湖南大学流体力学第八章

1、工程流体力学工程流体力学2015. 9第八章第八章 不可压缩流体的无粘流动不可压缩流体的无粘流动8.1速度环量速度环量8.2流函数与速度势流函数与速度势8.3基本平面势流基本平面势流8.4基本平面势流的简单叠加基本平面势流的简单叠加8.5平行流绕流圆柱体的流动平行流绕流圆柱体的流动 自然界出现的流体运动绝大自然界出现的流体运动绝大多数都是有旋运动，它们有时很多数都是有旋运动，它们有时很容易观察到，如当河水流过桥墩容易观察到，如当河水流过桥墩和划船用浆击水时，在桥墩和浆和划船用浆击水时，在桥墩和浆的后面总要形成涡旋，船只行驶的后面总要形成涡旋，船只行驶时船尾部也同样随着涡旋区。还时船尾部也同样随

2、着涡旋区。还有大气中的台风和龙卷风也是涡有大气中的台风和龙卷风也是涡旋运动。旋运动。 自然界中自然界中流体的涡旋运动流体的涡旋运动热带气旋热带气旋台风来了！台风来了！卡门涡街卡门涡街澡盆涡澡盆涡卡门涡街造成美国著名的塔科马卡门涡街造成美国著名的塔科马海峡大桥于海峡大桥于1940年年11月月7日在日在8级级大风中崩塌。大风中崩塌。水龙卷水龙卷陆龙卷陆龙卷2010年年5月黑龙江发生的龙卷风月黑龙江发生的龙卷风 实际上，涡旋的产生、变化对流体运动有重要影响。实际上，涡旋的产生、变化对流体运动有重要影响。（1）气旋的形成与变化常决定了气象条件的变化；）气旋的形成与变化常决定了气象条件的变化；（2）飞机

3、与船只在流体中运动时，涡旋运动要耗散能）飞机与船只在流体中运动时，涡旋运动要耗散能量、产生阻力；量、产生阻力；（3）飞机的翼型及升力也与涡旋有关；）飞机的翼型及升力也与涡旋有关；（4）水利建设中也常人为地制造涡旋以消耗水流的动）水利建设中也常人为地制造涡旋以消耗水流的动能，从而保护坝基。能，从而保护坝基。 因此在流体力学中，涡旋运动的基本理论占有很因此在流体力学中，涡旋运动的基本理论占有很重要的地位。重要的地位。试验还发现分散成若干多股水体比一整股水体时的流试验还发现分散成若干多股水体比一整股水体时的流态的稳定性好、消能率高。态的稳定性好、消能率高。 此种型式的消能方式是否存在立轴漩涡？从表此

4、种型式的消能方式是否存在立轴漩涡？从表孔下泄的高速水流，在各股水体的间隔处，必孔下泄的高速水流，在各股水体的间隔处，必将产生剪切涡。目前水利专家正在研究的两个将产生剪切涡。目前水利专家正在研究的两个问题：问题： (1)剪切涡是否会发展成为剪切涡是否会发展成为立轴漩涡立轴漩涡； (2)若形成立轴漩涡，立轴漩涡是否会若形成立轴漩涡，立轴漩涡是否会延伸到消延伸到消力池底板力池底板。8.1速度环量速度环量 、速度环量、速度环量 如图，求微元线段如图，求微元线段 与与速度速度 在方向在方向 上的分上的分 量的乘积沿量的乘积沿AB曲线的积分：曲线的积分： 若若A与与B重合重合, 便成了封闭周线便成了封闭周

5、线.速度在封闭周线切线上的分量沿速度在封闭周线切线上的分量沿该封闭周线该封闭周线K的线积分称为速度环量的线积分称为速度环量, 表示为：表示为： BABAABdsVsdV cosVkdzjdyidxsd , kwj viuV BABAAB)wdzvdyudx(sdV 速度环量的正向规定为速度环量的正向规定为:沿封闭周线前进时沿封闭周线前进时,周线周线所包围的面积在速度方向的左侧。因此，逆时针方向的所包围的面积在速度方向的左侧。因此，逆时针方向的速度环量为正速度环量为正. 二、斯托克斯定理（二、斯托克斯定理（Stokes Law） 当封闭周线内有涡束时，则当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环

