素的圆排列数有个元素的圆排列数有 种种.因此可将某个元素固定展成单排，因此可将某个元素固定展成单排

8、，其它的其它的 元素全排列元素全排列.6.圆排问题单排法圆排问题单排法:把把n个不同元素放在圆周个不同元素放在圆周n个无编号位置上的个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n个个普通排列：普通排列：12323411,;,;, ,nnnna a aa a a aaa aa!nn1n在圆排列中只算一种，因为

9、旋转后可以重合，故认为相同，在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，1mnAm说明：从说明：从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有个元素作圆形排列共有种不同排法种不同排法. .然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2 2种方式，故不同的安排方式种方式，故不同的安排方式44A5242768种不同站法种不同站法. .解析：首先可让解析：首先可让5 5位姐姐站成一圈，属圆排列有位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，种，7.7.可重复的排列求幂法可重复的排列求幂法: :允许重复排列问题的特点是以允许重复排列问题

10、的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置元素的位置. .一般地一般地n个不同元素排在个不同元素排在m个不同位置的排列数有个不同位置的排列数有 种种（一）排序问题（一）排序问题nm解析：完成此事共分解析：完成此事共分6 6步，第一步；将第一名实习生分步，第一步；将第一名实习生分配到车间有配到车间有7 7种不同方案，第二步：将第二名实习生分种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有配到车间也有7 7种不同方案，依次类推，由分步计数原种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有理知共有 种不同方案种不同方案.67例例7.7.

11、把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习共有多少种不同个车间实习共有多少种不同方法？方法？（一）排序问题（一）排序问题8.8.选排问题先取后排选排问题先取后排: :从几类元素中取出符合题意的几从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. .例例8 8.(1)四个不同球放入编号为四个不同球放入编号为1 1，2 2，3 3，4 4的四个盒中，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有方

12、法有 种，再排：在四个盒中每次排种，再排：在四个盒中每次排3个有个有 种，故种，故共有共有 种。种。24C34A2344144C A （一）排序问题（一）排序问题例例8 8.(2)9名乒乓球运动员，其中男名乒乓球运动员，其中男5 5名，女名，女4 4名，现在名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各解析：先取男女运动员各2 2名，有名，有 种，这四名运动种，这四名运动员混和双打练习有员混和双打练习有2254C C22A222542120C C A 种排法，故共有种排法，故共有种种. .8.8.选排问题先取后排选排问题先

13、取后排: :从几类元素中取出符合题意的几从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. .（一）排序问题（一）排序问题9.9.标号排位问题分步法标号排位问题分步法: :把元素排到指定位置上，可先把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成此继续下去，依次即可完成. .例例9.9.将数字将数字1 1，2 2，3 3，4 4填入标号为填入标号为1 1，2 2，3 3，4 4的四个的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数

14、方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（字均不相同的填法有（ ） A A、6 6种种 B B、9 9种种 C C、1111种种 D D、2323种种解析：先把解析：先把1 1填入方格中，符合条件的有填入方格中，符合条件的有3 3种方法，第种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有法，共有3 33 31=91=9种填法种填法. .B（一）排序问题（一）排序问题25C解析：可以分类解决：解析：可以分类解决：第一类，

15、所有同学都不坐自己原来的位置；第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置；第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置；第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.设设n个元素全错位排列的排列数为个元素全错位排列的排列数为Tn，则对于例

16、，则对于例3，第一类排列，第一类排列数为数为T5，第二类先确定一个排原来位置的同学有，第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为5T4，第三类先确，第三类先确定两个排原位的同学，有定两个排原位的同学，有 =10种，种，所以第三类的排列数为所以第三类的排列数为10T3，因此例，因此例3的答案为：的答案为：T5+5T4+10T3=109.例例10.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有坐自己原来的位置，则

17、不同的坐法有 种种.（一）排序问题（一）排序问题10.全错位排列问题公式法全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可问题）记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：推公式： 用用A、B、C表示写着表示写着n位友人名字的信封，位友人名字的信封，a、b、c表示表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把假设把a错装进错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：里了，包含着这个错误的一切错装法分两类： （1）b装入装入A里，这时每种错装

