第A05章 拉压

1、第五章 轴向拉伸与压缩5.1轴向拉伸与压缩的概念5.2轴力和轴力图5.4材料拉伸和压缩时的力学性能5.65.6许用应力 安全系数的选择小 结1第五章拉伸与压缩拉伸与压缩5.1轴向拉伸与压缩的概念受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力 的作用线与杆轴线重合。的作用线与杆轴线重合。变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动。横截面沿轴线平行移动。2第五章拉伸与压缩拉伸与压缩5.2 5.2 轴力轴力 轴力图轴力图截面法：截面法：切、代、平切、代、平NP NP轴力N ：沿杆件轴线的内力。例例3例例：求图示杆1-1、2-2、

2、3-3截面上的轴力解：解：N110kNN25 kNN320 kNCL2TU34NNN12310520 kNkNkN轴力图：描述轴力沿杆件轴线轴力图：描述轴力沿杆件轴线分布的图形（多力杆轴力图）分布的图形（多力杆轴力图）5第五章拉伸与压缩拉伸与压缩应力与内力的关系应力与内力的关系平面假设平面假设拉压杆中横截面上正应力的计算拉压杆中横截面上正应力的计算圣维南原理圣维南原理6 应力的概念应力的概念 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力1、应力的概念、应力的概念为了描写内力的分布规律，我们将为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力单位面积的内力称为应力。在某个截面上，在某个截面上，与该

3、截面垂直的应力称为与该截面垂直的应力称为正应力正应力。与该截面平行的应力称为与该截面平行的应力称为剪应力剪应力。记为：记为：应力的单位：应力的单位：Pa211m/NPa 工程上经常采用兆帕（工程上经常采用兆帕（MPa）作单位）作单位Pamm/NMPa62101172、拉压杆横截面上的应力、拉压杆横截面上的应力杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律我们可以做一个实验我们可以做一个实验PPPP说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或

4、者说横截面上每一点的伸长量是相同的。说横截面上每一点的伸长量是相同的。8PN如果杆的横截面积为：如果杆的横截面积为：AAN根据前面的实验，我们可以得出结论，即横截面根据前面的实验，我们可以得出结论，即横截面上每一点存在相同的拉力上每一点存在相同的拉力9圣维南原理（圣维南原理（P127）5kN |N|max=5kNN2kN1kN1kN+ f f20f f10f f302kN4kN6kN3kN113322做轴力图并求各个截面应力做轴力图并求各个截面应力10MPa8 . 2)1030(4102ANMPa7 .12)1010(4101ANMPa9 .15)1020(4105AN233333233222

5、233111 f f20f f10f f302kN4kN6kN3kN11例例1-1 图示矩形截面（图示矩形截面（b h）杆，已知）杆，已知b = 2cm ，h=4cm ， P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN，求，求AB段和段和BC 段的应力段的应力ABCP1P2 P3P1N1x0PN11KN20PN11MPa25mm/N25mm4020N100020AN22111压应力压应力 P3N20PN32KN60PN32压应力压应力MPaAN7522212例例1-2 图示为一悬臂吊车，图示为一悬臂吊车， BC为为实心圆管，横截面积实心圆管，横截面积A1 = 100mm2

6、， AB为矩形截面，横截面积为矩形截面，横截面积A2 = 200mm2，假设起吊物重为，假设起吊物重为Q = 10KN，求各杆的应力。，求各杆的应力。30ABC首先计算各杆的内力：首先计算各杆的内力：需要分析需要分析B点的受力点的受力QF1F2xy0X0F30cosF210Y0Q60cosF1KN20Q2F1KN32.17F321F121330ABCQF1F2xyKN20Q2F1KN32.17F321F12BC杆的受力为拉力，大小等于杆的受力为拉力，大小等于 F1AB杆的受力为压力，大杆的受力为压力，大小等于小等于 F2由作用力和反作用力可知：由作用力和反作用力可知：最后可以计算的应力：最后可

7、以计算的应力：BC杆：杆：MPa200mm100KN20AFAN211111AB杆：杆：MPa6 .86mm200KN32.17AFAN22222214例：例：图示右端固定的阶梯形圆截面杆，同时图示右端固定的阶梯形圆截面杆，同时承受轴向载荷承受轴向载荷F Fl l与与F F2 2作用。试计算杆的轴力与作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。已知载荷横截面上的正应力。已知载荷F F20 kN20 kN，50 kN50 kN，杆件，杆件A A段与段与C C段的直径分别为段的直径分别为20 mm20 mm与与2 230mm30mm。 15解解: 1.计算支反力计算支反力设杆右端的支反力为设杆右端的支

