数理统计答案汪荣鑫PPT课件

1、1.在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。解：作变换11100,100,005100iiiiyxayynxay22222222211( 8)( 6)356 0345xyiissyyn 第1页/共92页12.12.设X1,X2,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求E和D。解：XX111( ),()iiiixpExExExnnnn22111()iiiiiDxDxDxDxnnnn13.13.设X1,X2,Xn是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。解：21

2、121( 1,1),0,2123xUExDx 11()0111()3iiiiiiExExExExnnDxDxDxnnn第2页/共92页14.14.设X1,X2,Xn是分布为正态母体的一个子样，求 的概率分布。解：2211()niiYX21( ,),(0,1),.,iinxXNNYY 则y且之间相互独立22221()()iiiiiixYxy由 分布定义 ，Y服从自由度为n的 分布。 22( )Yn2第3页/共92页15.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设。试决定常数C,使得随机变量CY服从分布。解：22123456()()Y

3、XXXXXX21123(0,1),(0,3),XNZXXXN22111(0,1),(1)33ZZN2456ZXXX亦服从N(0,3)且与Z1相互独立， 2222(0,1),(1)33ZZN且与 相互独立。由 分布可加性， 22222221212111()(2),33333ZZZZYc 第4页/共92页17.17.已知 ，求证证明：令( )Xt n2(1, )XFn2( ),(0,1)/UXt nUNn其中2222( ),nUU2且 与独立亦与独立2222,(1, )/UXFXFnn由 分布定义第5页/共92页第二章参数估计1.1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度为f(x)=,00,0 xe

4、xx其中 。试用矩法求的估计量。解：f(x)=（）0( )xe,00,0 xexx001( )xExxf x dxx edx用样本 估计Ex，则有 x11,xx第6页/共92页2.设母体X具有几何分布,它的分布列为PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2,先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估计.解:(1)矩法估计12111(1) (1) kkkkEXkppppppp1px2111(1) )()1 (1)iixxxxxx第7页/共92页(2)极大似然估计11(1)(1)iiinxnxniLppppln() ln(1)lniiLxnpnpln10,1iinxdLnpdpppx第8页/共92页3

5、.设母体X具有在区间a,b上的均匀分布,其分布密度为f(x)=1,0,axbba其他其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计量.解:用 和 分别估计EX和DX得21 , ,()212abXU a b EXDXbaX2S222()12abXbaS33aXSbXS第9页/共92页4.设母体X的分布密度为f(x)=其中(1)求的最大似然估计量; (2) (2)用矩法求 的估计量. 解:1,010,xx其他0( )xf x 1,010,xx其他0( )1最大似然估计1111nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0,lniiiidLnnxdx 第10页/共92页2矩法估计用 估计E

6、X 110( )1EXx f x dxxxdx X1XX第11页/共92页5.设母体X的密度为试求 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计.解：1( ),2xf xex 1111( )()22iixxnnniiiLf xeelnln2lniixLnn 2ln0iixdLnd 得 1iixn 第12页/共92页0( )11222ixxE xE Xx f x dxxedxxedx11()iiiiEExE xnn 是 的无偏估计.第13页/共92页6.设母体X具有分布密度 f(x)= 其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量. 解:似然函数 1,0(1)!0,kkxxexk其他111

7、11()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxexekk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxx ln0,iidLnkkkxdxx或第14页/共92页7.设母体X具有均匀分布密度 ,从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值. 解: ， 的最大似然估计 1( ),0f xx(0,)XUmax2.2ix,1.122EX22221,0.40331212DX第15页/共92页8.设母体X的分布密度为 f(x)=(),0,0 xexx试求 的最大似然估计。解：( )Xf x (),0,0 x

