实际问题与二元一次方程组应用题归纳

1、实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系 起来，找出题目中的相等关系 . 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足： (1) 方程两边表示的是同类量； (2)同类量的单位要统一； (3)方程两边的数值要相等 . 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1) 追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观， 画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(2) 相遇问题 :相遇问题

2、也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直 观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3) 航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度 2×水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行， 解题方法与船顺水航行、 逆水航行问题类 似。2工程问题： 工作效率×工作时间 =工作量 .3商品销售利润问题：(1) 利润售价成本 (进价 )；(2)；(3)利润成本(进价)×利润率；标价成本 (进价 )×(1利润率 )；(5)实际售价标价&#

3、215;打折率； 注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按 标价的十分之几或百分之几十销售。 (例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)4储蓄问题：(1)基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。(2) 基本关系式利息本金×利率×期数 本息和本金利息本金本金×利率×期数本金×(1利率×期数 ) 利息税利息&

4、#215;利息税率本金×利率×期数×利息税率。 税后利息利息× (1利息税率 ) 年利率月利率× 12 。注意： 免税利息 =利息5配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例 =每一套各部分之间的比例。6增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量× （1增长率 ）增长后的量； 原量× （1减少率 ）减少后的量 .7和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数×倍量 .8数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n 为整

5、数时，奇数可表示为 2n+1（或 2n-1），偶数可表示为 2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数 = 十位数字 10+个位数字9浓度问题： 溶液质量×浓度 =溶质质量 .10几何问题： 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题： 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等， 两人的年龄差是永远不会 变的12优化方案问题： 在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅 行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出

6、最佳知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤： 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为 “审、找、列、解、答 ”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（ 5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合

7、理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 .(4) 列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系； 审题时，注意从文字， 图表中获得有关信息； 注意 用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时， 不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含 的条件； 列方程组解应用题一定要注意检验。分类练习：类型一：列二元一次方程组解决行程问题甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1

8、小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进， 汽车在相遇处停留 1小时后调转车头原速返回， 在汽车再次出 发半小时后追上了拖拉机 . 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？【变式 1】甲、乙两人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少 千米？变式 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20小时，求船在静水中的速度和水流速度类型二：列二元一次方程组解决工程问题2一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工， 8 天可以完成，需付

9、两组费用 共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天 完成，单独请哪组，商店所付费用最少？【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6周完成需工钱 5.2 万元；若甲公 司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8万元.若只选一个公司单独完成， 从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由 .类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题3有甲、乙两件商品，甲

10、商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格 调整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是 多少元？变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B两种商品，销售完后共获利 6万元，其进价和售价如下表：AB进价（元 / 件）12001000售价（元 / 件）13801200注：获利 = 售价 进价）求该商场购进 A、B 两种商品各多少件；【 变式 1】（2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 少亩？10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元，1500元，李大叔

11、去年甲、 乙两种蔬菜各种植了多类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000 元钱，一种是年利率为 2.25的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000元和 1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利 息 43.92 元 .已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应 缴利息所得税 =利息金额

12、5; 20%）【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第 二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元（不计利息 税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖5 只 . 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装 （不考虑布料的损耗 ） ，应分别用多少布料才能使做的衣 身和衣

13、袖恰好配套？【变式 1】现有 190张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成 一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式 2】某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母 20个，应分配多少人生产螺栓， 多少人生产螺母， 才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式 3】一张方桌由 1个桌面、 4条桌腿组成，如果 1立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿300 条。现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌 面和桌腿，恰好配成

14、方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决增长率问题 支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？. 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总变式 1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式 2】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市 人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题7.（2011 年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产 帐篷共 9千顶，现某地震

15、灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职 工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、 1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内， “爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐 篷多少千顶？【 变式 1】 （2011 年北京门头沟区中考一模试题 ） “地球一小时”是世界自然基金会在 2007 年提出 的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年 3月最后一个星期六 20时30分21时 30分熄灯 一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内 地去年和今年共有 119 个城市

16、参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个， 问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动【 变式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到 蓝色与红色的游泳帽一样多， 而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有 多少人吗？类型八：列二元一次方程组解决数字问题8. 两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数， 也得到一个四位数， 已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这两个两位数。3 倍，结果是 23 ；这个两位数除

17、以它的各位数【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 字之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式 3】某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位数字减 1，个位数 字加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。类型九：列二元一次方程组解决浓度问题37，乙种酒精溶液的酒精与水的9现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是比是 41，今要得到酒精与水的比为 32 的酒精溶液

18、 50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式 2】一种 35%的新农药，如稀释到 1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药 加水多少千克，才能配成 1.75%的农药 800 千克？类型十：列二元一次方程组解决几何问题10如图，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？【变式 1】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉 3厘米，补到较短边上去， 则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？变式 2】一块矩形草坪的长

19、比宽的 2倍多 10m，它的周长是 132m，则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决11今年父亲的年龄是儿子的年龄问题5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？【变式 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一 .小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的 三分之一 .试求出今年小李的年龄 .类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题：12某地生产一种绿色蔬菜， 若在市场上直接销售， 每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售， 每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售， 每吨利润涨至 7500 元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 16 吨；如果进行细加 工，每天可加