工程力学电子教案（第三版)第6章 杆件的应力和强度ppt课件

1、第6章 杆件的应力与强度内容提要内容提要 本章在介绍材料拉压时的力学性本章在介绍材料拉压时的力学性能的基础上，研究杆件在基本变形时的应能的基础上，研究杆件在基本变形时的应力与强度计算；在介绍应力状态和强度理力与强度计算；在介绍应力状态和强度理论的基本概念以及主要结论的基础上，研论的基本概念以及主要结论的基础上，研究杆件在组合变形时的应力与强度计算。究杆件在组合变形时的应力与强度计算。 本章内容是杆件强度计算的核心。本章内容是杆件强度计算的核心。 第6章 杆件的应力与强度本章内容本章内容 6-8 6-8 连接件的剪切与挤压强度连接件的剪切与挤压强度 6-1 6-1 材料拉材料拉( (压压) )时

2、的力学性能时的力学性能6-2 6-2 杆件拉杆件拉( (压压) )时的应力与强度时的应力与强度6-3 6-3 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度6-4 6-4 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度6-5 6-5 应力状态和强度理论应力状态和强度理论6-6 6-6 杆件在拉杆件在拉( (压压) )与弯曲组合变形时的与弯曲组合变形时的 应力与强度应力与强度6-7 6-7 杆件在弯曲与扭转组合变形时的应杆件在弯曲与扭转组合变形时的应 力与强度力与强度小结小结 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 材料的力学性能是指材料在外力作用下其材料的力学性能是指材料在外力作用下其强度

3、和变形等方面表现出来的性质，它是构强度和变形等方面表现出来的性质，它是构件强度计算及材料选用的重要依据。材料的件强度计算及材料选用的重要依据。材料的力学性能可由试验来测定。力学性能可由试验来测定。 本节以工程中广泛使用的低碳钢本节以工程中广泛使用的低碳钢(含碳含碳量量0.25)和铸铁两类材料为例，引见和铸铁两类材料为例，引见材料在常温、静载材料在常温、静载(是指从零缓慢地增加是指从零缓慢地增加到标定值的载荷到标定值的载荷)下拉下拉(压压)时的力学性能。时的力学性能。 61l 低碳钢在拉伸时的力学性能低碳钢在拉伸时的力学性能1. 拉伸试样拉伸试样 为了便于比较不同材料的试验结果，必为了便于比较不

4、同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标准制成标准试样。须将试验材料按照国家标准制成标准试样。 金属材料常用的拉伸试样如图金属材料常用的拉伸试样如图61所示，所示，中部工作段的直径为中部工作段的直径为d0，工作段的长度为，工作段的长度为l0，称为标距，且称为标距，且l0=10 d0或或l0=5 d0。 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图61 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能2. 拉伸曲线拉伸曲线 将试样装在试验机上，缓慢平稳地加载将试样装在试验机上，缓慢平稳地加载直至拉断。对应着每一个拉力直至拉断。对应着每一个拉力F，试样标距，试样标距l0有一伸长量有一

5、伸长量l。表示。表示F和和l关系的曲线，关系的曲线，称为拉伸曲线或称为拉伸曲线或Fl曲线。曲线。图图62a为为Q235钢的钢的Fl曲线。曲线。 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图62 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能3. 应力应变曲线应力应变曲线 为了消除试样尺寸的影响，将纵坐标为了消除试样尺寸的影响，将纵坐标F和和横坐标横坐标l分别除以试样横截面的原始面积分别除以试样横截面的原始面积A0和标距的原始长度和标距的原始长度l参见式参见式(64)和式和式(71)，得到材料拉伸时的应力应变曲，得到材料拉伸时的应力应变曲线或线或曲线曲线(图图62b)。61 材料拉

6、材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图62 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能4. 低碳钢拉伸的四个阶段低碳钢拉伸的四个阶段 (1)弹性阶段弹性阶段 这一阶段可分为斜直线这一阶段可分为斜直线OA和和微弯曲线微弯曲线AA两段。两段。斜直线斜直线OA段表明段表明与与呈线性关系，即呈线性关系，即=E，材料服从胡克定律，斜直线，材料服从胡克定律，斜直线OA的斜率就是的斜率就是p表示。表示。Q235钢的比例极限钢的比例极限材料的弹性模量材料的弹性模量E。斜直线。斜直线OA的最高点的最高点A对应的对应的应力是应力与应变保持线性关系的最大应力，应力是应力与应变保持线性关系的最大应力，称为

7、比例极限，用称为比例极限，用约为约为200 MPa。 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能超过比例极限后，从超过比例极限后，从A A点到点到AA点，点，与与关系不再是直线，但变形仍然是弹性的。关系不再是直线，但变形仍然是弹性的。AA点点e表示。表示。对应的应力是材料只产生弹性变形的最大应力，对应的应力是材料只产生弹性变形的最大应力，称为弹性极限，用称为弹性极限，用p与与e虽含义不同，但数值接近，虽含义不同，但数值接近，工程上对此二者不作严格区分。工程上对此二者不作严格区分。61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图62 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性

