高二数学选修2-2111平均变化率ppt课件

1、苏教高中数学选修苏教高中数学选修2-22-21.1(1)导数的概念导数的概念 平均变化率平均变化率* *世界充满着变化世界充满着变化,有些变化几乎不为人们察觉有些变化几乎不为人们察觉,而有而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！些变化却让人们发出感叹与惊呼！微积分主要与四类问题的处理相关微积分主要与四类问题的处理相关:v一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物求物 体在任意时刻的速度与加速度等体在任意时刻的速度与加速度等;v二、求曲线的切线二、求曲线的切线;v三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;v四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长

2、度、面积、体积和重心等。v 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大增减、变化快慢、最大(小小)值等问题最一般、值等问题最一般、最有效的工具。最有效的工具。问题情境问题情境1法国法国 网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名名2121岁的中国人跑的几乎比炮弹还快岁的中国人跑的几乎比炮弹还快, ,赛道上显示赛道上显示12.9412.94秒的成绩秒的成绩已经打破了已经打破了12.9512.95奥运会记录奥运会记录, ,但经验证他是以但经验证他是以12.9112.91秒平了世界纪秒平了世界纪

3、录，他的平均速度达到录，他的平均速度达到8.52m/s8.52m/s。时时 间间3月月18日日4月月18日日4月月20日日日最高气温日最高气温3.518.633.4现有南京市某年现有南京市某年3月和月和4月某天日最高气温记载月某天日最高气温记载:问题情境问题情境2察看：察看：3月月18日到日到4月月18日与日与4月月18日到日到4月月20日的温度日的温度变化，用曲线图表示为：变化，用曲线图表示为： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注（注: 3月月18日为第一天）日为第一天） t(d)203034210203

4、0A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210问题问题1 1：“气温陡增是一句生活用语，它的数学意义气温陡增是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）是什么？（形与数两方面）问题问题2 2：如何量化数学化曲线上升的陡峭程度？：如何量化数学化曲线上升的陡峭程度？问题情境问题情境2问题情境问题情境3某人第某人第1 1秒到第秒到第3434秒的位移时间图象如图所示秒的位移时间图象如图所示: : t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210问题问题1:AB1:AB段与段与BCBC

5、段哪一段位移变化的多段哪一段位移变化的多? ?问题问题2:AB2:AB段与段与BCBC段哪一段位移变化的快段哪一段位移变化的快? ?问题问题3:3:在图形上用什么方法可直接看出哪一段位移变化的快在图形上用什么方法可直接看出哪一段位移变化的快? ? t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210容易看出容易看出BCBC之间的曲线比之间的曲线比ABAB之间的曲线更加峻峭之间的曲线更加峻峭”, ,陡陡峭的程度反映了位移变化的快与慢峭的程度反映了位移变化的快与慢. .问题问题4:4:如何量化曲线的陡峭程度呢如何量化曲线的陡峭程度

6、呢? ?问题情境问题情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)2101.1.曲线上曲线上BCBC之间一段几乎成了直线之间一段几乎成了直线, ,由此联想到如何量化直线的倾斜程度由此联想到如何量化直线的倾斜程度. .2.2.由由B B点上升到点上升到C C点，必须考察点，必须考察yCyCyByB的大小，但仅仅注意的大小，但仅仅注意到到yCyCyB yB 的大小能否量化的大小能否量化BCBC段陡峭程度段陡峭程度? ?为什么？为什么？B在考察在考察yCyCyB yB 的同时必须考察的同时必须考察xCxCxB xB ，函数的

7、本质在于，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言。的改变而言。问题情境问题情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)2103.我们用比值我们用比值 近似地量化近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为位移在区间【值为位移在区间【32，34】上的平均变化率】上的平均变化率.C CB BC CB By y- - y yx x- - x x4.分别计算位移在区间【分别计算位移在区间【1，32】 【3

8、2，34】的平均变化率】的平均变化率.问题情境问题情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210问题问题5:5:位移的平均变化率能否反映每一时刻位移的变化率位移的平均变化率能否反映每一时刻位移的变化率? ?位移的平均变化率只能表示这一段时间里位移大致的变化情位移的平均变化率只能表示这一段时间里位移大致的变化情况况, ,但不能精确的表示每一时刻的位移变化情况但不能精确的表示每一时刻的位移变化情况. .问题情境问题情境3问题情境问题情境32030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (3

