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文档简介
1、实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一:列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系 起来,找出题目中的相等关系 . 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足: (1) 方程两边表示的是同类量; (2)同类量的单位要统一; (3)方程两边的数值要相等 . 知识点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题:(1) 追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观, 画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程;(2) 相遇问题 :相遇问题
2、也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直 观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和总路程。(3) 航行问题:船在静水中的速度水速船的顺水速度; 船在静水中的速度水速船的逆水速度; 顺水速度逆水速度 2×水速。注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行, 解题方法与船顺水航行、 逆水航行问题类 似。2工程问题: 工作效率×工作时间 =工作量 .3商品销售利润问题:(1) 利润售价成本 (进价 );(2);(3)利润成本(进价)×利润率;标价成本 (进价 )×(1利润率 );(5)实际售价标价
3、215;打折率; 注意:“商品利润售价成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按 标价的十分之几或百分之几十销售。 (例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)4储蓄问题:(1)基本概念 本金:顾客存入银行的钱叫做本金。 利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。本息和:本金与利息的和叫做本息和。 期数:存入银行的时间叫做期数。 利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税:利息的税款叫做利息税。(2) 基本关系式利息本金×利率×期数 本息和本金利息本金本金×利率×期数本金×(1利率×期数 ) 利息税利息&
4、#215;利息税率本金×利率×期数×利息税率。 税后利息利息× (1利息税率 ) 年利率月利率× 12 。注意: 免税利息 =利息5配套问题: 解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例 =每一套各部分之间的比例。6增长率问题: 解这类问题的基本等量关系式是:原量× (1增长率 )增长后的量; 原量× (1减少率 )减少后的量 .7和差倍分问题: 解这类问题的基本等量关系是:较大量较小量多余量,总量倍数×倍量 .8数字问题: 解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n 为整
5、数时,奇数可表示为 2n+1(或 2n-1),偶数可表示为 2n 等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数 = 十位数字 10+个位数字9浓度问题: 溶液质量×浓度 =溶质质量 .10几何问题: 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题: 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等, 两人的年龄差是永远不会 变的12优化方案问题: 在解决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅 行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。注意: 方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出
6、最佳知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤: 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为 “审、找、列、解、答 ”五步,即:(1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数;(2)找:找出能够表示题意两个相等关系;(3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;(4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值;( 5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.要点诠释:(1)解实际应用问题必须写“答” ,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合
7、理,不符合题意的解应该舍去;(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;(3) 一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 .(4) 列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系; 审题时,注意从文字, 图表中获得有关信息; 注意 用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时, 不要带单位;正确书写速度单位,避免与路程单位混淆; 在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含 的条件; 列方程组解应用题一定要注意检验。分类练习:类型一:列二元一次方程组解决行程问题甲、乙两地相距 160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1
8、小时20分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进, 汽车在相遇处停留 1小时后调转车头原速返回, 在汽车再次出 发半小时后追上了拖拉机 . 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?【变式 1】甲、乙两人相距 36千米,相向而行,如果甲比乙先走 2 小时,那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇;如果乙比甲先走 2 小时,那么他们在甲出发 3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少 千米?变式 2】两地相距 280 千米,一艘船在其间航行,顺流用 14 小时,逆流用 20小时,求船在静水中的速度和水流速度类型二:列二元一次方程组解决工程问题2一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工, 8 天可以完成,需付
9、两组费用 共 3520 元;若先请甲组单独做 6 天,再请乙组单独做 12 天可完成,需付两组费用共 3480 元,问: (1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元? (2)已知甲组单独做需 12 天完成,乙组单独做需 24 天 完成,单独请哪组,商店所付费用最少?【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作 6周完成需工钱 5.2 万元;若甲公 司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,还需 9 周完成,需工钱 4.8万元.若只选一个公司单独完成, 从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由 .类型三:列二元一次方程组解决商品销售利润问题3有甲、乙两件商品,甲
10、商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格 调整后,甲商品的利润率为 4%,乙商品的利润率为 5%,共可获利 44 元,则两件商品的进价分别是 多少元?变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B两种商品,销售完后共获利 6万元,其进价和售价如下表:AB进价(元 / 件)12001000售价(元 / 件)13801200注:获利 = 售价 进价)求该商场购进 A、B 两种商品各多少件;【 变式 1】(2011 湖南衡阳)李大叔去年承包了 其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元,乙种蔬菜每亩获利 少亩?10 亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利 18000 元,1500元,李大叔