8、能(2)(2)屈服阶段屈服阶段 在在曲线上接近水平线的曲线上接近水平线的小锯齿形线段小锯齿形线段(BC段段)。 这一段中应力在很小范围内波动，而应变有这一段中应力在很小范围内波动，而应变有非常明显的增加，这种现象称为屈服或流动。非常明显的增加，这种现象称为屈服或流动。 屈服阶段中曲线首次下降后的最低应力称为屈服阶段中曲线首次下降后的最低应力称为屈服极限，用屈服极限，用s表示。表示。Q235钢的屈服极限约钢的屈服极限约为为235 MPa。 材料屈服时，光滑试样表面会出现与轴线材料屈服时，光滑试样表面会出现与轴线约成约成45的条纹的条纹(图图63)。这是由于材料内部晶。这是由于材料内部晶格间相对滑

9、移形成的，称为滑移线。格间相对滑移形成的，称为滑移线。61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 材料屈服时产生显著的塑性变形，这是构材料屈服时产生显著的塑性变形，这是构件正常工作所不允许的，因此屈服极限件正常工作所不允许的，因此屈服极限s是衡是衡量材料强度的重要指标。量材料强度的重要指标。图图62 图图63 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能(3)强化阶段强化阶段 CE段称为强化阶段。段称为强化阶段。 屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力。这种现象要使它继续变形必须增加拉力。这种现象 称为材料的强化

10、。该阶段产生的绝大部分变形是称为材料的强化。该阶段产生的绝大部分变形是塑性变形。塑性变形。 强化阶段的最高点强化阶段的最高点E E对应的应力是材料所能对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限或抗拉强度，用承受的最大应力，称为强度极限或抗拉强度，用b表示。表示。Q235Q235钢的强度极限约为钢的强度极限约为400 MPa400 MPa。强度极限是衡量材料强度的另一重要指标。强度极限是衡量材料强度的另一重要指标。61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图62 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能(4) 颈缩阶段颈缩阶段 EF段称为强化阶段。段称为强化阶段。 应力

11、达到强度极限后，在试样的某一局部范应力达到强度极限后，在试样的某一局部范围内，横向尺寸将急剧缩小，形成颈缩现象围内，横向尺寸将急剧缩小，形成颈缩现象(图图64)。此时所需的拉力也迅速减小，最后试。此时所需的拉力也迅速减小，最后试样在颈缩段被拉断，断面呈杯口状。样在颈缩段被拉断，断面呈杯口状。图图6461 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 全屏播放全屏播放单击图片播放影片单击图片播放影片 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性

12、能 试样拉断后，由于保留了塑性变形，试样标试样拉断后，由于保留了塑性变形，试样标距长度由原来的距长度由原来的l0变为变为l1。试样的相对塑性变。试样的相对塑性变形用百分比表示为形用百分比表示为 100001lll （61） 称为延伸率。试样的塑性变形称为延伸率。试样的塑性变形(l1l0)越大，越大，也越大。因此，延伸率是衡量材料塑性的指标。也越大。因此，延伸率是衡量材料塑性的指标。 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图62 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能工程中将延伸率工程中将延伸率5的材料称为塑性材料，的材料称为塑性材料，=2030，是典型的塑性材料。，是

13、典型的塑性材料。5的材料称为脆性材料，如铸铁的的材料称为脆性材料，如铸铁的=0.50.6，是典型的脆性材料。，是典型的脆性材料。 如如Q235钢的钢的而把而把 设试样的原始横截面面积为设试样的原始横截面面积为A0，拉断后断口处，拉断后断口处的最小横截面面积为的最小横截面面积为A1，用百分比表示的比值，用百分比表示的比值 100010AAA （62） 称为断面收缩率。称为断面收缩率。Q235钢的钢的=6070。断面收缩率也是衡量材料塑性的指标。断面收缩率也是衡量材料塑性的指标。 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 如将试样拉伸到强化阶段中某一点如将试样拉伸到强化阶段中某一点D (

14、图图62b)，然后逐渐卸去拉力，则应力和应变关系将沿着大致然后逐渐卸去拉力，则应力和应变关系将沿着大致与斜直线与斜直线OA平行的直线平行的直线DO回到回到O点。这一规点。这一规律称为卸载规律。律称为卸载规律。 图图62b中中OG表示卸载后消失了的弹性应变，表示卸载后消失了的弹性应变，而而OO表示保留下来的塑性应变。表示保留下来的塑性应变。 若卸载后，在短期内重新加载，则应力和应变若卸载后，在短期内重新加载，则应力和应变大致沿卸载时的斜直线大致沿卸载时的斜直线OD上升，到上升，到D点后，仍点后，仍沿原曲线沿原曲线DEF变化。变化。 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 可见重新加载

15、时，直到可见重新加载时，直到D点之前材料的变形点之前材料的变形是弹性的，过是弹性的，过D点后才开始出现塑性变形。所以点后才开始出现塑性变形。所以这种预拉过的试样，其比例极限得到了提高，这种预拉过的试样，其比例极限得到了提高，但塑性变形和延伸率降低。这种现象称为冷作硬化。但塑性变形和延伸率降低。这种现象称为冷作硬化。 在工程中常利用冷作硬化来提高某些构件在工程中常利用冷作硬化来提高某些构件(如钢筋、钢缆绳等如钢筋、钢缆绳等)在弹性阶段的承载能力。在弹性阶段的承载能力。61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图62 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能612 其他塑性材料