6、沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的漩涡强度之和量等于该封闭周线内所有涡束的漩涡强度之和。这就是。这就是斯托克斯定理。用公式表示为：斯托克斯定理。用公式表示为： 或：或： kkwdzvdyudxsdV)(I dA2sdVVn 1.微元封闭周线的斯托克斯定理微元封闭周线的斯托克斯定理 在在oxy平面上取一微元平面上取一微元 矩形封闭周线矩形封闭周线, 面积面积 dA=dxdy, 流体在流体在A, B， C, D四点速度如图所示。四点速度如图所示。 这样，沿封闭周线这样，沿封闭周线ABCDA的速度环量为：的速度环量为： 可见，沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所可见，沿微元封闭周线的速度

7、环量等于该周线所包围的面积内的漩涡强度，这就证明了微元封闭包围的面积内的漩涡强度，这就证明了微元封闭周线的斯托克斯定理。周线的斯托克斯定理。dIdA2dxdy)yu-xv( dyv)dyyvv(21dx)dyyuu()dyyudxxuu(21 -dy)dyyvdxxvv()dxxvv(21dx)dxxuu(u21 dyvv21dxuu21dyvv21dxuu21dzADDCCBBA 可见，沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所包围的可见，沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所包围的面积内的漩涡强度，即斯托克斯定理。面积内的漩涡强度，即斯托克斯定理。 2单连通域与多连通域单连通域与多连通域 要保证流

8、场中的要保证流场中的u，v，w，和，和p等都是等都是x，y，z，t的单值连续函的单值连续函数，对流场所在区域要有限制条件：数，对流场所在区域要有限制条件：区域内任一条封闭周线连续区域内任一条封闭周线连续地收缩成一点而不越出流体的边界。地收缩成一点而不越出流体的边界。这种区域称为单连通区域，这种区域称为单连通区域，否则称多连通区域。否则称多连通区域。 将外周线将外周线K1, 内周线内周线K2用用AB, AB连接连接,将原区域用封闭周将原区域用封闭周 线线ABK2BAK1A所包围所包围, 则则 该区域即成为单连通区域。该区域即成为单连通区域。 3.有限单连通区域的斯托克斯定理有限单连通区域的斯托克

9、斯定理 对任一微元矩形可求得速度环量对任一微元矩形可求得速度环量 di=dIi，则总速度环量：，则总速度环量： 另一方面，总速度环量中沿各微另一方面，总速度环量中沿各微 元矩形内周线的相邻切向速度线元矩形内周线的相邻切向速度线 积分方向相反，刚好抵消，仅剩积分方向相反，刚好抵消，仅剩 下沿外封闭周线下沿外封闭周线K的切向速度线的切向速度线 积分，即：积分，即： 总速度环量：总速度环量： 即沿有限单连通域即沿有限单连通域K封闭周线的速度环量等于通过该区域漩涡强度封闭周线的速度环量等于通过该区域漩涡强度的总和的总和,这就是有限单连通区域的斯托克斯定理。这就是有限单连通区域的斯托克斯定理。dAdId

10、Anii 2 KsdV dA2sdVAnK 4.多连通区域的斯托克定理多连通区域的斯托克定理 对右图中由多连通区域对右图中由多连通区域 改成的单连通区域，速改成的单连通区域，速 度环量可写成：度环量可写成： 由由Stokes定理：定理： 假如外周线内有多个内周线，则多连通区域的假如外周线内有多个内周线，则多连通区域的Stokes定理成为：定理成为：AKAABBBKABAKABABK1212 1122 KAKAKBBK 2112KKAKABABK dA2n2k1k dA2n2k1k Stokes定理说明，速度环量取决于所包围区域内的漩涡。没有定理说明，速度环量取决于所包围区域内的漩涡。没有旋涡，

11、就没有环量。反过来，环量等于零，总漩涡强度等于零，旋涡，就没有环量。反过来，环量等于零，总漩涡强度等于零，环量不等于零，必然存在漩涡。环量不等于零，必然存在漩涡。 例例1：试证明平行流的速度环量等于零。：试证明平行流的速度环量等于零。 流体以等速度流体以等速度u0沿水平沿水平 方向流动，求沿矩形封方向流动，求沿矩形封 闭周线的速度环量：闭周线的速度环量： 同样可证，沿其它周线的速度环量也等于零。同样可证，沿其它周线的速度环量也等于零。dA2n2k1k 00bu0buoo413423121234 例例2：求有间断面的平行流中的速度环量。：求有间断面的平行流中的速度环量。 如图，包有间断面的两股平