9、4, 33.4)v (m/s) t (s)210 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210问题问题6:6:将位移曲线改成速度将位移曲线改成速度曲线曲线, ,你又能得到什么结论你又能得到什么结论? ?2121()()f xf xxx一般地一般地,函数函数f(x)在区间在区间x1，x2上的平均变化率为上的平均变化率为xy (1)曲线陡峭程度是平均变化率的曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化视觉化”(2)平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”无形不直观无形不直观无数不入微无数不入微(3)平均变

10、化率量化一段曲线的陡峭程度是平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的粗糙不精确的”.数学建构数学建构注注(4)平均变化率公式记忆类似直线上两点间的斜率公式平均变化率公式记忆类似直线上两点间的斜率公式.例例1: (1)某婴儿从出生到第某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第别计算从出生到第3个月及第个月及第6个月到第个月到第12个月该婴儿体重的个月该婴儿体重的平均变化率。平均变化率。T(月月)W(kg)639123.56.58.611问题问题: :这两个平均变化率的实际意义是什么这两个平均变化率的实际意义是什么? ?数学应用数学应用点拨

11、点拨: :求平均变化率关键有两点求平均变化率关键有两点 自变量的变化量自变量的变化量x=x2-x1x=x2-x1； 函数值的变化量函数值的变化量y=f(x2)-f(x1);y=f(x2)-f(x1);例例1: (2)水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中后容器甲中水的体积水的体积 （单位：（单位： ），计算第一个），计算第一个10s内内V的平均变化率。的平均变化率。ttV1 . 025)(3cm甲乙问题问题: (1)负号表示什么意思负号表示什么意思?(2)平均变化率可正可负平均变化率可正可负,那能否为那能否为0?请举例说明请举例说明. (3)0.2

12、5cm3/s能否表示能否表示10秒内每一时刻容器甲中水的秒内每一时刻容器甲中水的 体积体积V减少的速度减少的速度?0.25cm3/s数学应用数学应用练习练习1:在经营某种商品中在经营某种商品中,甲乙两人投入相同的资金甲乙两人投入相同的资金,甲挣到甲挣到10万元万元,乙挣到乙挣到2万元万元,能否比较和评价甲能否比较和评价甲,乙两乙两人的经营成果人的经营成果?(注注:甲用甲用5年时间挣到年时间挣到10万元万元,乙用乙用5个月挣到个月挣到2万元万元)解解:甲获利的平均变化率为甲获利的平均变化率为 (万元万元/月月)10015 1206乙获利的平均变化率为乙获利的平均变化率为 (万元万元/月月) 20

13、25051265由由 ，所以乙的经营成果好，所以乙的经营成果好.数学应用数学应用例例2:(1)已知函数已知函数f(x)=2x+1,g(x)=2x, 分别计算在区间分别计算在区间 -3，-1，0，5上函数上函数f(x)及及g(x)的平均变化率的平均变化率.问题问题1:1:一次函数一次函数f(x)=kx+bf(x)=kx+b在区间在区间mm，nn上的平均变化率有上的平均变化率有什么特点什么特点? ?一次函数在任意区间上的平均变化率都是斜率一次函数在任意区间上的平均变化率都是斜率. .问题问题2:2:其它函数在区间其它函数在区间mm，nn上的平均变化率有什么几何意义上的平均变化率有什么几何意义? ?

14、数学应用数学应用01mnPQ 平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义: :函数函数f(x)f(x)曲线上两点曲线上两点P,QP,Q的连线的连线 （割线的斜率即为函数（割线的斜率即为函数f(x)f(x)在区间在区间XPXP，XQ XQ 上的平均变化率上的平均变化率. .函数函数f(x)在区间在区间m，n上的平均变化率为上的平均变化率为:( )( )f mf nkmnxy数学理论数学理论例例2:(2)已知函数已知函数f(x)=x2 ,分别计算分别计算f(x) 在下列区间上的平均在下列区间上的平均 变化率：变化率： 1）1，3；2）1，2；3）1，1.1；4）1，1.001. 432.12.001数学应用数学应用xy13P2O平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的粗糙不精确的”，但，但当当x2x1很小时，这种量化便由很小时，这种量化便由“粗糙逼近粗糙逼近“准确准确”.数学理论数学理论练习练习2: 已知函数已知函数f(x)=x2 ,分别计算分别计算f(x) 在下在下 列区间上的平均变化率：列区间上的平均变化率： （1）0.9，1；（2）0.99，1；（3）0.999，1;（4）0.9999，1;1.91.991.999（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.0011.9999数学