11、去年甲、 乙两种蔬菜各种植了多类型四:列二元一次方程组解决银行储蓄问题4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000 元钱,一种是年利率为 2.25的教育储蓄,另一种是年利率为 2.25的一年定期存款,一年后可取出 2042.75 元,问这两种储蓄各存了多少钱?(利息所得税利息金额×20%,教育储蓄没有利息所得税)【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000元和 1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利 息 43.92 元 .已知两种储蓄年利率的和为 3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注:公民应 缴利息所得税 =利息金额
12、5; 20%)【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000 元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了 3 次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息 2.25%;第 二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息 税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?类型五:列二元一次方程组解决生产中的配套问题5某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每 2米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖5 只 . 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装 (不考虑布料的损耗 ) ,应分别用多少布料才能使做的衣 身和衣
13、袖恰好配套?【变式 1】现有 190张铁皮做盒子,每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成 一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?【变式 2】某工厂有工人 60 人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母 20个,应分配多少人生产螺栓, 多少人生产螺母, 才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式 3】一张方桌由 1个桌面、 4条桌腿组成,如果 1立方米木料可以做桌面 50 个,或做桌腿300 条。现有 5 立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌 面和桌腿,恰好配成
14、方桌?能配多少张方桌?类型六:列二元一次方程组解决增长率问题 支出比去年减少了 10%,今年的利润为 780 万元,去年的总产值、总支出各是多少万元?. 某工厂去年的利润(总产值总支出)为200 万元,今年总产值比去年增加了 20%,总变式 1】若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元?【变式 2】某城市现有人口 42 万,估计一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加 1.1%,这样全市 人口增加 1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。类型七:列二元一次方程组解决和差倍分问题7.(2011 年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产 帐篷共 9千顶,现某地震
15、灾区急需帐篷 14 千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此,全体职 工加班加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、 1.5 倍,恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内, “爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐 篷多少千顶?【 变式 1】 (2011 年北京门头沟区中考一模试题 ) “地球一小时”是世界自然基金会在 2007 年提出 的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年 3月最后一个星期六 20时30分21时 30分熄灯 一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活中国内 地去年和今年共有 119 个城市
16、参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个, 问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动【 变式 2】 游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到 蓝色与红色的游泳帽一样多, 而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍,你知道男孩与女孩各有 多少人吗?类型八:列二元一次方程组解决数字问题8. 两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较小的两位数, 也得到一个四位数, 已知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位数。3 倍,结果是 23 ;这个两位数除
17、以它的各位数【变式 1】一个两位数,减去它的各位数字之和的 字之和,商是 5,余数是 1,这个两位数是多少?【变式 2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大 5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?【变式 3】某三位数,中间数字为 0,其余两个数位上数字之和是 9,如果百位数字减 1,个位数 字加 1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数。类型九:列二元一次方程组解决浓度问题37,乙种酒精溶液的酒精与水的9现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是比是 41,今要得到酒精与水的比为 32 的酒精溶液
18、 50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少?变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12 千克,现有 10%的盐水与 85%的盐水,这两种盐水各需多少?【变式 2】一种 35%的新农药,如稀释到 1.75%时,治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药 加水多少千克,才能配成 1.75%的农药 800 千克?类型十:列二元一次方程组解决几何问题10如图,用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少?【变式 1】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形,若将此矩形的长边剪掉 3厘米,补到较短边上去, 则得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少?变式 2】一块矩形草坪的长
19、比宽的 2倍多 10m,它的周长是 132m,则长和宽分别为多少?类型十一:列二元一次方程组解决11今年父亲的年龄是儿子的年龄问题5 倍, 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少?【变式 1】今年,小李的年龄是他爷爷的五分之一 .小李发现, 12 年之后,他的年龄变成爷爷的 三分之一 .试求出今年小李的年龄 .类型十二:列二元一次方程组解决优化方案问题:12某地生产一种绿色蔬菜, 若在市场上直接销售, 每吨利润为 1000 元;经粗加工后销售, 每吨利润可达 4500 元;经精加工后销售, 每吨利润涨至 7500 元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140 吨,该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工 16 吨;如果进行细加 工,每天可加
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