8、exx似然函数()11( )innxiiiLf xelnln(),0iidLLxnd 无解为了使L达到最大， ，尽可能小，尽可能大，而0iixn(1)1,miniii nxxx 第16页/共92页12设母体X服从正态分布 是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）12( ,1),(,)NXX1122133XX（2）2121344XX（3）3121122XX都是 的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：11212212121()333333EExxExEx同理： 都是 的无偏估计。23和第17页/共92页222222123215135111( )( ),( )( )

9、,( )( )339448222DDD3方差最小为有效对形如1,1,niiiiix xxEx且时以 为最有效2Dxn第18页/共92页13.设X1,X2,Xn是具有泊松分布 母体的一个子样。试验证：子样方差 是 的无偏估计；并且对任一值也是 的无偏估计，此处 为子样的平均数( )P*2S*20,1,(1)XSX解：*2( ),XPEXDXEXES*2*2(1)(1)(1)EXSEXES 第19页/共92页14 .设X1,X2,Xn为母体 的一个子样。试选择适当常数C,使 为 的无偏估计。解：2( ,)N 1211()niiiCXX22211221()()()()2()()()iiiiiiiii

10、iiiixxxxxxxx1()()0iiE xx1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxExE xxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()1,2(1)2(1)iiixxEcnn 第20页/共92页18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100, 小时,s=40小时用 估计 ,构造函数1000 x x(0,1)/xuNsn近似给定置信概率 ,有121P uu 即22()1ssP xuxunn 22401000 1.96992.2104

11、01000 1.961007.810sunsun置信下限 x 置信上限 x整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.2,1007.8)小时.第21页/共92页19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数 的置信概率为90%的置信区间 ：（1）若已知（2）若 未知。解：n=16,(1)若已知 ，构造函数0.01();cm*2.125,0.017xs0.01()cm(0,1

12、)/xuNn给定置信概率90%，有21P uu 即0022()1P xuxunn 02()(2.1250.0041)xun置信区间为为第22页/共92页（2）若 未知构造函数*(1)/xTt nSn给定置信概率90%，查得 ，有0.05(15)1.7531t2(1)1p Ttn 母体平均数 的置信概率为90%的置信区间为 ，即（2.1250.0075）*0.05(15)sxtn第23页/共92页21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，,(1)mmmxs

13、nnn构造函数(0,1)/xpuNsn近似给定置信概率95%，有21P uu 即2211(1)(1)1mmmmmmpupunn nnnn nn 故p的置信概率为95%的置信区间为（0.250.11）第24页/共92页22.对于方差 为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数 的置信概率为 的置信区间的长度不大于L?解：2122( ,),XN 已知构造函数(0,1)/xuNn给定置信概率 ，有 ，使12u21P uu 即22()1P xuxunn 置信区间长度 22uLn22224/nuL第25页/共92页23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差 的数值。设（1

14、）n=10, =5.1(2)n=46, =14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。解：（1）n=10,*s*s*s22( ,), ,XN 未知*25.1s用 估计 ,构造函数 给定置信概率 =99%,查表得*2s2*2222(1)(1)nsn1220.0050.995(9)23.589,(9)1.735使2220.9950.005(9)(9)0.99p母体 的置信概率为0.99的置信区间是*2212233(,)(9)ss即(3.150,11.62)第26页/共92页(2)n=46, 时,所求的置信区间是*14s *2*2220.0050.995(1)(1)(,)(45)(45)ns

15、ns即(10.979,19.047)第27页/共92页25.设母体X服从正态分布 , 和 是子样X1,X2,Xn的平均数和方差; 又设 ,且与X1,X2,Xn独立,试求统计量 的抽样分布.解:2( ,)N X2nS21( ,)nXN 111nnXXnSn12221()01()(1)nnE XXD XXnn,又 1,nXX服从正态分布,故 , 1(0,1)11nXXNn222(1)nnSn又2nS与1,nXX独立第28页/共92页根据t分布定义1122211(1)11(1)nnnnnXXXXUnnTt nnSSnnnSnn第29页/共92页26.设X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分别是从分布为

