第七节极限存在准则及两个重要极限ppt课件

1、 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限第七节第七节 极限存在准则及两个重要极极限存在准则及两个重要极限限20sinlim?1xxxe 0,0上式分子分母都趋于但是无法消上式分子分母都趋于但是无法消去趋向 因子去趋向 因子0ln(1)lim?arctanxxx !还需要新的极限方法一、极限存在准则一、极限存在准则 本节先介绍两个极限是否存在的判定准则本节先介绍两个极限是否存在的判定准则, 并利用它们来推并利用它们来推导出两个重要极限导出两个重要极限.1. 夹逼准则夹逼准则证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取

2、恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况.注注,.nnnnyzyz利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关键键是是构构造造出出与与并并且且与与 的的极极限限是是容容易易求求的的 在构造在构造yn, zn 或或 g(x), h(x)的时候可以采取将的时候可以采取将xn 或或 f(x),适当地缩小适当地缩小, 适当地扩大适当地扩大, 适当的标准为适当的标准为yn, zn 或或 g(x),

3、h(x)的极限容易求出的极限容易求出, 且且yn, zn 或或 g(x), h(x)的的极限相等极限相等.xn ynzn适当缩小适当缩小适当扩大适当扩大h(x)g(x)适当缩小适当缩小适当扩大适当扩大f(x)00()()lim( )lim( ),xxxxxxg xh xAlimlim,nnnnyzA例例1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn1 321lim().2 42nnn 求求1 321

4、2 42.2 423 521nnnn 解解21 3211 2 3 4212()2 422 3 4 5221nnnnnn 121n 1 32112 4221nnn 1 321lim()0.2 42nnn 从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则，需要用到体现从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则，需要用到体现函数极限与数列极限关系的一个定理函数极限与数列极限关系的一个定理. Axfxxx)(,0:, 0, 00就就有有使使得得(自学自学)证证 必要性必要性即即,)(lim0Axfxx 根据假设根据假设定理定理 .)(lim,)(lim000AxfNnxxxxAxfnnnnxx 都都有有）（的的数数列列对对每每

5、个个收收敛敛于于点点存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是xnx Axfxxxnnn)(,0:,0有有特特别别 00,),(, 0,limxxNnNxxnnn就有就有使得使得自然数自然数对上述对上述根据定理假设根据定理假设00, 0,nnxxxx 注注意意到到即即有有于于是是得得到到 00,),(,0 xxNnNn有有使使得得自自然然数数 Axfn)(从从而而就就有有证毕证毕Axfnn )(lim即即00 lim( ),0,xxf xA 充充分分性性 假假设设则则*00*01/|0 ()nnnnnxxxxf xA 对取,则对取,则使得 使得 *0lim1/0,01/nnnnxxn 因因为为0

6、0,*,0*xxx 对对都都有有尽尽管管0 ( *)f xA 仍仍有有*0limnnnxxx 所所以以数数列列满满足足* lim()nnf xA 但是但是与条件矛盾与条件矛盾注注 此定理常用于判断函数极限不存在此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf例例 证明证明xx1sinlim0不存在不存在 . .证证 取两个趋于取两个趋于 0 0 的数列的数列21nxn及及221nxn),2, 1(n有有nnx1sinli

7、mnnx1sinlim由定理由定理 知知xx1sinlim0不存在不存在 .02sinlimnn1)2sin(lim2nn2. 单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调不减单调不减,121 nnxxxx单调不增单调不增单调数列单调数列几何解释几何解释: 假设假设xn单调不减单调不减,xn有两种可能有两种可能,即移向无穷即移向无穷远或无限接近某一定点远或无限接近某一定点A,因因xn有上界有上界M, 那么那么xn的极限的极限存在且不超过存在且不超过M .准则的含义准则的含义: 单调不减且有上界的数列必有极限单调不减且有上界的数列必有极限; 单调不单调不

8、增且有下界的数列必有极限增且有下界的数列必有极限.利用极限存在准则利用极限存在准则II可以证明一些极限的存在性可以证明一些极限的存在性, 并求极限并求极限. 例例2 2.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx limnnxA 设设,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx limnnu 故故存存在在. .1211 (1)(1) 122nnnuaauau 而而，11 ()2n