16、在拉伸时的力学性能其他塑性材料在拉伸时的力学性能图图6 65 5给出了几种塑性材料的给出了几种塑性材料的曲线。可以看出，除了曲线。可以看出，除了16 Mn16 Mn钢与低碳钢的钢与低碳钢的曲线比较相似外，一些材料曲线比较相似外，一些材料( (如铝合金如铝合金) )没有明显的没有明显的屈服阶段，但它们的弹性阶段、强化阶段和颈缩阶屈服阶段，但它们的弹性阶段、强化阶段和颈缩阶段则都比较明显；另外一些材料段则都比较明显；另外一些材料( (如如MnVMnV钢钢) )则只则只有弹性阶段和强化阶段而没有屈服阶段和颈缩阶段。有弹性阶段和强化阶段而没有屈服阶段和颈缩阶段。61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时

17、的力学性能图图65 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，工程中规定以产生规定以产生0.20.2塑性应变时的应力值作为名义屈塑性应变时的应力值作为名义屈服极限，用服极限，用2 . 0表示表示( (图图6 66)6)。图图66 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能6l3 铸铁在拉伸时的力学性能铸铁在拉伸时的力学性能图图6 67 7是灰铸铁拉伸时的是灰铸铁拉伸时的明显的直线部分，在拉应力较低明显的直线部分，在拉应力较低约约120120180 MPa180 MPa）时就沿横截面被拉断，没有屈服和颈缩现象

18、。拉断时就沿横截面被拉断，没有屈服和颈缩现象。拉断前应变很小，延伸率也很小，约为前应变很小，延伸率也很小，约为0.40.40.50.5，是典型的脆性材料。是典型的脆性材料。曲线。它没有曲线。它没有 铸铁拉断时的应力为强度极限。因为没有屈服铸铁拉断时的应力为强度极限。因为没有屈服景象，强度极限景象，强度极限b是衡量其强度的唯一指标。是衡量其强度的唯一指标。由于铸铁等脆性材料拉伸时的强度极限很低，因此由于铸铁等脆性材料拉伸时的强度极限很低，因此不宜用于制作受拉构件。不宜用于制作受拉构件。61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图67 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能

19、全屏播放全屏播放单击图片播放影片单击图片播放影片 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能6l4 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能 金属材料的压缩试样常制成短的圆柱体，圆柱金属材料的压缩试样常制成短的圆柱体，圆柱的高度约为直径的的高度约为直径的1.53倍。倍。 图图6 68 8是低碳钢压缩时的是低碳钢压缩时的低碳钢等塑性材料压缩时的弹性模量低碳钢等塑性材料压缩时的弹性模量E E和屈服极限和屈服极限s s都与拉伸时基本相同。都

20、与拉伸时基本相同。曲线。试验表明，曲线。试验表明， 屈服阶段以后，试样越压越扁，横截面面积屈服阶段以后，试样越压越扁，横截面面积不断增大，试样抗压能力也继续提高，故测不出不断增大，试样抗压能力也继续提高，故测不出压缩时的强度极限。压缩时的强度极限。61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图68 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 全屏播放全屏播放单击图片播放影片单击图片播放影片 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能铸铁压缩时的铸铁压缩时的但压缩时的强度极限比拉伸时的要高但压缩时的强度极限比拉伸时的要高45倍，且破倍，且破坏前有较大的塑性变形。铸铁压缩试

21、样的破坏断面坏前有较大的塑性变形。铸铁压缩试样的破坏断面较为光滑，断面与轴线大约成较为光滑，断面与轴线大约成4555角。其角。其他脆性材料，如混凝土、石料等，抗压强度他脆性材料，如混凝土、石料等，抗压强度c也也b。因此，脆性材料宜用来。因此，脆性材料宜用来 曲线曲线(图图69)类似于拉伸，类似于拉伸，远高于抗拉强度远高于抗拉强度制作承压构件。制作承压构件。61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能图图6961 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 全屏播放全屏播放单击图片播放影片单击图片播放影片 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能615 极限应力、许用应力和安全

22、因数极限应力、许用应力和安全因数2 .0根据以上分析，塑性材料的应力达到屈服极限根据以上分析，塑性材料的应力达到屈服极限s或名义屈服极限或名义屈服极限塑性变形；脆性材料的应力达到强度极限塑性变形；脆性材料的应力达到强度极限b或或就会发生破坏。这两种情况都会使材料丧失正常的就会发生破坏。这两种情况都会使材料丧失正常的时，就会出现显著的时，就会出现显著的c时，时，工作能力，这种现象称为强度失效。工作能力，这种现象称为强度失效。002 . 00上述引起材料失效的应力称为极限应力，用上述引起材料失效的应力称为极限应力，用表示。对于塑性材料，表示。对于塑性材料，=s或或；对于脆性材料，；对于脆性材料，=

