1996考研数二真题及解析

1、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)x 2(1) 设 y=(x eP)j 则 y心= .J :2 2(2) (x 1-x ) dx 二 . 微分方程y“ + 2y+5y=0的通解为lim xx_:sin ln(1 3) -sin ln(1x1(5)由曲线y = x+ ,x=2及y=2所围图形的面积 S=x二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设当x； 0时,ex -(ax2 bx 1)是比x2高阶的无穷小，则(

2、)1(B)(D)(A) a ,b=121(C) a , b = -12(2)设函数f (x)在区间(-、，)内有定义,若当x (-J ,、)时,恒有|f(x)|_x2,则x=0必是f (x)的()(A)间断点(B)连续而不可导的点(C)可导的点，且f (0) = 0(D)可导的点，且f (0) = 0设f (x)处处可导，则()(A) 当limf(x)-：,必有limf (x)-：(B) 当limf(x)=-：,必有limf (x)-：XRx池 /(C) 当limf(x)=:,必有Jim._f (x)-:(D) 当limf(x)=：,必有limf (x)二畑x 在区间(-：, =：)内，方程

3、| x |4 | X |2COSX = 0()(A)无实根(B)有且仅有一个实根 设f (x), g(x)在区间a, b上连续,且g(x) ： f (x) ： m ( m为常数),由曲线y二g(x),y二f (x), x二a及x = b所围平面图形绕直线 y二m旋转而成的旋转体体积为()(A) 二2m - f (x) g(x) H f (x) - g (x) Idx(B) 二 12m - f (x) - g(x) H f (x) - g (x) dx(C) ! Im - f (x) g(x) H f (x)-g(x)】dx(D) 二 Im - f (x)-g(x) II f (x)-g(x)

4、Idx三、(本题共6小题,每小题5分，满分30分.)ln2 .(1)计算 o-exdx.dx,且 f(u)= 0,求dlydx2 .1s in xx0f(u )du,其中f(u)具有二阶导数 y =f(t2)2,1 x(4)求函数f(x)在x=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.1 +x求微分方程y yx2的通解.(6)设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴与底面成角(0)的平面截此柱体，得一锲形体(如图),求此锲形体的体积 V .2四、(本题满分8分)计算不定积分巒収五、(本题满分8分)r21 -2x2,X1,设函数f(x)二X3,1乞x空2,12x-1

5、6,x2.(1)写出f(x)的反函数g(x)的表达式； g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点六、(本题满分8分)322设函数y二y(x)由方程2y -2y ，2xy-x =1所确定，试求y = y(x)的驻点，并判别它是否为极值点七、(本题满分8分)设f (x)在区间a,b上具有二阶导数，且f(a f (b0, f (a)f (b) 0,试证明：存在 (a,b)和 (a,b),使 f)= 0及 f ( )=0.八、(本题满分8分)设f (x)为连续函数，fy + ay = f (x),(1) 求初值问题的解y(x),其中a为正的常数；儿=0k(2) 若 |f(x)匸 k(k 为常数

6、),证明：当 x_0 时,有 | y(x)|(1-ex).a1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）13（1）【答案】【解析】211 -32【答案】【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质1原式x2 +2xj1 _x2 +(1_x2 )dx= 2xj1-x2 +1】【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质:若f （x）在_a,a上连续且为奇函数,则af(x)dx 二 0 ； -a若f （x）在_a,a上连续且为偶函数,则aaf(x)dx =2 f(x)dx.【答案】y=e c1 cos2x c2 sin2x【解析】因为y、2y：5

7、y=0是常系数的线性齐次方程，其特征方程r2 2r 0有一对共轭复根口丘-1二2i.故通解为y c cos2x c2 sin2x .【答案】2k【解析】因为Xr 时，sinln 11-xln1 xk-（k为常数）,所以,x原式=lim xsinln 1- -lim xsinln M 1 = lim lx 3卡I x丿xt 1 lim I x XT：，. x=3-1=2.1(5)【答案】In2 -21i【解析】曲线y = x , y = 2的交点是1,2 , y - Ix 2,原式 3亠22xe 2 dxe2x -1【相关知识点】2. a 0 时，2 dt1 一t2=1+In (t+Jt21)1

8、1. cscxdx 二 sin xdx = In cscx - cot x + C ,dx22.x -a=ln x + Jx2 _a2 +C .dx(1 - sin x)dx【解析】方法一：1 +sin x *(1+sinx)(1_sin x)12 cos x,sin xdxdx-2cos x=ta nx C. cosx方法二:dxdx方法三：换元法.1 - sincos2 xxdxsexdxdcosx2cos x1 si n x吨sin|)22sec xxd(1 tan)dx = 2Jtan；)2(1 tan-)21 tanx令 tant,贝U x = 2arctant,dx =22.2 t