8、反力为， 由由0 xF得：得：RF2F F 3350 1020 10NN43.0 10N2. .分段计算轴力分段计算轴力1NFF42.0 10 N2NFRF 43.0 10 N 负号说明负号说明B B段轴力的实际方向与所设段轴力的实际方向与所设方向相反，即应为压力。方向相反，即应为压力。163应力计算应力计算由由 NFA得得1-11-1截面应力为：截面应力为：1214NFd424(2.0 10)(0.02)Nm76.37 10 Pa63.7MPa111NFA截面截面22上的正应力为上的正应力为 ：222NFA2224NFd424( 3.0 10)(0.03 )Nm74.24 10 Pa42.4

9、MPa （拉应力）（拉应力）（压应力）（压应力）17注意斜截面应力计算(P127)第五章拉伸与压缩拉伸与压缩5.4材料拉伸和压缩时的力学性能18低碳钢的拉伸实验标准试件标准试件标距标距 ，通常取，通常取 或或lldld51019液压式万能试验机液压式万能试验机底座底座活动试台活动试台活塞活塞油管油管CL3TU520lPPAll21Oabcde221. 弹性阶段弹性阶段 oabOabcde弹性变形：弹性变形：外力卸去后能够恢复的变形外力卸去后能够恢复的变形塑性变形（永久变形）：塑性变形（永久变形）： 外力卸去后不能恢外力卸去后不能恢复的变形复的变形23这一阶段可分为：斜直线这一阶段可分为：斜直线

10、Oa和微弯曲线和微弯曲线ab。Oabcde比例极限比例极限p弹性极限弹性极限e24屈服极限屈服极限2. 屈服阶段屈服阶段 bcOabcde上屈服极限上屈服极限下屈服极限下屈服极限s25表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看见与轴线大致成见与轴线大致成45倾角的条纹。这是由于材倾角的条纹。这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移线。因为在线。因为在45的斜截面上剪应力最大。的斜截面上剪应力最大。26 强化阶段的变形绝大部分是塑性变形强化阶段的变形绝大部分是塑性变形Oabcde3. 强化阶段强化阶段 cd强度极限强

11、度极限b274. 颈缩阶段颈缩阶段 deOabcde28比例极限比例极限p 屈服极限屈服极限s 强度极限强度极限bOabcde其中其中s和和b是衡量材料强度的重要指标是衡量材料强度的重要指标29延伸率延伸率:lll1100%30AAA1100%截面收缩率截面收缩率 :31冷作硬化现象经冷作硬化现象经过退火后可消除过退火后可消除卸载定律：卸载定律：冷作硬化冷作硬化材料在卸载时应力与应变成直线关系材料在卸载时应力与应变成直线关系cdfpe32其它材料的拉伸实验对于在拉伸过程对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段中没有明显屈服阶段的材料，通常规定的材料，通常规定以以产生产生0.2的塑性应变的塑性应变所对应

12、的应力所对应的应力作为屈作为屈服极限，并称为服极限，并称为名义名义屈服极限屈服极限，用，用0.2来来表示表示0 2 .02%.OCL3TU333没有屈服现没有屈服现象和颈缩现象象和颈缩现象,只只能测出其拉伸强能测出其拉伸强度极限度极限bO灰口铸铁的拉伸实验b34一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状hd 1530.35低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的-曲线曲线拉伸拉伸压缩压缩36铸铁压缩时的铸铁压缩时的-曲线曲线bbOO拉伸拉伸压缩压缩b拉b压37开有圆孔的板条开有圆孔的板条带有切口的板条带有切口的板条maxmax因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的因杆件外

13、形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为现象，称为应力集中应力集中第五章拉伸与压缩拉伸与压缩38：发生应力集中的截面上的最大应力：发生应力集中的截面上的最大应力max0理论应力集中系数：理论应力集中系数：max：同一截面上按净面积算出的平均应力：同一截面上按净面积算出的平均应力0max395.65.6许用应力许用应力 安全系数的选择安全系数的选择uunn材料的极限应力 大于 的安全系数1许用应力：杆件实际应力允许达到的最大值。许用应力：杆件实际应力允许达到的最大值。第五章拉伸与压缩拉伸与压缩塑性材料塑性材料usssn40脆性材料脆性材料ubbbn 415.7 5.7 轴向拉伸或压缩时的强度