9、nnauuu 因因为为,nnauau ,nu则则有有下下界界1 nnnuuu 则则, , 从从而而单单减减；1110,()(1,2,0)lim2nnnnnauuunauu 设设且且，求求例例3解解2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx,32AA 于是于是11limlim()2nnnnnauuu 1()2aAAA 则则有有 Aa limnnua 故故lim,0nnuAAa 设设解得解得2Aa102 ,0,lim1nnnnnxxxxx 算算012 0, 0, 01 ,0;nnnnnxxxxxn x 解解 因因为为假假设设则则由由归归纳纳法法知知 对对212(1) 11

10、nnnnnnnnnxxxxxxxxx 由由0 11; limlim11;nnnnxxx 知知, ,0000000101221,1,11,1, ,nnnnnnnnnnnxxxxxxxxn xxxx 若若有有故故时时有有单单调调减减少少 、有有下下界界，211 lim,limlim2 , 1;1nnxnnxnnnxanxaaaa 设设令令得得解解得得 lim1nnx 综综上上得得000001021,1,1,1, ,; lim;nnnnnnnnxxxxxxxn xxx 若时 有故时 对若时 有故时 对单调增加有上界存在单调增加有上界存在lim; nnx存在存在(1)1sinlim0 xxx)20(,

11、 xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 二、两个重要极限二、两个重要极限ACxoBDACoxBD,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注注10 sintan2xxxx 当当时时，0 sin()tan(), sintan2xxxxxxx 当当- -时时, ,即即于是于是0 sintan2

12、xxxx 当当时时，类似可得类似可得 sin2xxx 当当时时，综上所述综上所述 sinxRxx 当当时时， sintan2xxxx 当当时时，注注20sinlim1xxx 的形式特点的形式特点:i) 极限呈极限呈 ；0 0型型0sin(1)lim1(2) ii) 中中(1)和和(2)的表达式必须相同的表达式必须相同.当当(1)和和(2)的表达式不相同时的表达式不相同时, 必须作恒等变换凑必须作恒等变换凑(2)与与(1)一样一样.注注30sinlim1xxx 的变形形式的变形形式:1limsin1xxx 01limsin0 xxx 区别区别001sin1limsinlim11xxxxxx 1l

13、imsin0 xxx sinlim1xxx 缺一不可缺一不可0sin3lim2xxx00sin333sin33limlim32232xxxxxxxx 例例30 tanlimxxx201 coslimxxx 2202sin2limxxx 202sin12lim2()2xxx 20sin112lim222xxx0sin1lim1cosxxxx 0sinlimxaxabxb 一般地一般地0arcsin1. limxxx0arcsinlimxxx解解arcsintx 令令0lim1sinttt 2. lim 2sin ()2nnnxx 为为非非零零有有限限数数sin2lim 2sinlim22nnnn

14、nnxxxxx 解解0sinsin3. lim xxxx 002cossinsinsin22lim= limxxxxxxxx 0sin2= lim 2cos222xxxx 221sin4. lim21xxxx 22211sinsin1limlim122121xxxxxxxxx 解解30sintan5. limxxxx 230022sin(cos1)sinsin12 =limlim.24()2xuxxxxxxx 解解 原原式式sin6. limxxx 0sin() limxtttt 解解原原式式:0 x注注意意 正正弦弦的的自自变变量量 不不趋趋向向 ！0sinlim1ttt 01 (1) li

15、msin1; (2) lim1;tanxxxxxx 在下列等式中在下列等式中, 错误的选项是错误的选项是( )02sinsin (3) lim1; (4) lim1;xxxxxx (3)(2)exxx )11(lim1(1)nnan 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 考虑考虑 x 取正整数取正整数 n 且趋于且趋于时的情形下先证时的情形下先证 存在存在.1lim(1)nnn 11111(1)2!11121(1)(1)(1)!121112(1)(1)(1).(1)!121nannnnnnnnn

16、nn 类似地类似地,因为因为111 (1,2,1)1kkknnn 1na 且且多了最后一项多了最后一项,从而从而 an 单增单增. 对任意的对任意的 n 有有!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx 这个极限值被瑞士欧拉首先用字母这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理数是一个无理数, 其值用其值用e = 2.7182818284)来表示来表示, 即即1lim(1)nnen ,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e

17、11111lim (1)lim (1)lim (1) 1 1 1xxxxxexxx, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e ,1xt 令令exxx 10)1(lim于是于是1lim (1)xxex 等价形式等价形式101lim(1)lim(1)txxtxet .)11(limexxx 注注11lim(1)xxex 的形式特点的形式特点:i) 极限呈极限呈 ； 1 型型(2)lim(1(1)xe ii) 中中(1)和和(2)的表达式连同符号是互为倒数的表达式连同符号是互为倒数.当当(1)和和(2)的表达式不互为倒

