2015年普通高等学校招生全国考试北京市文数卷文档版

1、2015年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在 试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。(1) 若集合 A= x|5vxv2，B= x匚3vxv 3，则 A B=A. x|3v xv 2B. x|5v xv 2C. x| 3v x v 3D. x|5vx v 3(2) 圆心为(1, 1)且过原点的圆的方程是2 2 2 2(A) (x-1) 2+ (y-1) 2=1( B) (x+1) 2+ (y+1) 2=

2、1(C) (x+1) 2+ ( y+1) 2=2( D) (x-1) 2+ (y-1) 2=2(3) 下列函数中为偶函数的是()(A) y=x2sinx( B) y=x2cosx(C) Y=|ln x|(D) y=2x(4) 某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为()(A) 90(B) 100(C) 180( D 300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300(5)执行如果所示的程序框图，输出的k值为结束(A) 3(B) 4 (C)5(D)6(6) 设a, b是非零向量，“

3、a- b=|a|b ”是“ a/b”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(7) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)1(B)(B)(D)2fl WK!Man（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为加油时间加油量（升）in油时的累计里程（千 米）2015 年 5 H 1 112350002015 年 5 fl 1564835600（A）6 升（B）8 升（C）10 升（D）12升第二部分（非选择题

4、共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数i （1+i）的实数为1_（10）2-3, 32,log25三个数中最大数的是(11)在厶ABC中，a=&3,b=,B=（12） 已知（2, 0）是双曲线-=1（b>0）的一个焦点，贝U b=.0（13） 如图， ABC及其内部的点组成的集合记为 D，P （x，y）为D中任意 点，则z=2x+3y的最大值为267(14) 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成 绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。商品顾客人数甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX30

5、0VXVX85VXXX98XVXX(I)估计顾客同时购买乙和丙的概率(U)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3种商品的概率(川)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最 大？(18) (本小题14分)如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB丄平面ABC三角形EAB为等边三角形，AC丄 BC,且 AC=B,0,M分别为AB,VA的中点(1) 求证:VB/平面MOC.(2) 求证：平面 MOQ平面VAB(3) 求三棱锥V-ABC的体积。(19) (本小题13分)星2设函数 f (x) =一-kin ,k>02(I)求f (x)的单调区间和极值；(II )证明：若f(x

6、)存在零点，贝U f(x)在区间(1, J上仅有一个零点(20) (本小题14分)已知椭圆一：:.-:,过点貌Id刼且不过点-的直线与椭圆一交于£1更两 点，直线丄与直线 L汁:(1)求椭圆一的离心率；(II )若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(III )试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。2015 年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）参考答案、选择题（共8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1)A（2）D（3）B（4）C5)B（6）A（7）C（8）B、填空题（共6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9)1(10) log254(13) 7(14)乙数学

7、三、解答题(共6小题，共80分)(15) (共 13 分)解：(I)因为 f x =sinx 3cos /3=2sin( x) 7；33所以f X的最小正周期为2二.2兀兀兀(II)因为0 _ x " ，所以 "x.333兀2兀当x，即x 时，f X取得最小值33所以f (x)在区间o "上的最小值为f 1= -J3.1313丿(16) (共 13 分)解：(I)设等差数列 3n f 的公差为d .因为a4 -a2，所以d =2.又因为 a a2 =10，所以 2ad =10，故 a4.所以 an =4 2(n -1) =2n 2(n =1,2, HI).(II)

8、设等比数列的公比为q.因为 b2 = a3 =8， d = a = 16 ，所以 q = 2， b =4.6 1所以 b6 = 4 2128.由 128=2 n 2 得 n =63.所以b6与数列 订奁的第63项相等.(17) (共 13 分)解：(I)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,200所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2 .1000丙、(II)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100

9、 2000.3.1000(III)与(I)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为200= 0.2 ,1000100 200 3001000-0.6 ,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为性最大。(18)1000.1. 1000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能 (共14分)解：(I)因为O,M分别为AB , VA的中点， 所以OM /VE .又因为VE二平面MOC , 所以VB/平面 MOC.(II)因为AC = BC, O为 AB的中点，所以OC _ AB.又因为平面 VAB _平面ABC，且OC 平面ABC ,所以OC _平面VAB 所

10、以平面MOC _平面VAB (III )在等腰直角三角形 ACB中，AC二BC = .2，所以 AB =2 , OC -1 所以等边三角形VAB的面积SVAB二J3 又因为OC _平面VAB ,1所以三棱锥C -VAB的体积等于3OC S -VAB =又因为三棱锥V - ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V - ABC的体积为“ 3(19)(共13分)2解:x(I)由 f xkl nx (k>0 )得22 Xk由 f (x)=o 解得 x= S.f (x)与f'(x)在区间(0, ：: )上的情况如下:x(0jk)Vk(斥乜)f'(x)0+f(x)k(1

11、 1 nk)2所以，f(x)的单调递减区间是(0,、k)，单调递增区间是 Ck, ：)； f (x)在 x = '、k处取得极小值 f (、k)二 k(1 1nk.2(II )由(I)知，f(x)在区间(0,址)上的最小值f(Tk)= k(1Tnk).2因为f (x)存在零点，所以k(1 一1 nk)乞o，从而k - e.2当k二e时，f (x)在区间 上单调递减，且 f(® 0,当 k >e 时，f (x)在区间(1,. e)上单调递减，且 f(l)=?>0, f (、e)= < 0,所以f (x)在区间(1, .5上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在

12、零点，则f (x)在区间(l/e上仅有一个零点(20)(共 14 分)2x2解：(I)椭圆C的标准方程为y2 =1.3所以 a = ,3,b =1,c=2 .所以椭圆c的离心率弋专.(II)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1, yj, B(1, yj，直线 AE 的方程 y-1 =(1 yJ(x 2).令 x = 3，得 M (3,2 - yj .所以直线BM的斜率kBM = 2也y1 =1. 3T(III)直线BM与直线DE平行.证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(II)可知kBM =1.1-0又因为直线DE的斜率kDE1，所以BM / DE .21当直线AB的斜率存在

13、时，设其方程为y = k(x-1)(k =1),设 A(X1,y2),B(X2,y2),则直线 AE 的方程为 y-1 心(x-2). x1 -2令 x"，得点 M(3，=).；W得(1 3k2)x2-6k2x 3k2Z.2 26k3k -3所以 X1 X22"X22 .1+3k21+3k2% 为-3Ty2 直线BM的斜率kBM-3 x?(3 - x2)(xi - 2)因为 kBM -1 = k(X1 一1) X1 -3"2 “)(X1 -2) -(3-X2)(x1 -2)(k -1-XjX22(咅 x2) - 31(3 - X2)(Xi - 2)(-m(3_X2)(Xi _2)所以 BM / DE .综上可知，直线BM与直线DE平行.267°罪躺叫267°久耐皿藏从这次考试成绩看， 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是三、解答题(共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)(15) (本小题13分)已知函数 f (x) =si