18、的其余部分都与里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无无关，应有关，应有f(n-2)种错装法。种错装法。 （2）b装入装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除（除a之外的）之外的） 份信纸份信纸b、c装入（除装入（除B以外的）以外的）n1个信封个信封A、C，显然这时装错的方法有，显然这时装错的方法有f(n-1)种。种。总之在总之在a装入装入B的错误之下，共有错装法的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。种。a装入装入C，装入，装入D的的n2种错误之下，同样都有种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装种错装法，因此法

19、，因此:得到一个递推公式：得到一个递推公式： f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2)，分别代，分别代入入n=2、3、4等可推得结果。等可推得结果。也可用迭代法推导出一般公式：也可用迭代法推导出一般公式： )!1) 1(! 31! 21! 111 ( !)(nnnfn （二）分组分配问（二）分组分配问题题1平均分堆问题去除重复法平均分堆问题去除重复法 例例1. 从从7个参加义务劳动的人中，选出个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两个人，分成两组，每组都是组，每组都是3人，有多少种不同的分法？人，有多少种不同的分法？解：选解：选3人为一组有人为一组有 种，再选种，再选3人为另一组有人为

20、另一组有 种，依分步种，依分步计数原理，又每计数原理，又每种分法只能算一种，所以不同的分法有种分法只能算一种，所以不同的分法有（种）。也可以先选再分组为（种）。也可以先选再分组为33742270C CA6337632270C C CA（二）分组分配问（二）分组分配问题题分析：分出三堆书分析：分出三堆书(a1,a2) ,(a3,a4) ,(a5,a6) 由顺序不同可由顺序不同可以有以有 =6种，而这种，而这6种分法只算一种分堆方式，故种分法只算一种分堆方式，故6本本不同的书平均分成三堆方式有不同的书平均分成三堆方式有 =15种种.例例2 2、6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？本不

21、同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？练习：练习：1.61.6本书分三份，本书分三份，2 2份份1 1本，本，1 1份份4 4本，则有不同本，则有不同分法？分法？2 2某年级某年级6 6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。1146542215C C CA22264290C C C （二）分组分配问（二）分组分配问题题解析、解析、(1)(1)先从先从1010人中选出人中选出2 2人承担甲项任务，再从剩下的人承担甲项任务，再从剩下的8 8人中人中选选1 1人承担乙项任务，第三步从另

22、外的人承担乙项任务，第三步从另外的7 7人中选人中选1 1人承担丙项任务，人承担丙项任务，不同的选法共有不同的选法共有 种种21110872520C C C 2.有序分配问题逐分法有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法干组，可用逐步下量分组法.例例3.(1)有甲乙丙三项任务，甲需有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，乙丙各需一人承担，从人承担，从10人中选出人中选出4人承担这三项任务，不同的选人承担这三项任务，不同的选法种数是法种数是( ) A、1260种种 B、2025种种 C、2520种种 D、5040种种C（二）分组分

23、配问（二）分组分配问题题4441284C C C44412843C C C4431283C C A444128433C C CA2.有序分配问题逐分法有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法干组，可用逐步下量分组法.例例3、(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有人，则不同的分配方案有( )A B C DA3.全员分配问题分组法全员分配问题分组法:例例4.（1）4名优秀学生全部保送到名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学所学校去，每所学校至少

24、去一名，则不同的保送方案有多少种？校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为一本，不同的分法种数为( )A、480种种 B、240种种 C、120种种 D、96种种（二）分组分配问（二）分组分配问题题B答案：（答案：（1）234336C A 2454240C A （二）分组分配问（二）分组分配问题题4.4.名额分配问题隔板法名额分配问题隔板法( (无差别物品分配问题隔板法无差别物品分配问题隔板法):):例例5 5：1010个三好学生名额分到个三好学生名额分到7 7个班级，每个班级至少个班级，每