18、数时的表达式不互为倒数时, 必须作恒等变换凑必须作恒等变换凑(2)与与(1)互为互为 倒数倒数.缺一不可缺一不可例例42lim(1) ;xxx 221= lim(1)2xxx 2e 解解2 lim(1)xxx ( 2)21 = lim(1)2xxx 1 lim(1) .2xxx 1lim(1)2xxx 解解例例52 21lim(1)2xxx 2211lim(1)lim(1)22xxxexx 1110lim(1) (1)1xxxxxe e 21200lim(1)lim1xxxxxxe 解法一解法一120lim(1)xxx 解法二解法二原式原式原式原式()lim1( )g xmf xe lim(

19、)0,lim ( )lim( ) ( ),f xg xf x g xm 若若且且则则型非常适用的结论型非常适用的结论:为使计算简化为使计算简化, 我们给出我们给出(不证明不证明)上面公式的一个对上面公式的一个对“1”22 csclim(1)xxx 221()2sin0lim(1)xxxxxe解解原式原式3121lim()23xxxx 解解314= lim(1)23xxx 例例63121lim()23xxxx 4124lim() (31)lim62323xxxxxx 31621lim()23xxxex 例例7 求求.)cos(sinlim11xxxx解解 原式原式 =2)cos(sinlim21

20、1xxxx2)sin1 (lim2xxxelimx)sin1(2xxx22sinx2sin1011. limxxex 1000111limlimlim1ln(1)lnln(1)xxtttetxtet 解解1ln(1)xetxt 令令12. ()lim() , ().tttf xf xxtx 已已知知 求求解解11()lim()lim(1)tttttxf xxtxxtx lim ()lim()ttxxttxtxtx 其其中中1 ( )xf xex 例例7连续复利问题连续复利问题设有一笔初始本金设有一笔初始本金A0 存入银行存入银行, 年利率为年利率为r, 则一年末结则一年末结算算时时, 其本利和

21、为其本利和为100AArA 0(1)Ar 200(1)(1)22 2rrrAAA 20(1)2rA 如果一年分两期计息如果一年分两期计息, 每期利率为每期利率为1,2r为后一期的本金为后一期的本金, 则一年末本利和为则一年末本利和为且前一期的本利和作且前一期的本利和作如果一年分如果一年分n期计息期计息, 每期利率为每期利率为,rn后一期的本金后一期的本金, 则一年末利和为则一年末利和为且前一期的本利和作为且前一期的本利和作为0(1)nnrAAn 令令 , 则表示利息随时计入本金则表示利息随时计入本金. 这样这样 t 年末的本利和为年末的本利和为n 0lim(1) nrtrnrAn ( )lim

22、( )nnA tAt 0lim(1)ntnrAn 0rtA e 于是到于是到t年末共结算年末共结算nt 期期(每期利率为每期利率为 ) , 其本利和为其本利和为rn0( )(1)ntnrAtAn (1) 已知现值已知现值A, 求终值求终值At ,有复利公式有复利公式 0rttAA e (2) 已知终值已知终值At , 求现值求现值A0 ,有贴现公式有贴现公式(这是利率称为贴现率这是利率称为贴现率)0rttAA e 则有如下结论则有如下结论:一般地一般地, 设设A0为初始本金为初始本金(称为现在值或现值称为现在值或现值), 年利率为年利率为r, 按连续复利计算按连续复利计算, t年末的本利和记为

23、年末的本利和记为A, (称为未来值或终值称为未来值或终值),这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利;当一年内计息期数当一年内计息期数 时的复利成为连续复利时的复利成为连续复利.n 102. lim(12 )xxxx 2001lim 2()lim(22)2xxxxxx 解解120 lim(12 )xxxxe 3101tan3. lim()1sinxxxx 3311001tantansin lim()lim(1)1sin1sinxxxxxxxxx 因因为为3200tansin1sin1cos11limlim1sincos (1sin)2xxxxxxxxxxxx 解解1201tan lim()1sinxxex 214. lim (cos).xxx 2222222111lim(cos)lim(cos)lim(1sin)xxxxxxxxx 2211 lim( sin) 22xxx 而而2121lim(cos)xxex 则则 解解5. 知知220001001lim(),5xcxxex 求求 c.c.220001001lim()5xxx