16、 两个母体中抽取的独立随机子样, 分别表示X和Y的子样平均数, 和 分别表示X和Y的子样方差.对任意两个固定实数 和 ,试求随机变量2212(,)(,)NN 和XY和*xS*yS122222()()2xyXYYmSnSmnmn的概率分布.第30页/共92页解: 是正态变量线性组合,仍服从正态分布.XY122221222()()()()()(0,1)EXYDXYmnXYUNmn又222222(1),(1)yxnSmSmn且相互独立由 分布可加性 ,22222(2)xymSnSmn且与XY独立根据t分布定义122222222()()(2)(2)2xyxyXYUTt mnmSnSmSnSmnmnmn

17、第31页/共92页27.从正态母体中抽取一个n45的大子样,利用第一章2.2中 分布的性质3,证明方差22的置信区间(给定置信概率为 )是1*2*222(,)221111SSuunn第32页/共92页证明:对正态母体 的置信概率为 的置信区间是21*2*222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn当n45时,2( )2nnnu222(1)(1)2(1)nnnu211222(1)(1)2(1)(1)2(1)nnnunnu(1)代入(1)式,即*2*222(,)221111SSuunn证毕.第33页/共92页29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)

18、并计算得:* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs设测试数据分别具有分布21(,)N 和22(,)N .试求 的置信概率为95%的12置信区间.第34页/共92页解:2212(,),(,)ABXNXN ,4,5ABnn* 2* 20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs121*(2)(2)11ABABXXTt nnSnn构造函数给定置信概率95%,查得 ,使0.025(7)2.3646t0.025(7)95%P Tt所求置信下限为:*0.02511(7)0.00330.004060.0007645ABx

19、xts 置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736 (-0.00076,0.00736)为 的置信概率为95%的置信区间.12第35页/共92页31.两台机床加工同一种零件,分别抽取6个和9个零件,测得其长度计算得*2*2120.245,0.357ss假定各台机床零件长度服从正态分布.试求两个母体方差之比 的置信区间(给定置信概率为95%).2122解:*2*211226,0.245;9,0.357nsns构造函数221221*2*212/(1,1)/FF nnSS给定置信概率 ,有195%*22*21112121*22*2122222(1,1)(1,1)1SSP FnnFnnS

20、S 查表0.0250.02511(8,5)6.76,(5,8)4.82FF所求置信区间的置信下限为10.2450.1424.820.357置信上限为0.2456.764.640.357第36页/共92页34.从一批某种型号电子管中抽出容量为10的子样,计算得标准差 (小时).设整批电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命标准差 的单侧置信上限(置信概率为95%).*45s 解:n=10, (小时)*45s 构造函数*2222(1)(1)nSn给定置信概率95%,查20.95(9)3.325,使221(1)1Pn 即*2220.95(1)0.95(9)nsP故所求 的置信概率为95%的置信上限为2

21、9 453 4574.053.3251.823第37页/共92页第三章第三章 假设检验假设检验第38页/共92页1.从已知标准差 的正态母体中,抽取容量为n=16的子样,由它算得子样平均数 .试在显著水平0.05下,检验假设H0:2 . 556.27x26解:1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量26) 1 , 0(/0Nnxu3.给定显著水平 ,有 ,使05. 096. 12u2uuP即05. 096. 1/00nxP4.由样本n=16,56.27x代入96. 12 . 14/2 . 52656.272uu接受H0第39页/共92页2.从正态母体 中取100个样品,计算得)

22、1 ,(N32. 5x(1)试检验H0:(2)计算上述检验在 时犯第二类错误的概率.5是否成立?)01. 0(8 . 4解 : (1)1.建立原假设H0: 2.在H0成立前提下,构造统计量5) 1 , 0(/0Nnxu3.给定显著水平 ,有 ,使01. 0575. 22u2uuP即01. 0575. 2/00nxP代入575. 22 . 310/1532. 5u拒绝H0第40页/共92页(2)真实 时,8 . 4719. 0)575. 0()575. 0()575. 4()575. 210/18 . 45()575. 210/18 . 45()/()/(212102102)(002021unu