12、行流中矩形封闭周线如图，包有间断面的两股平行流中矩形封闭周线的速度环量：的速度环量： 有间断面的平行流有间断面的平行流 中速度环量不等于零。中速度环量不等于零。 在实际流体中在实际流体中, 由于粘由于粘 滞力的作用滞力的作用, 使分界面使分界面 上下形成速度梯度上下形成速度梯度, 即即 所以有漩涡存在。所以有漩涡存在。, 0yu , 021)yuxv(z 三三.汤姆生定理（汤姆生定理（Thomsons Law） 汤姆生定理：正压性的理想流体在有势的质量力的作用下沿任汤姆生定理：正压性的理想流体在有势的质量力的作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化。何由流体质点组成的封闭周线

13、的速度环量不随时间变化。 1.证明证明：沿封闭周线的速度环量：沿封闭周线的速度环量： 速度环量随时间的变化率：速度环量随时间的变化率： )wdzvdyudx(sdV (a) )()()()()( dzDtDwdyDtDvdxDtDudzDtDwdyDtDvdxDtDuwdzvdyudxDtDDtDVdDtsDd)sd(DtD )sd(DsdDtVDt)VdV(sd 即即dw)dz(DtD , dv)dy(DtD , du)dx(DtD 2222()( ()()()()2222uduvdvwdwuvwVdddd 理想流体欧拉运动微分方程：理想流体欧拉运动微分方程： 代入（代入（a）式右边第二项得

14、：）式右边第二项得： (a)式成为式成为. xp1fDtDux )()(1()1()1()1()( FzyxzyxdPddzzpdyypdxxpdzfdyfdxfdzzpfdyypfdxxpfdzDtDwdyDtDvdxDtDu 0)P2V( .ddPd)2V(dDtDF2F2 2.讨论讨论 在理想流体中速度环量和漩涡都不能自行产生，自在理想流体中速度环量和漩涡都不能自行产生，自行消灭。流场中原来有涡的，则永远有涡，原来没有涡行消灭。流场中原来有涡的，则永远有涡，原来没有涡的，就永远没有。的，就永远没有。 四、海姆霍兹定理（四、海姆霍兹定理（Helmholezs Law） 海姆霍兹的三个漩涡定

15、理是研究理想流体有旋流动海姆霍兹的三个漩涡定理是研究理想流体有旋流动的基本定理，它说明了漩涡的基本性质。（通过环量证的基本定理，它说明了漩涡的基本性质。（通过环量证明明Stokes定理）。定理）。 1海姆霍兹第一定理：海姆霍兹第一定理： 在同一瞬间涡管各截面上的漩涡强度都相同。在同一瞬间涡管各截面上的漩涡强度都相同。 证明：证明： 即沿包围涡管任一封闭即沿包围涡管任一封闭 周线的速度环量都相等。周线的速度环量都相等。 也就是在涡管各截面上也就是在涡管各截面上 的漩涡强度都相等。即的漩涡强度都相等。即 可见可见,涡管在流体中既不涡管在流体中既不 能开始能开始,也不能终止也不能终止,只能只能 是自

16、成封闭的管圈是自成封闭的管圈,或在或在 边界上开始边界上开始,终止终止,如图示。如图示。常常数数 AndA2 0AABBAAABBBABAABAB 2. 海姆霍兹第二定理海姆霍兹第二定理:(涡管守恒定理）涡管守恒定理） 正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。远保持为由相同流体质点组成的涡管。 证明：证明： 在涡管表面上取封闭周线在涡管表面上取封闭周线 K 沿周线沿周线K的速的速 度环量等于零度环量等于零 速度环量不随时间变化速度环量不随时间变化, 沿沿 周线周线K的速度环量永远是零。的速度环量永远是零。 涡管永

17、远保持为由相涡管永远保持为由相 同质点组成的涡管。同质点组成的涡管。STOKESTHOMSON 3海姆霍兹第三定理：海姆霍兹第三定理： 在有势的质量力的作用下，正压性的理想流在有势的质量力的作用下，正压性的理想流体中任何涡管的漩涡强度不随时间变化，保持定体中任何涡管的漩涡强度不随时间变化，保持定值。值。 证明：证明： 根据汤姆生定理，沿封闭周线的速度环量不随时根据汤姆生定理，沿封闭周线的速度环量不随时间变化，该环量等于涡管的漩涡强度，所以涡管间变化，该环量等于涡管的漩涡强度，所以涡管的漩涡强度也不随时间变化。的漩涡强度也不随时间变化。8.2,速度势与流函数速度势与流函数 一一.有势流动有势流动