9、ant2 ,sin x =1 t22t1 tan211 t2dt1 t21 t2dt 一2 (1 t)21 t1 tan(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数，其导数为dy矽=血=2空2)住2)2=41厂住2),dx dxf(t2)dt所以d2ydx212弓贽加訥廿煜“心2)42农)m2)(4)【解析】函数f (X)在X = 0处带拉格朗日余项的泰勒展开式为f(x) = f(0) f (0)x(0)xn-( xn 1,(0 ： 1).n!(n +1)!1 _ x对于函数f (x),有1 +x2_if(x) -1 =2(1 x)-1,1 +xf (x)=2 (-1)(1 x)二 f (x)=2

10、 (-1) ( -2)(1 x)二，川，f(n)(x2(-1)n n!(1 x)4n 1所以 f(n)(0) =2(-1)n n!, (n =1,231(),12 n卅故 f(x)二戶=12x 2x2 |l| (1)n2xn (-1)n1 , X (0:：1)1 +X(1 +Tx)【解析】方法一：微分方程y：y=x2对应的齐次方程y；y = 0的特征方程为a=,b - -1,c = 2,3r20,两个根为* =0, D - -1,故齐次方程的通解为y = G C2e.设非齐次方程的特解 Y = x(ax2 bx c),代入方程可以得到x 132因此方程通解为 y=G C2ex -x 2x.3方

11、法二：32x方程可以写成(y y) =x ,积分得y yq ,这是一阶线性非齐次微分方3程,可直接利用通解公式求解.通解为dxx3dxy 二e (.(c)e dx C)=e ( (- c0)exdx C)二 e (- x3dex c0ex C) 33 A(x3ex -3 exx2dx ) - c0 Ce3e33exx2dx c0 Ce =xe(exx2 -2 exxdx) c0 Ce33=-x2 2e(exx ex) c Ce3x32丄x 2x c1 Ce .3方法三：作为可降阶的二阶方程，令y:JP,则y:$P；方程化为P P=x2,这是一阶线性 非齐次微分方程，可直接利用通解公式求解通解为

12、P =e(5 亠 jx2exdx) = eG x2ex _2xex 2ex)= c0e x2 -2x 2.3再积分得y = q c2e x2 2x.3【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程 P(x)y Q(x)y = f (x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y； P(x)y： Q(x)y =0的通解，则y二Y(x) y*(x)是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 y P(x)y： Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为9 py _ q

13、y = 0.其特征方程写为r2 pr 0,在复数域内解出两个特征根门七；分三种情况：(1)两个不相等的实数根rxr_xma,则通解为y = GeC2e;(2)两个相等的实数根,则通解为 y PG C2x erx1;(3)一对共轭复根”,2 =* 二 i ：,则通解为 y 二 ex G cos ： x CzSin : x .其中 G, C2为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程目 P(x)y： Q(x)y= f(x)的一个特解y (x),可用待定系数法，有结论如下:如果f (x) =Pm(x)ex,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x) = xkQm(x)e的特解,其中Qm(x)是与Pm(

14、x)相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =ePi(x)cos灼X +Pn(x)sin cox,则二阶常系数非齐次线性微分方程x,其中Rjn)(x)与R? (x)是m次多项式，m = maxI, nf,而k按二:i -(或 -r )不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.4. 一阶线性非齐次方程、 P(x)y =Q(x)的通解为-P(x)dx=efP(x)dxQ(x)e dx C其中C为任意常数bV =2 0S(y)dy2-y32 2(6)【解析】建立坐标系，底面椭圆方程为 x2= 1.a b方法一：以垂直于

15、y轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形 其中一条直角边长为 x = a Jb2 _ y2 ,b另一条直角边长为 a Jb2 _ y2，tana , b故截面面积为1 a 22S(y) 2 (b -y ) tan 二.2 b2楔形体的体积为2a2ta n： (bb20方法二：以垂直于x轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形其中一条边长为2y = 2bVa2-x2,a另一条边长为x tan，故截面面积为S(x) = 2bx “ a2-x2 tan：,a楔形体的体积为a=2 0 S(x)dx =2ba-22 .2 2.tan ： x a -x dx a btan: a03四、(本题满分8分)【解析】

16、方法一：分部积分法arctan x2xarcta n x ,dx =x (1 x ),arctanx ,dx dx 1 +x1= arctanxd() - arctanxd(arctanx)x亠 1分部一 一 arctan x + =xx(1 x2)2arctan2 x11arctanx(-xx1x方法二：换元法与分部积分法结合.1刍)dx 丄 arctan2 x1 x22, 1 2 1 2arctanx In x ln(1 x )arctan x C.x2令 arctanx = t,贝V x 二 tan t, dx 二 sec tdt,X2Xt sec t M22 dt =tan2tarct