23、b或或61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能0 为了保证杆件有足够的强度，应使杆件的为了保证杆件有足够的强度，应使杆件的工作应力小于材料的极限应力。此外，杆件工作应力小于材料的极限应力。此外，杆件应留有必要的强度储备。在强度计算中，应留有必要的强度储备。在强度计算中，把极限应力把极限应力除以大于除以大于1 1的因数的因数n n，作为，作为表示。表示。设计时的最高值，称为许用应力，用设计时的最高值，称为许用应力，用 即即 n0=（63） 式中，式中，n称为安全因数。称为安全因数。 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能 确定安全因数是一个复杂的问题。一般来说，确定安全因数

24、是一个复杂的问题。一般来说，应考虑材料的均匀性；载荷估计的准确性；计算应考虑材料的均匀性；载荷估计的准确性；计算简图和计算方法的精确性；杆件在结构中的重要简图和计算方法的精确性；杆件在结构中的重要性以及杆件的工作条件等。性以及杆件的工作条件等。 安全因数的选取直接关系到安全性和经济性。安全因数的选取直接关系到安全性和经济性。若安全因数偏大，则杆件偏于安全，造成材料浪若安全因数偏大，则杆件偏于安全，造成材料浪费；反之，则杆件工作时危险。费；反之，则杆件工作时危险。 在工程设计中，安全因数可从有关规范或手册在工程设计中，安全因数可从有关规范或手册中查到。在常温静载下，对于塑性材料，一般取中查到。在

25、常温静载下，对于塑性材料，一般取ns=1.41.7；对于脆性材料，一般取；对于脆性材料，一般取nb=2.53.0。 61 材料拉材料拉(压压)时的力学性能时的力学性能62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度62l 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 因为拉因为拉( (压压) )杆横截面上的轴力沿截面的法向，杆横截面上的轴力沿截面的法向，所以横截面上只有正应力所以横截面上只有正应力。要计算正应力要计算正应力的变形入手。在图的变形入手。在图6 6l0al0a所示拉杆的侧面任意画两所示拉杆的侧面任意画两条垂直于杆轴的横向线条垂直于杆轴的横向线abab和和cdcd。拉伸后可观察到。

26、拉伸后可观察到它们分别平移到了它们分别平移到了abab和和cdcd的位置，但仍的位置，但仍为直线，且仍垂直于杆轴为直线，且仍垂直于杆轴( (图图6 6l0b)l0b)。为此，从观察拉为此，从观察拉(压压)杆杆 根据这一现象，可假设变形前原为平面的横截根据这一现象，可假设变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且垂直于杆轴。这就是平面，变形后仍保持为平面且垂直于杆轴。这就是平面假设。面假设。图图610 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度 根据平面假设，在拉伸时，杆的相邻两横截根据平面假设，在拉伸时，杆的相邻两横截面就象刚性平面一样，相对平移了一个距离。面就象刚性平面一样，相

27、对平移了一个距离。设想杆由无数纵向纤维组成，则每根纤维的变形设想杆由无数纵向纤维组成，则每根纤维的变形一样，因而所受的内力相等，从而可知：横截面一样，因而所受的内力相等，从而可知：横截面上的正应力上的正应力均匀分布均匀分布(图图6l0c)。 图图610 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度 设杆的横截面面积为设杆的横截面面积为A，因为轴力，因为轴力FN是横截面是横截面上分布内力的合力，于是有上分布内力的合力，于是有 FN=A 或或 AFN=（64） 这就是轴向拉伸时横截面上正应力的计算这就是轴向拉伸时横截面上正应力的计算公式。它同样适用于轴向压缩的等截面直杆。公式。它同样适用

28、于轴向压缩的等截面直杆。对于变截面杆，除在截面突变处附近以外，对于变截面杆，除在截面突变处附近以外，此公式也适用。此公式也适用。 正应力的符号与轴力的符号规定相同，即拉正应力的符号与轴力的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。应力为正，压应力为负。62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度图图610 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度622 拉拉(压压)杆的强度条件杆的强度条件 max 为了保证拉为了保证拉( (压压) )杆的正常工作，必须使杆内的杆的正常工作，必须使杆内的最大工作应力最大工作应力不超过材料的许用应力不超过材料的许用应力 。对于等直杆，有对于等

29、直杆，有maxAFmaxN= （65） 上式称为拉上式称为拉(压压)杆的强度条件。杆的强度条件。 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度 根据强度条件，可以解决以下三种类型的根据强度条件，可以解决以下三种类型的强度计算问题：强度计算问题： (1)强度校核强度校核 已知杆的材料、尺寸和承受的已知杆的材料、尺寸和承受的载荷载荷(即已知即已知、A和和FNmax)，要求校核杆的，要求校核杆的强度是否足够。此时只须检查式强度是否足够。此时只须检查式(65)是否成立。是否成立。 (2) (2)设计截面设计截面 已知杆的材料、承受的载荷已知杆的材料、承受的载荷( (即已知即已知 和和FNma