23、nxdenHnx接受域第41页/共92页3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布。问在下 能否接受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。解：设 ， 未知，计算 .252， =0.013。（1）建立假设 ：（2）在假设成立的前提下，构造统计量 01. 0),(2Nx2x*s0H25. 3第42页/共92页xu ) 1(/)(*0nttnsx（3）给定 ,查得 =4.6041（4）由样本计算， = =0.34 =5p414341243413434125681建立假设 ：母体X的分布律为上述分布律在 成立的前提下，构

24、造统计量给定显著水平 ，查得0H)4(25122iiiinpnpm）（0H)4(2第72页/共92页2568125681362562725627286492006492003216320016320048505056)4(2222222）（由样本计算，使p第73页/共92页02488. 9405. 760. 026. 253. 094. 272. 0H接受）（第74页/共92页方差分析习题方差分析习题1.为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值 作变换 ，其中b、c是常数，且 。试用 表示组内离差和组间离差，并用他们表示F的值。i jx0b ijyijijyb xc第75页/共92页解： 由第

25、一章习题3可知 组内离差 组间离差 ijijyb xc2221xyssb222211AiiAiijQni xxni yQbby22221111rniEijiijiEijijQxxyyQbb/1/1/AAEEQrQrFFQnrQnr第76页/共92页2.有四个厂生产1.5伏的3号电池。现从每个工厂产品中各取一子样，测量其寿命得到数值如下：生产厂 干电池寿命（小时） A24.7 ，24.3，21.6，19.3，20.3 B30.8，19.0，18.8，29.7 C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1问四个厂干电池寿命有无显著

26、差异（ ）？5%第77页/共92页解：1.建立假设 ： 四个水平下母体 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 0H12342,iixN 0H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr来源 离差平方和 自由度均方离差 F组间r-1=320.230.5366组内n-r=1637.7总和 663.924160.7AiiQni xx2411603.2niEijiijQxx3,163.24F F1,接受 ，四个厂的干电池寿命无显著差异0H第78页/共92页3.抽查某地区三所小学五年级男学生的身高，得如下数据：小学身高数据（厘米）

27、第一小学128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小学150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，155.8第三小学140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.4试问该地区三所小学五年级男学生的平均身高是否有显著差异（ ）？5%第79页/共92页解： ，I=1,2,3 1.建立假设 ： 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 2,iixN 0H1230H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr来源 离差平方和 自由度均方离差 F组间r-1=2233

28、.084.375组内n-r=1553.28总和21466.16rAiiQni xx2799.3EijiijQxx0.052,153.68F ， 所以拒绝 ，认为三所小学五年级男生平均身高有显著差异0.052,15FF0H第80页/共92页4.在一元方差分析中， ，而 ，试求 的无偏估计量及其方差。 1,2, ;1,2,ijiijxjn ir 10riiini第81页/共92页解：在第i水平下 , 估计量为 而总的平均 的估计量为 的估计量为 是无偏的 1,2, ;1,2,ijiijxjn ir iixxiiiixxiiiEExExi211222122222222212221111122iirriijjijjjjriijjjrjjiiiDD xxnD xn xDxDn xnnnnDxnjinnnnnnnnnnnnnn第82页/共92页1.通过原点的一元回归的线形模型为 其中各 相互独立，并且都服从正态分布 。试由n组观察值 ，用最小二乘法估计 ，并用矩法估计,1,2,iiiYxini20,N,1,2,iix yin2回归分析习题回归分析习题第83页/共92页解 ： ； 的矩法估计 ,1,2,iiiYxin20,iN21minniiiQyx22220,iiiiiiiiix yQyx xx 22222222212iiixyyxyxyxynx第84页/共92页2.在考