17、a nx ,x2(1 x2) x 一 tan2t(1 tan2t) dt 二 t cot2 tdt二 t(csc21 -1)dt 二 td (-cott) - tdt亠 1 2分部-tcott cot dt t2.cosx1 2二-tcottdt t sinx211 2=-tcottd si ntt2si nt21 2=tcott + In si nt -一t2 + C .2五、(本题满分8分)【分析】为了正确写出函数 f(x)的反函数g(x),并快捷地判断出函数 g(x)的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的有关性质.【相关知识点】 反函数的性质： 若函数f (x)是单调且连续的，则反函数

18、g(x)有相同的单1调性且也是连续的；函数f (x)的值域即为反函数 g(x)的定义域； g (x一,f&)故函数f (x)的不可导点和使f(X)二0的点x对应的值f (x)均为g (x)的不可导点x ： -1,-1 _ x _8,x 8.【解析】(1)由题设,函数f(x)的反函数为g(x)詔 Vx,x+1612(2)方法一：考察f (x)的连续性与导函数注意12x2,x：1,I 3f (x)二 x ,-1 _ x _ 2,12x-16, x2在(-：，-1),(-1,2),(2, ：)区间上f (x)分别与初等函数相同，故连续在x = -1,x = 2处分别左、右连续，故连续易求得-4x,x

19、 -1,I 2f (x)= 3x2,1：x ：2, f_(1)=4, f.(1) = 3,12, x 2f_(2) =12, f (2) =1 f (2) =12.由于函数f (x)在(y：)内单调上升且连续，故函数g(x)在(-“：)上单调且连续没有间断点由于仅有x = 0时f (x) = 0且f (0) = 0,故x = 0是g(x)的不可导点；仅有 x - -1是f(x)的不可导点(左、右导数 ，但不相等),因此g(x)在f(-1)=1处不可导方法二：直接考察g(x)的连续性与可导性注意X T,1兰x兰8,x+16x 8,! 12 ，g(x)二在(-：，-1),(-1,8),(8, ：)

20、区间上g(x)分别与初等函数相同，故连续在x = -1,x = 8处分别左、右连续，故连续，即g(x)在(：，：)连续，没有间断点g(x)在(-：，-1),(-1,8),(8, ：)内分别与初等函数相同，这些初等函数只有 3x 在x =0不可导，其余均可导在x - -1处,g_= 4,9()= :Xx -1=g (-1)不在 x =8处,g 1(8)=(涙)x(1忑,g (8)p+16丿+丄12x=8-g(8).因此，g(x)在(*,：)内仅有x = 0与x - -1两个不可导点六、(本题满分8分)【解析】方程两边对 x求导，得2 23y y2yy xy yx = 0,(3y2y x)y yx

21、 = 0.令/-0,得y = x，代入原方程得2x3 - x2 -1 = 0 ,解之得唯一驻点x = 1 ；对两边再求导 又得2 2(3y -2y x)y (3y -2y x)xyy -1 = 0.以x=y=1,y =0代入得12y -1, y x厂 2 ,X =1是极小点【相关知识点】1.驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点，临界点)2. 函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时，可以利用下述定理来判定f (x)在驻点处取得极大值还是极小值定理：设函数f (x)在X。处具有二阶导数且 (X。)=0, f(X。)=0,那么(1) 当f

22、(X0) - 0时,函数f (x)在X0处取得极大值；(2) 当f(X0)0时,函数f (X)在X0处取得极小值七、(本题满分8分)【解析】首先证明-(a,b),使f)=0 :方法一：用零点定理.主要是要证明f(x)在(a,b)有正值点与负值点.不妨设f (a) 0,f (b)0.由lim f(x)二f (a)二f (a) 0与极限局部保号性,知在x = a的某右邻域,Jax - a丄卫一- 0，从而 f (x) 0 ,因而-ixi,b xi a, f (xi) 0 ；类似地，由 f (b) 0可证 x-aX2 : X2 : b, f(X2) ： 0 由零点定理，=三(xi, X2) ：_ (

23、a, b),使 f ( J =0.方法二：反证法.假设在(a,b)内f(x)=0,则由f (x)的连续性可得f(x) 0,或f(x)：0, 不妨设f(x) 0.由导数定义与极限局部保号性，f (ar f (ar lim 便徑m 少一0,tx_at x_af (b) = f(b)= lim 3 他二讪他口，7 -x_b7_x_b从而 f (a) f (b)乞 0 ,与 f (a) f(b) 0 矛盾.其次,证明 (a,b), f乙)=0 :由于f = f( J = f (b) =0,根据罗尔定理， (a, ),( ,b),使 f ( J = f ( 2) =0 ;又由罗尔定理，(i,2)(a,b), f ( )=0.注：由 f(x)0 可得：在(X。-、