完全平方公式提高知识讲解

1、完全平方公式（提高）责编：杜少波【学习目标】1.能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（差）的平方即 a22ab b2a b22abb22， a2a b .形如 a22abb2 ， a22abb2 的式子叫做完全平方式 .要点诠释：（ 1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（ 2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2 倍 .右边是两数的和（或差）的平

2、方.（ 3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（ 4）套用公式时要注意字母 a 和 b 的广泛意义， a 、 b 可以是字母，也可以是单项式或多项式 .【高清课堂400108 因式分解之公式法知识要点】要点二、因式分解步骤（ 1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（ 2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（ 3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）要点三、因式分解注意事项（ 1）因式分解的对象是多项式；（ 2）最终把多项式化成乘积形式；（ 3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止【典型例题】类型一、公式法完全平方公式【高清课堂 4

3、00108因式分解之公式法例 4】1、分解因式：（ 1） 3ax26axy3ay 2 ；（ 2） a42a2b2b4 ；（ 3） 16 x2 y2( x24 y 2 )2 ；（ 4） a48a2b216b4 【答案与解析】解：（ 1） 3ax 26axy3ay23a(x22xyy2 )3a( xy) 2 （ 2） a42a2 b2b4(a2b2 )2( ab)(a b) 2(ab)2 (a b) 2 （ 3） 16 x2 y2( x24 y 2 )2(4 xy) 2( x24y2 ) 2(4 xy x24 y2 )(4 xyx24 y2 )( x 2 y)2 (x24xy 4 y2 )(x 2

4、 y) 2 ( x 2 y) 2 （ 4） a48a2 b216b4(a24b2 )2( a2b)( a2b) 2(a 2b) 2 ( a2b)2 【总结升华】（ 1）提公因式法是因式分解的首选法多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：提公因式法；运用公式法（ 2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止举一反三：【变式】分解因式：（ 1） 4( xa) 212( xa)( x b)9( xb)2 （ 2） 4( x y)24( x2y2 ) ( x y) 2 【答案】解：（ 1）原式2( xa) 222( xa) 3( xb) 3( xb)22( xa)3( xb)2(5 x2

5、a3b)2 （ 2）原式2( xy) 222( xy)(xy) ( xy) 22( xy)( xy) 2( x3y)2 2、（ 2016?大庆）已知a+b=3， ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3【思路点拨】 先提公因式 ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解【答案与解析】解： a3b+2a2b2+ab3= ab（ a2+2ab+b 2）= ab（ a+b）2将 a+b=3，ab=2 代入得， ab（ a+b） 2=2 × 32=18 故代数式 a3b+2a2 b2 +ab3 的值是 18【总结升华】 在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较

6、复杂的题目不要轻易去括号举一反三：【变式】若 x ， y 是整数，求证： xy x2 yx 3y x 4 y y4 是一个完全平方数.【答案】解： x y x 2 y x 3 y x 4yy4x y x 4 yx 2y x 3 yy4( x25xy 4 y2 )( x25xy 6 y2 ) y 4令 x25xy4 y2u上式 u(u2 y2 )y4(uy2 )2( x25xy5 y2 ) 2即 xyx 2yx3yx 4 yy4( x25xy 5y 2 )2类型二、配方法分解因式3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：x22x 8 x22x 1 1 8x129x13x 1 3x2x

7、4那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1 的情况：如 x2bx 添上什么就可以成为完全平方式？2 x b22x2bx ( ) x2bx b222因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1 的呢？当然是转化为二次项系数为1 了 . 分解因式： 3x25x 2.【思路点拨】 提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如 3x25x 23x25 x2335 x223x2552366352493x636223x57663x575766x663 x2x13【总结升华】 配方法， 二次项系数为1 的时候， 添加的项应为一次项系数的一半的平方

8、.二次项系数不是1 的时候，转化为二次项系数为1 来解决 .类型三、完全平方公式的应用4、（ 2015 春?娄底期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式 x2±2xy+y 2=（x±y） 2 及（ x±y） 2 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x 4 的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式 =2（ x2+6x 2）=2（ x2+6x+9 9 2）=2 （ x+3）2 11=2（ x+3）2 22x+3） 2 的值为非负数因为无论 x 取什么数，都有（所以（ x+3） 2 的最小值为 0，此时 x= 3进而

9、2（ x+3） 2 22的最小值是 2×0 22= 22所以当 x= 3 时，原多项式的最小值是22.解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式3x2 6x+12 的最小值是多少，并写出对应的x 的取值【答案与解析】2解：原式 =3（ x 2x+4 ）2=3（ x 2x+11+4）2=3（ x 1） +9，2无论 x 取什么数，都有（x1） 的值为非负数，2（ x 1） 的最小值为0，此时 x=1， 3（ x 1） 2+9 的最小值为： 3×0+9=9，则当 x=1 时，原多项式的最小值是9【总结升华】 此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键举一反三：【变式1】若的三边长分别为 a 、b、 c,且满足a216b2c26ab 10bc 0 ，ABC求证： ac2b .【答案】解： a216b2c26ab10bca26ab9b225b210bc c2a25b23bc所以 a 3b25b c2022a3b5bc所以 a3b(5bc)所以 ac2b或8b c a因为 ABC的三边长分别为 a 、 b 、 c ， c ab ，所以 8bcab ，矛盾，舍去 .所以 ac2b.【变式 2】（ 2015春?萧山区期中）若（2015 x）（ 2013 x）=2014，则（ 2015 x）