30、x)FNmax)，要求确定横截面面积，要求确定横截面面积或尺寸。为此，将式或尺寸。为此，将式(65)改写为改写为 A maxNF（a） 由此确定横截面面积。再根据横截面形状，由此确定横截面面积。再根据横截面形状，确定横截面尺寸。确定横截面尺寸。 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度 当采用工程中规定的标准截面如型钢）当采用工程中规定的标准截面如型钢）时，可能会遇到为了满足强度条件而须选用过时，可能会遇到为了满足强度条件而须选用过大截面的情况。为经济起见，此时可以考虑选大截面的情况。为经济起见，此时可以考虑选用小一号的截面，但由此而引起的杆的最大正用小一号的截面，但由此而引起的

31、杆的最大正应力超过许用应力的百分数一般限制在应力超过许用应力的百分数一般限制在5%以内，以内，即即 max100%5% （b） (3) (3)确定许用载荷确定许用载荷 已知杆的材料和尺寸已知杆的材料和尺寸( (即已知即已知 和和A )A )，要求确定杆所能承受的，要求确定杆所能承受的最大载荷。为此，将式最大载荷。为此，将式(65)改写为改写为 先算出最大轴力，再由载荷与轴力的关系，确定先算出最大轴力，再由载荷与轴力的关系，确定杆的许用载荷。杆的许用载荷。 FNmaxA （c） 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度 例例6 6l l 图图6 611a11a为三角形托架，杆为三角

32、形托架，杆ABAB为直为直径径d=20 mmd=20 mm的圆形钢杆，材料为的圆形钢杆，材料为Q235Q235钢，许用应钢，许用应力力 =160 MPa=160 MPa，载荷，载荷F=45 kNF=45 kN。试校核杆。试校核杆ABAB的的强度。强度。图图611 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度解解 (1)计算杆计算杆AB的轴力的轴力 取结点取结点B为研究对象为研究对象(图图611b)，列出平衡方程，列出平衡方程Fx=0， FN2cos45FN1=0 Fy=0， FN2sin45F=0联立求解，得联立求解，得FN1=F=45kN 图图611 62 杆件拉杆件拉(压压)时的

33、应力与强度时的应力与强度(2)强度校核强度校核 杆横截面上的应力为杆横截面上的应力为262321Nm102041N104541dF= =143.2106 Pa=143.2 MPa=160 MPa因此杆因此杆AB的强度足够。的强度足够。 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度 例例62 上例中，若杆上例中，若杆AB由两根等边角钢组成由两根等边角钢组成(图图611c)，其他条件不变，试选择等边角钢的，其他条件不变，试选择等边角钢的型号。型号。 图图611 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度解解 (1)计算杆计算杆AB的轴力的轴力 由上例已算得杆由上例已算得杆AB

34、的轴力为的轴力为FN1=45 kN (2)设计截面设计截面 杆杆AB的横截面面积为的横截面面积为 A A Pa10160N1045631NF=0.281310-3 m2=281.3 mm2 查型钢规格表，可选查型钢规格表，可选L253的等边角钢，的等边角钢，其横截面面积为其横截面面积为1.432 cm2=143.2 mm2。采用。采用两根这样的角钢，其总横截面面积为两根这样的角钢，其总横截面面积为2143.2 mm2=286.4 mm2281.3 mm2，可满足要求。可满足要求。 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度 例例6 63 3 图图6 611a11a所示三角形托架中，

35、所示三角形托架中，若杆若杆ABAB为横截面面积为横截面面积A=480 mm2A=480 mm2的钢杆，许用的钢杆，许用应力应力 1=160 MPa 1=160 MPa ；杆；杆BCBC为横截面为横截面2=10 MPa 。求许用载荷。求许用载荷F。面积面积A=10000 mm2的木杆，许用压应力的木杆，许用压应力 图图611 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度解解 (1)求两杆轴力与载荷求两杆轴力与载荷F的关系的关系 在例在例61中，由结点中，由结点B的平衡方程，可得的平衡方程，可得 FN1=F FN1=F拉），拉），FN2=FN2=2F(压压)图图611 62 杆件拉杆件拉

36、(压压)时的应力与强度时的应力与强度(2)求满足杆求满足杆AB强度条件的许用载荷强度条件的许用载荷 杆杆AB的许用轴力为的许用轴力为 FN1=F A1 FN1=F A111因此许用载荷为因此许用载荷为 F A11=48010-6 m2160106 Pa=76800 N=76.8 kN (3)求满足杆求满足杆BC强度条件的许用载荷强度条件的许用载荷 杆杆BC的许用轴力为的许用轴力为2 FN2= FN2=F A22262 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度因此许用载荷为因此许用载荷为 222A2Pa1010m1010000626 F F= =70710 N=70.71 kN为了保证两

37、杆都能安全地工作，许用载荷为为了保证两杆都能安全地工作，许用载荷为 F=70.71 kN 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度623 应力集中的概念应力集中的概念 试验结果和理论分析表明：对于横截面有突试验结果和理论分析表明：对于横截面有突变的杆件，例如，开有圆孔的板条变的杆件，例如，开有圆孔的板条(图图612a)，当其受拉时，在突变点圆孔附近的局部区域内，当其受拉时，在突变点圆孔附近的局部区域内，应力将急剧增加应力将急剧增加(图图612b)，但在离开圆孔稍远，但在离开圆孔稍远处，应力就迅速降低而趋于均匀处，应力就迅速降低而趋于均匀(图图612c)。这种因杆件外形突然变化，而