14、计算轴向拉伸或压缩时的强度计算强度条件强度条件的应用例题42轴向拉压杆内的最大正应力轴向拉压杆内的最大正应力:maxmax()NA强度条件：强度条件：式中：式中： 称为最大工作应力称为最大工作应力 称为材料的许用应力称为材料的许用应力max()max NAmax 强度条件43强度条件的应用一、校核杆的强度一、校核杆的强度 已知已知Nmax、A、，验算构件是否满足，验算构件是否满足强度条件强度条件二、设计截面二、设计截面已知已知Nmax、,根据强度条件，求根据强度条件，求A三、确定许可载荷三、确定许可载荷已知已知A、，根据强度条件，根据强度条件,求求Nmax注意：如果工作应力如果工作应力maxm

15、ax超过了许用应力超过了许用应力，但但 若若maxmax与与之差不超过许用应力的之差不超过许用应力的5%5%，在，在工程计算中仍然是允许的。工程计算中仍然是允许的。44例例：一直径：一直径d=14mm的圆杆，许用应力的圆杆，许用应力=170MPa，受轴向拉力，受轴向拉力P=2.5kN作作用，试校核此杆是否满足强度条件。用，试校核此杆是否满足强度条件。maxmax.NA251041410162326MPa 解：解：满足强度条件。满足强度条件。45例：图示三角形托架例：图示三角形托架,其杆其杆AB是由两根等边角钢组成。已知是由两根等边角钢组成。已知P=75kN, =160MPa, 试选择等边角钢的

16、型号。试选择等边角钢的型号。解：解：由得MNPCAB075,:kNANAB75 10160 10364224.687 10 m4.687cm23mm4,2.359cmA 选边厚为的 号等边角钢 其46例例：图示空心圆截面杆，外径：图示空心圆截面杆，外径D20mm，内，内径径d15mm，承受轴向载荷，承受轴向载荷F20kN作用，材作用，材料的屈服应力料的屈服应力s235MPa，安全因数，安全因数ns1.5。试校核杆的强度。试校核杆的强度。47解：杆件横截面上的正应力为杆件横截面上的正应力为NA224()FDd3224(20 10)(0.020 )(0.015 ) Nmm81.45 10 Pa14

17、5MPa材料的许用压力为材料的许用压力为 ssn6235 101.5Pa81.56 10 Pa156MPa 工作应力小于许用应力，说明杆件能够工作应力小于许用应力，说明杆件能够安全工作。安全工作。48例：例：一断裂的铬锰硅钢管需加套管修理如图所一断裂的铬锰硅钢管需加套管修理如图所示，套管的材料为示，套管的材料为20钢，试确定套管的外径钢，试确定套管的外径D0。已知铬锰硅钢与已知铬锰硅钢与20钢的屈服应力分别为钢的屈服应力分别为s850MPa与与s250MPa，铬锰硅钢管的内、，铬锰硅钢管的内、外径分别外径分别d27mm与与D30 mm。49解解:原钢管所能承受的最大轴向载荷为原钢管所能承受的最

18、大轴向载荷为由由maxmax() ssNAnmaxssAFn224ssDdn2260.0300.027850 104smmPan51.142 10sNn为了保证同样的承载能力，套管的横截面为了保证同样的承载能力，套管的横截面面积应为面积应为 maxssFAn maxssn F561.142 10250 10NPa424.57 10 m50即要求即要求220420.0304.57 104Dmm由此得套管的外径为由此得套管的外径为00.0385Dm取取039Dmm设计截面取大值设计截面取大值51 例：图示桁架，由杆例：图示桁架，由杆1与杆与杆2组成，在节点组成，在节点B承承受集中载荷受集中载荷F作

19、用。试计算载荷作用。试计算载荷F的最大允许的最大允许值即所谓许用载荷值即所谓许用载荷F。己知杆。己知杆1与杆与杆2的横截的横截面面积均为面面积均为A=100mm2,许用拉应力为许用拉应力为t=200MPa，许用压应力为，许用压应力为c=150MPa。解解:1.:1.轴力分析轴力分析 研究节点研究节点B B，其受，其受力如图，建立平力如图，建立平衡方程衡方程520,xF 21cos450NNFF0,yF 1sin 450NFF得得122NNFFFF拉伸压缩2.确定确定F的许用值的许用值由杆由杆1的强度条件的强度条件2tFA得得 532tAF626100 10200 102mPa41.414 10

20、 N由杆由杆2的强度条件的强度条件cFA得得 cFA626100 10150 10mPa41.50 10 N桁架所能承受的最大载荷即许用载荷为桁架所能承受的最大载荷即许用载荷为 14.14FKN注意注意：确定承载取小值确定承载取小值54第五章拉伸与压缩拉伸与压缩 变形的概念 变形公式 桁架的节点位移 简单拉压静不定 刚度条件及其应用 *温度应力和装配应力55纵向应变纵向应变lll bbb ll bb横向应变横向应变纵向变形纵向变形l横向变形横向变形b变形的概念56NllEA 胡克定律胡克定律Hookes law称为横向变形系数或泊松称为横向变形系数或泊松(Poisson)比比1lNlE AE或

