线性相关性的结论、极大线性无关组ppt课件

1、一、线性相关性的结论一、线性相关性的结论 定理定理1 假设向量组假设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组12,m 线性相关，那么线性相关，那么 可由向量组 12,m 独一线性表示独一线性表示. . 12,m 证明：证明：于是有于是有 12,m 又又线性相关，线性相关，12,线无关，m 性性12,;则秩()=mm 12,1;则秩(, )mm 1212,1;=秩()秩(, )mmmm 1212,;秩(, )=秩()mmm 线性表示线性表示.12,m 向量向量 可由可由 假设有两个不同的线性表示，即假设有两个不同的线性表示，即12,可由唯一线性表示.m 再证独一性再证独一性11221122,

2、mmmmkkklll 线性无关线性无关.12,m 两式相减，得两式相减，得.1112220()()(),mmmklklkl 1122()()()0,mmklklkl 1122,mmklklkl 线性表示，那么线性表示，那么12,m 推论推论1 假设向量假设向量 可可由由 表示式独一的充要条件是表示式独一的充要条件是 线性无关线性无关.12,m 证明：证明： 必要性必要性 反证法反证法线性相关线性相关.12,假设m 那么存在不全为零的数那么存在不全为零的数 12,mk kk11220.(1)mmkkk使使1122,(2)mmlll 有有 线性表示线性表示.12,m 向量向量 可由可由 12,则

3、由线性表示不唯一，m 10,k 不不妨妨令令111+,kll 于于是是有有是不全为零的数是不全为零的数 . .12,又mk kk这与知相矛盾！这与知相矛盾！所以假设不成立所以假设不成立.线性无关线性无关.12,m (1)(2)111222()()()mmmklklkl 设有向量设有向量 与向量组与向量组 ，那么，那么12,m 推论推论2 1) 当 时， 1212(,)(,)mmRRm 独一线性表示独一线性表示.12,m 向量向量 可由可由 2) 当 时， 1212(,)(,)mmRRm 线性表示但不独一线性表示但不独一.12,m 向量向量 可由可由 3) 当 时， 1212(,)(,)mmRR

4、 线性表示线性表示.12,m 向量向量 不能由不能由 123(1,1,1) ,(1,1,1) ,(1,1,1) ,TTT 2(0, ,) ,T 问当问当 取何值时，取何值时， 例例1.1.设设 独一线性表示独一线性表示.123, i)i)向量向量 可由可由 线性表示，但不独一线性表示，但不独一.123, ii)ii)向量向量 可由可由 线性表示线性表示.123, iii)iii)向量向量 不可由不可由 由于12321110(,)111111 解：1321111111110rr 322221 1100 0(3)(12)rr 21312( 1)( 1)2223111002rrrr 1231231.

5、13,(,)(,)3,andRR 所以1231232.0,(,)(,)13;RR 1231233.3,(,)3(,)2.RR 独一线性表示独一线性表示.123, 向量向量 可由可由 线性表示，但不独一线性表示，但不独一.123, 向量向量 可由可由 线性表示线性表示.123, 向量向量 不可由不可由 某一部分组线性相关某一部分组线性相关 原向量组线性相关原向量组线性相关.定理定理2 (部分相关，整体相关部分相关，整体相关) 推论推论 (整体无关，部分无关整体无关，部分无关) 设设 1212+1+(,) ,(,)TTkkkk la aaa aa aa 定义定义1 .接长向量接长向量向量组线性无关

6、向量组线性无关 任一部分组皆线性无关任一部分组皆线性无关.称称 是是 的接长向量的接长向量. 定理定理3 (无关组添加分量仍无关无关组添加分量仍无关) 推论推论 (相关组减少分量仍相关相关组减少分量仍相关) 无关向量组减少分量能够变成相关向量组；相无关向量组减少分量能够变成相关向量组；相关向量组添加分量能够变成无关向量组关向量组添加分量能够变成无关向量组. . 注：注：假设假设k k维向量组维向量组 线性无关，那线性无关，那么接长向量组么接长向量组 12,m 12m ， ， ，也线性无关也线性无关 . .假设假设k+lk+l维向量组维向量组 线性相关，线性相关，那么缩短向量组那么缩短向量组 1