38、引起局部应力急这种因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。剧增大的现象，称为应力集中。62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度图图612 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度的比值，称为应力集中因数，的比值，称为应力集中因数，maxm发生应力集中的横截面上的最大应力发生应力集中的横截面上的最大应力与该截面上平均应力与该截面上平均应力表示，即表示，即用用mmax（66） 反映了应力集中的程度，是一个大于反映了应力集中的程度，是一个大于1的因数。的因数。截面尺寸改变越急剧，应力集中的程度就越严重。截面尺寸改变越急剧，应力集中的程度就越严重。

39、对于工程中各种典型的应力集中情况，如开孔、对于工程中各种典型的应力集中情况，如开孔、浅槽、螺纹等，其应力集中因数浅槽、螺纹等，其应力集中因数的值可从有关的值可从有关手册中查到。手册中查到。 查出应力集中因数后，利用式查出应力集中因数后，利用式(66)即可求得即可求得最大应力最大应力max，然后进行强度计算。，然后进行强度计算。 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度 应该指出，在静载荷情况下，塑性材料及应该指出，在静载荷情况下，塑性材料及组织不均匀的脆性材料可以不考虑应力集中的影响，组织不均匀的脆性材料可以不考虑应力集中的影响，而组织均匀的脆性材料则必须加以考虑。而组织均匀的脆

40、性材料则必须加以考虑。 但在周期性变化的载荷或冲击载荷作用下，但在周期性变化的载荷或冲击载荷作用下，无论是塑性材料，还是脆性材料，应力集中的影响无论是塑性材料，还是脆性材料，应力集中的影响都必须加以考虑。都必须加以考虑。 应力集中对杆件的工作是不利的。因此，在应力集中对杆件的工作是不利的。因此，在设计时应尽可能使杆的截面尺寸不发生突变，并使设计时应尽可能使杆的截面尺寸不发生突变，并使杆的外形平缓光滑，尽可能避免带尖角的孔、槽杆的外形平缓光滑，尽可能避免带尖角的孔、槽和划痕等，以降低应力集中的影响。和划痕等，以降低应力集中的影响。 62 杆件拉杆件拉(压压)时的应力与强度时的应力与强度63 圆轴

41、扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度63l 圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 圆轴扭转时，在横截面上存在着切应力。这是圆轴扭转时，在横截面上存在着切应力。这是因为只有横截面上的切向微内力因为只有横截面上的切向微内力才能合成为扭矩才能合成为扭矩T(图图613)。dA对圆心对圆心O的力矩，的力矩，图图613 取一等直圆轴，在圆轴表面画圆周线和纵向线取一等直圆轴，在圆轴表面画圆周线和纵向线(图图614a)，在扭转外力偶，在扭转外力偶Me作用下，可以观察到：作用下，可以观察到：各圆周线绕轴线相对旋转了一个角度，但大小、各圆周线绕轴线相对旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周线间

42、的距离不变；各纵向线都倾斜形状和相邻圆周线间的距离不变；各纵向线都倾斜了一个微小的角度了一个微小的角度。变形前表面上的方格，。变形前表面上的方格，变形后错动成菱形。变形后错动成菱形。 从上述观察到的现象，可得到圆轴扭转时的平从上述观察到的现象，可得到圆轴扭转时的平面假设：即圆轴变形前原为平面的横截面，变形后面假设：即圆轴变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面。仍保持为平面。 根据平面假设，圆轴扭转时，相邻两横截面就根据平面假设，圆轴扭转时，相邻两横截面就像刚性平面一样，绕轴线相对转动了一个角度。像刚性平面一样，绕轴线相对转动了一个角度。63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度图图

43、614 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度 圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式为推导从略）算公式为推导从略） pIT（67） 式中：式中：T为横截面上的扭矩，以绝对值代入；为横截面上的扭矩，以绝对值代入；为为横截面上欲求应力的点处到圆心的距离；横截面上欲求应力的点处到圆心的距离；Ip为横为横截面对圆心的极惯性矩。截面对圆心的极惯性矩。 由式由式67可知，横截面上任一点处的切应可知，横截面上任一点处的切应力的大小力的大小与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离成正比。至于成正比。至于切应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致切应力

44、的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致（图（图614b）。）。 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度图图614 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度 极惯性矩极惯性矩Ip是只与横截面形状、尺寸有关的是只与横截面形状、尺寸有关的几何量，常用单位为几何量，常用单位为m4或或mm4。对于直径为对于直径为d的圆形截面：的圆形截面：324pdI（68） 对于内、外径分别为对于内、外径分别为d、D的圆环形截面：的圆环形截面：44p132DI Dd () （69） 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度由式由式(67)可知，在横截面边缘上各点，即可知，在横截面边缘上各

45、点，即=R=R处切应力最大，其值为处切应力最大，其值为（610） pppmax/WTRITITR 式中，式中，Wp=Ip/R称为扭转截面系数，常用单位称为扭转截面系数，常用单位为为m3或或mm3。图图614 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度 对于圆形截面和圆环形截面，扭转截面系对于圆形截面和圆环形截面，扭转截面系数分别为数分别为163pdW（611） 以及以及43p116DW Dd () （612） 应该指出，式应该指出，式67）、（）、（610只适只适用于圆轴，对小锥度圆杆也可近似使用。用于圆轴，对小锥度圆杆也可近似使用。 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度

