高等数学教学汤跃宝-课用4-3ppt课件

1、第三节 分部积分法问题:?xxe dx cos?xxdx cos?xexdx arcsin?xdx 处理思绪: 利用两个函数乘积法那么, 推得另一个根本方法分部积分法.特点:被积函数为两个函数的乘积或单一函数.的求导求积分的利用两个函数乘积得(),uvu vuvuvuv dxudv分部积分公式vdu( )uu x设具有延续导数.dvuv( )vv x及上式两边求不定积分,u有,u v ()uv ,u vdx()uv dx.vduuv的求导公式,得.udvuvvdu分部积分公式不定积分不易计算,而不定积分易于计算,计算大为简化.注:udvvdu那么可采用分部积分公式, 使例1求解.udvuvvd

2、uudvcos.xxdx利用分部积分公式cosxxdxsinxxsin xdxsinxxsi()ndxxu dvcos.xC如 例1 的积分求解过程中,假设取那么积分难以进展.假设选择不当,u dvcosxxdx在分部积分中,udv2cos2xxu dv2(cos ).2xdx2cos2xxd显然无法求解.的原那么:,u dv在分部积分中,注:分部积分法的函数乘积的积分常用于( ) ( ).f x g x dx1) v 要容易求得;2)vdu要比udv容易积出.选取.udvuvvdu是根本积分法之一,是两种不同类型被积函数例2求解.udvuvvduudv.xxe dx利用分部积分公式xxe d

3、xxxexe dxxxe(1).xxeCxxdeu dv.xeC例3求解.udvuvvdu2.xx e dx利用分部积分公式2xx e dx2xx exe2xx e2x2xx e2xxe dx2(1)xxeC2(22).xexxC(例2)2dxxe2xdxxde2xx e例4求解ln.xxdxlnxxdx2ln2xxln x2ln2xx212x212x2ln2xx21.4xCx22dx(ln )dx1dxx例5求解arccos.xdxarccosxdxarccosxxarccosxxx( x(直接分部积分)arccosxx22(1)1dxxarccosxx21.xCdxx2 xCudv12(a

4、rccos )dx21)1dxx21xdxx注:或反三角函数,被积函数是单一的对数函数那么直接进展分部积分.(1)ln.xdxudv(2)arctan.xdx(3)arcsin xdxarccos.xdx或例6求解arctan.xxdxarctanxxdx21arctan2xx21arctan2xx212x22.1xdxxarctan x12(arctan )dx212dxarctanxxdx22211arctan22 1xxxdxx21arctan2xx分子和分母的次数一样12x21arctan2xx1arctan2xC解11 122111dxx211(1)arctan.22xxxC例7求解

5、sin.xexdxsinxexdxsin x(第二次)dv(第一次)dvsinxexsinxexsinxexsinxex一样)(dvxecosxexxexecosxxdesindxcosxdxxde.cosdxsinxexdxsincoscosxxxexexe dx循环,sinxex合并同类项, 得1(sincos2.)xexxC被积函数为指数与三角函数的乘积解xecosxexsinxexdxsin xdx在接连几次运用分部积分公式时,的应留意前后几次所选的dv应为一样注:或同类型的函数.例10求解,xt.xedx令xedx2(1)tteCte2,xt那么2.dxtdt于是21.xexC(例2

6、)(复原)(带根式)2tte dt2tdt作业作业(P212) 习题 43 4 , 5 , 9 , 13, 15, 17 , 18 , 19 , 21 , 补例1那么求解依题意,( ).xfx dx是设cosxx( )f x的一个原函数,cos()xx( )xfx dx( )xdf x( )x f x( )f x dxxcosxCxcossin2.xxCx 2sincosxxxxx( ),f xcos()xx例8求解3sec.xdx3sec xdxsecxsec tanxxsec tanxxsec tanxxsec tanxxtan xtan xsecx3(secsec ).xx dxtand

7、x()secdx2sec tanxxsec tanxxdx2(sec1)xdx例8求解3sec.xdx3sec xdxsec tanxxsec tanxx3sec xdx循环, 合并同类项,得3sec xdx 3sec tan(secsec ).xxxx dx1sectanln sectan.2xxxxCsecxdx3sec xdxln sectanxx例9求解22d.()nnxIxa当1n 时,用分部积分法,22()dnnIxax22()nx xa22d ()nxxa22()nx xa221()2nn x xaxdx 22()nx xa22212().nn xxadx 例9求解22.()nn

8、dxIxa22()nnxIxa2222212()nxaandxxa22()nxxa2nnI212.nna I得递推公式12221(21).2()nnnxInInaxa例9求解22.()nndxIxa22()nnxIxa2222212()nxaandxxa22()nxxa2nnI212.nna I得递推公式12221(21).2()nnnxInInaxa122211(21).2()nnnxInInaxa例9求22.()nndxIxa得递推公式122211(21).2()nnnxInInaxa122 1()dxIxa如此作递推公式, 由1arctan,xCaa即可得.nI分部积分法小结类型: 被积

9、函数指数函数(1)naxx e dxc1().osndxbxb (3)cosnxbxdx1.axndeax(2)sinnxbxdxsi1n().nxbxbd和是幂函数或三角函数的乘积.类型:对数函数被积函数(1)lnnxxdx11ln.1nxdxn11arctan.1nxdxn(2)arctannxxdx11arcsin.1nxdxn(3)arcsinnxxdx和是幂函数或反三角函数的乘积.特殊:反三角函数,被积函数那么直接进展分部积分.(1)ln.xdxudv(2)arctan.xdx(3)arcsin,xdxarccos.xdx或或是单一的对数函数;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx;sec)(