7、2,m 12,m ，也线性相关也线性相关 . .定理定理2、3的解析图的解析图 相关组相关组相关组相关组相关组相关组加加向向量量 减减分分量量无关组无关组无关组无关组减减向向量量 加加分分量量无关组无关组i) 12,riii线性无关；线性无关； 极大线性无关组，简称极大无关组极大线性无关组，简称极大无关组. . 一个部分组一个部分组12,riii假设满足假设满足 定义定义2 212,m 为为一个向量组，它的一个向量组，它的设设线性表示；线性表示；12,riii (1)jjs ii) 对恣意的 可由, j 二、极大线性无关组二、极大线性无关组那么称那么称 12,riii为向量组为向量组 12,m

8、 的一个的一个无关性无关性 极大性极大性 线性相关线性相关.1定义中定义中ii)与下面的与下面的ii)是等价的是等价的2对向量组的讨论归结为对其极大无关组的讨论对向量组的讨论归结为对其极大无关组的讨论.4n维单位坐标向量组是一切维单位坐标向量组是一切n维向量组成的向量维向量组成的向量组的一个极大无关组组的一个极大无关组. . 3任何含有非零向量的向量组一定有极大无关组任何含有非零向量的向量组一定有极大无关组.注：注：12,riii (1)jjs ii)对恣意的 , ,j 例例3.设设123(2,1,4,3) ,( 1,1, 6,6) ,( 1, 2,29) ,TTT ，45(1,1, 2,7)

9、 ,(2,4,4,9)TT ， 求向量组求向量组 12345, 的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组. .注：注：1求极大无关组的方法求极大无关组的方法.2一个向量组的极大无关组不是独一的一个向量组的极大无关组不是独一的.例例4 4求向量组求向量组12(1, 1,2,4) ,(0,3,1,2) ,TT345(3,0,7,14) ,(1, 1,2,0) ,(2,1,5,6)TTT 的极大无关组的极大无关组. . 123451 0 31 21 3 01 1,2 1 72 54 2 14 0 6A 解：解： 作矩阵作矩阵 对矩阵对矩阵A A作初等行变换化行阶梯形或行最作初等行变换化行阶梯形或行最

10、简形简形1 0 3120 3 3030 1 1010 2 242A1 0 3120 0 0000 1 1010 0 0441 0 3121 0 3 0 10 1 1010 1 1 0 10 0 0440 0 0 1 10 0 0000 0 0 0 0 B由矩阵由矩阵 B B 知线性无关且为极大无关组知线性无关且为极大无关组. .124, 125, 135, 134, 定义定义3三、向量组的线性表示与等价三、向量组的线性表示与等价向量组等价向量组等价. . 假设向量组假设向量组 中每一个向量中每一个向量 12,s (1,2, )iis 假设两个向量组可以相互线性表示，那么称这两个假设两个向量组可

11、以相互线性表示，那么称这两个可由向量组可由向量组 线性表示；线性表示； 12,m 12,s 皆可由向量组皆可由向量组 12,m 线性表示，那么称向量组线性表示，那么称向量组1向量组和它的任一极大无关组等价向量组和它的任一极大无关组等价.2一个线性无关的向量组的极大无关组是其本身一个线性无关的向量组的极大无关组是其本身.3一个向量组的恣意两个极大无关组都等价一个向量组的恣意两个极大无关组都等价. 注注4向量组之间的等价关系具有：向量组之间的等价关系具有： 反身性 对称性 传送性 推论推论1 假设向量组假设向量组12,s 可由可由 12,m 线性表示，那么线性表示，那么 1212(,)(,).sm

12、RR 可由可由 线性表示线性表示 12,m 12,s 的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 的秩等于矩阵的秩等于矩阵12(,)m 1212(,)ms 的秩的秩.判别定理判别定理 定理定理4 推论推论2 12,s 与与 等价的充要条件是等价的充要条件是 12,m 12121212(,)(,)(,).msmsRRR 推论推论3 假设向量组假设向量组12,s 可由可由 12,m 推论推论5 假设假设 12,s 与与 等价，且它们等价，且它们 12,m 线性表示，且线性表示，且 那么那么 线性相关线性相关. . 12,s ,sm 推论推论4 假设向量组假设向量组12,s 可由可由 12,m 线性表示，且线性表示，且 线性无关，那么线性无关，那么 12,s .sm 都线性无关，那么都线性无关，那么 .sm 推论推论6一个向量组的恣意两个极大无关组所含一个向量组的恣意两个极大无关组所含的