46、632 圆轴的强度计算圆轴的强度计算对于等直圆轴，最大切应力对于等直圆轴，最大切应力max发生在最大发生在最大max 不超过材料的许用切不超过材料的许用切，即强度条件为，即强度条件为扭矩扭矩Tmax所在截面的边缘上各点处。为了保证圆所在截面的边缘上各点处。为了保证圆轴能安全工作，要求轴能安全工作，要求应力应力 pmaxWTmax= （613） 例例64 某机器传动轴由空心钢管制成，某机器传动轴由空心钢管制成，钢管外径钢管外径D=90 mm，内径，内径d=85 mm，材料的许，材料的许用切应力用切应力=60 MPa，轴传递的功率，轴传递的功率P=16 kN，转速转速n=100 rmin。试校核该

47、轴的扭转强度。试校核该轴的扭转强度。 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度解解 (1) 计算外力偶矩和扭矩计算外力偶矩和扭矩 轴横截面上的扭矩轴横截面上的扭矩T等于外力偶矩等于外力偶矩Me ，即，即nPmin/ r100kW16T=Me=9549=9549=9549=1527.8 Nm=1527.8 Nm(2) 校核轴的扭转强度校核轴的扭转强度 轴内最大切应力为轴内最大切应力为439343mm90mm851m109016mN8 .1527116DTmax= =52.2106 Pa=52.2 MPa=60 MPa 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度 例例65 若上例

48、中的传动轴采用实心轴，其他若上例中的传动轴采用实心轴，其他条件保持不变，现要求它与原来的空心轴强度相同，条件保持不变，现要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径，并比较空心轴与实心轴的重量。试确定其直径，并比较空心轴与实心轴的重量。解解 (1) 确定实心轴的直径确定实心轴的直径D1 因为要求与例因为要求与例64中的空心轴强度相同，故实心中的空心轴强度相同，故实心轴的最大切应力也应为轴的最大切应力也应为52.2 MPa，即，即313116mN8 .152716DDTmax=52.2106 Pa于是于是Pa102 .5216mN8 .1527631D=5.3010-2 m=53 mm 63 圆轴

49、扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度(2)比较空心轴与实心轴的重量比较空心轴与实心轴的重量 上例中空心轴的横截面面积为上例中空心轴的横截面面积为4m1085904262222dDA空空=6.8710-4 m2实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为 A A实实= =4m1053426221D=22.110-4 m2 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比，即重量之比等于横截面面积之比，即2424实空m101 .22m1087. 6AA=0.31 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度 由上可知，在载荷相同的情况下，

50、强度相等由上可知，在载荷相同的情况下，强度相等的空心轴的重量仅为实心轴的的空心轴的重量仅为实心轴的31，其在减轻重量、，其在减轻重量、节约材料上是非常明显的。节约材料上是非常明显的。 这可以用圆轴扭转时横截面上的切应力分布这可以用圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律来解释。对于实心圆截面规律来解释。对于实心圆截面(图图614b)，当其，当其边缘的切应力达到最大值时，圆心附近的切应力很边缘的切应力达到最大值时，圆心附近的切应力很小，材料没有被充分利用。若把圆心附近材料向边小，材料没有被充分利用。若把圆心附近材料向边缘移置，使其成为空心圆截面缘移置，使其成为空心圆截面(图图615)，就会增，就会增大

51、大Ip和和Wp，从而提高轴的扭转强度。，从而提高轴的扭转强度。 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度图图614 图图615 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度633 切应力互等定理切应力互等定理 设矩形网格图设矩形网格图614a沿轴向长为沿轴向长为dx，沿圆周向长为沿圆周向长为dy，以它作为一个面，再沿半径方，以它作为一个面，再沿半径方向取长为向取长为dz，截出一个微小正六面体，称为单元，截出一个微小正六面体，称为单元体图体图616）。）。单元体的左右两侧面是横截面，其上有切应力单元体的左右两侧面是横截面，其上有切应力，且数值相等，但方向相反。为保持单元体的，且数

52、值相等，但方向相反。为保持单元体的。应用平衡关系不难证明：。应用平衡关系不难证明：平衡，上下面上也必然存在大小相等，但方向相反平衡，上下面上也必然存在大小相等，但方向相反的切应力的切应力= (614)63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度（a）图图614图图616（b） 式式6-14阐明，在单元体相互垂直的两个阐明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向则共同指向或背离该对出现，且大小相等，方向则共同指向或背离该两面的交线。这就是切应力互等

53、定理。两面的交线。这就是切应力互等定理。 图图616所示单元体的两对表面上只有切应力，所示单元体的两对表面上只有切应力，没有正应力，另一对表面上没有任何应力，这种没有正应力，另一对表面上没有任何应力，这种应力情况称为纯剪切状态。应力情况称为纯剪切状态。 应用切应力互等定理，可得到圆轴扭转时与应用切应力互等定理，可得到圆轴扭转时与横截面垂直的径向截面上的切应力分布情况横截面垂直的径向截面上的切应力分布情况(图图617)。 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度 图图616图图617 63 圆轴扭转时的应力与强度圆轴扭转时的应力与强度64 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度641