21、或 E NAll变形公式EAEA称为拉压刚度称为拉压刚度57lPlE AlxdxdxN x( )N x( )ddlN xE A xx( )( )lN xE A xxl( )( )d例58例例 图图3-33-3所示立拄与横梁用螺栓连接，连接部分所示立拄与横梁用螺栓连接，连接部分ABAB的长度的长度l l=600mm=600mm，直径，直径d d100mm100mm，拧紧螺母时，拧紧螺母时ABAB段的伸长变形段的伸长变形l0.30 mm0.30 mm，立柱用钢制成，立柱用钢制成，其弹性模量其弹性模量E E200GPa200GPa，泊松比，泊松比=0.30=0.30。试计算。试计算螺栓横截面上的正应

22、力及螺栓的横向变形。螺栓横截面上的正应力及螺栓的横向变形。 解：螺栓的轴向正应变为解：螺栓的轴向正应变为 ll3330.30 100.50 10600 10mm根据胡克定律，得螺栓横根据胡克定律，得螺栓横截面上的正应力为截面上的正应力为E93200 100.50 10Pa81.0 10100PaMPa59螺栓的横向正应变为螺栓的横向正应变为 30.30 0.50 1030.15 10 螺栓的横向变形为螺栓的横向变形为 dd330.15 10100 10 m 51.5 100.015mmm 即螺栓直径缩小即螺栓直径缩小0.015mm0.015mm。 60 例：例：图示杆，图示杆，1 1段为直径段

23、为直径 d d1 1=20mm=20mm的圆杆，的圆杆，2 2段为边长段为边长a=25mma=25mm的方杆，的方杆，3 3段为直径段为直径d d3 3=12mm=12mm的圆杆。已知的圆杆。已知2 2段杆内的应力段杆内的应力2 2=-30MPa=-30MPa，E=210GPaE=210GPa，求整个杆的伸长，求整个杆的伸长l lCL2TU1061解解:21232230 2518.75 NNNNAKlN lE AN lE AN lE A1 112 223 33187502101002002404002502001249222. 0272.mm (缩短）62拉压刚度条件及其应用总伸长不得超过许用

24、变形总伸长不得超过许用变形ll1.刚度条件2.刚度条件的应用校核刚度校核刚度设计截面设计截面确定承载确定承载注意：注意：设计截面取大值，设计截面取大值，确定承载取小值。确定承载取小值。例63 例：例：图示圆截面杆，已知图示圆截面杆，已知F F4kN4kN，l ll ll l2 2100mm100mm，弹性模量，弹性模量E E200GPa200GPa。为保证杆件正常。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过工作，要求其总伸长不超过0 010 mm10 mm，即许用，即许用变形变形l l 0.10mm0.10mm。试确定杆径。试确定杆径d d。解：杆段解：杆段ABAB与与BCBC的轴力分别为的轴力分

25、别为122NNFFFF64杆段杆段ABAB与与BCBC的轴向变形为的轴向变形为111122222284NNlFllFEAEdlFllFEAEd所以，杆所以，杆ACAC的总伸长为的总伸长为12lll 122284FlFlE dE d1212FlE d由刚度条件由刚度条件1212FllE d 得得 112FldEl 339312 4 10100 10200 100.10 10NmPam38.7 10 m取取d d9.0mm9.0mm65桁架的节点位移 3.3.设相交于该点的各杆，沿各自杆轴线伸长或设相交于该点的各杆，沿各自杆轴线伸长或缩短，用切线代圆弧，引各杆的垂线交于一点，缩短，用切线代圆弧，引

26、各杆的垂线交于一点，即为节点新位置。即为节点新位置。2.2.在小变形条件下，可按结构的原有几何形状在小变形条件下，可按结构的原有几何形状 与尺寸计算支反力与内力。与尺寸计算支反力与内力。1.1.小变形：小变形： 构件受力所产生的变形与构件原构件受力所产生的变形与构件原有尺寸相比很小。有尺寸相比很小。例66 例：如图所示，该桁架由杆例：如图所示，该桁架由杆1 1与杆与杆2 2组成，并在组成，并在节点节点A A承受集中载荷承受集中载荷F F作用。已知：杆作用。已知：杆l l用钢管用钢管制成，弹性模量量制成，弹性模量量E E1 1=200GPa=200GPa，横截面面积，横截面面积A Al ll00