54、 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 在一般情况下，梁的横截面上作用有剪力在一般情况下，梁的横截面上作用有剪力与弯矩。剪力与弯矩是横截面上分布内力的合成与弯矩。剪力与弯矩是横截面上分布内力的合成结果，在横截面上只有切向微内力结果，在横截面上只有切向微内力dA才能合成才能合成dA才能合成才能合成为剪力为剪力FSFS。；只有法向微内力。；只有法向微内力为弯矩为弯矩M(M(图图6 618)18)。因此，梁横截面上一般存在着切应力因此，梁横截面上一般存在着切应力 和正应力和正应力，它们分别与剪力，它们分别与剪力FS和弯矩和弯矩M有关。有关。 图图618 64 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度

55、1. 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 若梁在弯曲时，横截面上只有弯矩而无剪力，若梁在弯曲时，横截面上只有弯矩而无剪力，这种情况称为纯弯曲。这种情况称为纯弯曲。 取一具有纵向对称面的梁，例如矩形截面梁，取一具有纵向对称面的梁，例如矩形截面梁，在其侧面画两条相邻的横向线在其侧面画两条相邻的横向线mm和和nn(代表两个代表两个横截面横截面)，再在两横向线间靠近梁顶面和底面处画，再在两横向线间靠近梁顶面和底面处画两条纵向线两条纵向线aa和和bb(代表两条纵向纤维代表两条纵向纤维)，如图，如图619a所示。在梁的两端施加外力偶所示。在梁的两端施加外力偶Me，使梁，使梁发生纯弯曲。此

56、时可观察到下列现象：发生纯弯曲。此时可观察到下列现象：mm和和nn仍为直线，只是相对旋转了一个角度；仍为直线，只是相对旋转了一个角度；aa和和bb变为弧线，且变为弧线，且aa缩短，缩短，bb伸长；伸长；mm和和nn分别与分别与aa和和bb仍保持正交仍保持正交(图图619b)。64 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度 由上可作如下假设：变形前原为平面的横截面，由上可作如下假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，这就是弯曲变形的平面假设。变形后仍为平面，这就是弯曲变形的平面假设。 图图619 64 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度 根据平面假设，梁弯曲时，相邻两横截面就根据平面

57、假设，梁弯曲时，相邻两横截面就象刚性平面一样，绕各自截面内某一轴相对转动象刚性平面一样，绕各自截面内某一轴相对转动了一个角度。了一个角度。 若设想梁由无数纵向纤维所组成，则梁变形后，若设想梁由无数纵向纤维所组成，则梁变形后，靠近顶面的纤维缩短，靠近底面的纤维伸长。由靠近顶面的纤维缩短，靠近底面的纤维伸长。由于变形是连续的，因而中间必定有一层纤维既不于变形是连续的，因而中间必定有一层纤维既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时横截面绕中性轴转动。可以证明，中性轴通过横横截面绕中性轴转动。

58、可以证明，中性轴通过横截面的形心并垂直于横截面的竖向对称轴截面的形心并垂直于横截面的竖向对称轴（图（图620）。）。64 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度图图620 64 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度可以证明，梁横截面上正应力的计算公式为可以证明，梁横截面上正应力的计算公式为zIMy(615) 式中：式中：M为横截面上的弯矩；为横截面上的弯矩；y为横截面上待求为横截面上待求应力点至中性轴的距离；应力点至中性轴的距离；Iz为横截面对中性轴的惯为横截面对中性轴的惯性矩，它是只与截面形状尺寸有关的几何量，常性矩，它是只与截面形状尺寸有关的几何量，常用单位为用单位为m4或或mm4。

59、 在使用式在使用式(615)计算正应力时，通常以计算正应力时，通常以M、y的的绝对值代入，求得绝对值代入，求得 的大小，再根据弯曲变形判断的大小，再根据弯曲变形判断应力的正拉或负压）。即以中性层为界，应力的正拉或负压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为梁的凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为压应力。压应力。 64 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度 由式由式(615)可知，梁横截面上某点处的正应可知，梁横截面上某点处的正应力力与该点到中性轴的距离与该点到中性轴的距离y成正比，当成正比，当y=0时，时， =0，即中性轴上各点处的正应力为零。中，即中性轴上各点处的正应

60、力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离中性轴最性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离中性轴最远的上、下边缘远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为处正应力最大，一边为最大拉应力最大拉应力tmax，另一边为最大压应力，另一边为最大压应力cmax图图621）。最大应力值为）。最大应力值为 zIMymaxzWMmax= (616) 式中，式中，Wz=Izymax称为弯曲截面系数，称为弯曲截面系数，它只与截面形状尺寸有关，是衡量截面抗弯能力它只与截面形状尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的一个几何量，常用单位为的一个几何量，常用单位为m3或或mm3。64 梁弯曲时的应力与强度梁弯曲时的应力与强度图图