27、mml00mm2 2，杆长，杆长ll l1m1m；杆；杆2 2用硬铝管制成，弹性用硬铝管制成，弹性模量模量E E2 270GPa70GPa，横截面面积，横截面面积A A2 2250mm250mm2 2；载荷；载荷F=10kNF=10kN。现在分析节点。现在分析节点A A的位移。的位移。解：解：根据节点根据节点A的的平衡条件，杆平衡条件，杆1与与杆杆2的轴力分别为的轴力分别为 3144222 10 101.414 101.0 10NNFFNNFFN拉压67设杆设杆1 1的伸长为的伸长为l1 1，杆，杆2 2的缩短为的缩短为l2 2，则，则441 1196211442 22962221.414 1

28、01.07.07 100.707200 10100 101.0 101.0cos454.04 100.40470 10250 10NNNmF llmmmE APamNmF llmmmE APam 在小变形条件下，用切线代圆弧，过在小变形条件下，用切线代圆弧，过Al与与A2分别作分别作BAl与与CA2的垂线，其交点的垂线，其交点A3可视为节点可视为节点A的新位置。的新位置。22124450.4041.404sin45tan45xyAAAlmmllAAAA Amm 68例：例：图图示托架，由横梁示托架，由横梁ABAB与斜撑杆与斜撑杆CDCD组成，并组成，并承受集中载荷承受集中载荷F F1 1与与F

29、 F2 2作用。试求梁端作用。试求梁端A A点的铅垂点的铅垂位移位移AA。已如：。已如：F F1 15kN5kN，F F2 210kN10kN，l1m1m；斜撑杆斜撑杆CDCD为铝管弹性模量为铝管弹性模量E E70GPa70GPa，横截面，横截面面积面积A=440mmA=440mm2 2。设横粱很刚硬，变形很小，可。设横粱很刚硬，变形很小，可视为刚体。视为刚体。69解：解：1.计算杆的轴向变形计算杆的轴向变形梁梁ABAB受力如图。由平衡方程受力如图。由平衡方程0,BM122sin 300NFlF lF l得得122sin30NF FF332 5 1010 100.5NN 44.0 10 N压缩

30、斜撑杆的轴向变形为斜撑杆的轴向变形为 cos30NF llEA 49624.0 101.070 10440 10cos30NmPam0.0015缩短 2.计算计算A点的铅垂位移点的铅垂位移AAA2CC2cos60l20.00150.00606.00.5mmmm70例：求图示结构结点例：求图示结构结点A的垂直位移。的垂直位移。CL2TU1171解解:NNP122cosllN lEAPlEA1212cos7273例：求图示结构结点例：求图示结构结点A的垂直位移和水平的垂直位移和水平位移。位移。CL2TU1274解解:NPN120,lPlEAl120,N1N2P75例：图示结构中三杆的刚度均为例：图

31、示结构中三杆的刚度均为EA, AB 为刚体，为刚体，P、l、EA皆为已知。求皆为已知。求C点的点的垂直和水平位移。垂直和水平位移。CL2TU1376解解:NNPN13220,llPlEAl13220,N1N3N277简单拉压静不定 为了确定静不定问题的未知力，除应利用为了确定静不定问题的未知力，除应利用平衡方程外，还必须研究变形，并借助变形与平衡方程外，还必须研究变形，并借助变形与内力间的关系，建立补充方程。补充方程数等内力间的关系，建立补充方程。补充方程数等于静不定度。例于静不定度。例静定：根据静力平衡方程即可求出全部支反力静定：根据静力平衡方程即可求出全部支反力和轴力。和轴力。静不定：未知

32、力数目多于静力平衡方程数目。静不定：未知力数目多于静力平衡方程数目。静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。变形协调条件：保证结构连续性所应满足的变变形协调条件：保证结构连续性所应满足的变形几何关系。形几何关系。78例：求图示杆的支反力。例：求图示杆的支反力。CL2TU1579解：静力平衡条件：解：静力平衡条件：RRPAB( ) 1变形协调条件：变形协调条件：lllACBC 0R lE AR lE AAB120R lR lAB122( )引用胡克定律：引用胡克定律：由此得：由此得：联立求解联立求解(1)和和(2), 得：得：RllPRllPAB21,80 例：刚性梁例：刚性梁AD由由1、2、3杆悬挂，已知三杆杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为材料相同，许用应力为，材料的弹性模量，材料的弹性模量为为 E，杆长均为，杆长均为l，横截面面积均为，横截面面积均为A，不计刚，不计刚性梁性梁AD自重，试求结构的许可载荷自重，试求结构的许可载荷PCL2TU168