18、 对无旋流动，满足：对无旋流动，满足： 若令：若令： 得：得： 则则 yuxv , xwzu , zvyw dx dy dzdudxvdyw dzxyz z w, yv , xu , , 22zvywzyzvzyyw 同理，可得同理，可得 按矢量分析：按矢量分析： 无旋流动必可表示成某一函数无旋流动必可表示成某一函数 的梯度。函数的梯度。函数就称为速度势函数，所以无旋流动也称为有势流就称为速度势函数，所以无旋流动也称为有势流动。动。 二、速度势的特点二、速度势的特点 在有势流动中沿曲线的切向速度线积分在有势流动中沿曲线的切向速度线积分等于终点和起点的速度势之差，与曲线形状等于终点和起点的速度势

19、之差，与曲线形状无关。无关。 yu xv , xwzu yVui vjwkijk xz 证：证： 在有势流动中，沿任一封闭周线的速度在有势流动中，沿任一封闭周线的速度环量等于零。环量等于零。 证：证： BAABBABAABd )dzzdyydxx( )wdzvdyudx( 0 d )wdzvdyudx(KK 不可压缩流体的有势流动，速度势满足拉普拉斯方程。不可压缩流体的有势流动，速度势满足拉普拉斯方程。 证：证： 不可压缩流体的连续性方程：不可压缩流体的连续性方程： 将将 代入得代入得 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，速度势函数满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，速度势函数 是一个调和函数

20、。是一个调和函数。 求解不可压缩流体有势流动求解不可压缩流体有势流动,归结为根据起始条件和归结为根据起始条件和边界条件求解边界条件求解Laplace方程得到速度势进而求得速度场方程得到速度势进而求得速度场,再根据伯努里方程求得压力分布。再根据伯努里方程求得压力分布。0 zw yv xu z w,y v ,xu 0 z y x2222222 三、流函数三、流函数 1流函数的导出流函数的导出 由不可压缩流体的连续性方程得：由不可压缩流体的连续性方程得： 平面流动的流线微分方程：平面流动的流线微分方程： 得得 令全微分令全微分 即函数即函数永远满足连续性方程。永远满足连续性方程。 , dxdyuv

21、0vdxudy udyvdxdyydxxd xv yu yvxu yxyv -yxxu22 在流线上在流线上d=-vdx+udy=0，即，即=常数。所以函常数。所以函数数(x,y)称为流函数。称为流函数。 2流函数的物理意义流函数的物理意义 流函数的物理意义：平面流动中两条流线间通过流函数的物理意义：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。的流体流量等于两条流线上的流函数之差。 证明：如图证明：如图,通过通过AB上流函上流函 数为数为1的流线和流函数为的流线和流函数为 2的流线间的体积流量为：的流线间的体积流量为：21 cos( , )cos(, )()() BBAABB

22、AABAqV dluV xvV y dldydxuvdludy vdxdldld 3讨论讨论 （1）只要是不可压缩流体的平面运动，就存在）只要是不可压缩流体的平面运动，就存在流函数，而不论其是理想流体，还是粘性流体，流函数，而不论其是理想流体，还是粘性流体，是无旋流动还是有旋流动。是无旋流动还是有旋流动。 （2）不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足）不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。拉普拉斯方程，也是调和函数。 证明：证明： 无旋无旋 z=0, 0yuxv 代代入入上上式式得得 ,xvyu 022222yx （3）等势线簇和流线簇构成流网。）等势线簇和流线簇构成流

23、网。 即即 满足上式，等势满足上式，等势 线簇和流线簇互相线簇和流线簇互相 正交，构成正交网正交，构成正交网 络，简称流网络，简称流网 （如图）（如图）xxy y 例例 90 90角域流的速度势和流函数角域流的速度势和流函数 已知已知: 90: 90角域流的速度分布式为：角域流的速度分布式为：u u= =kx,vkx,v=-=-k ky y（k k为常数）。为常数）。 求：（求：（1 1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图； （2 2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；）判断该流场是否存在流

24、函数。若存在请确定其形式并画流线图； 解：解：（1 1）先计算速度旋度）先计算速度旋度 上式中上式中C C为常数。速度势函数为为常数。速度势函数为 0vuxy说明流场是无旋的，存在速度势说明流场是无旋的，存在速度势( (x x, , y y) )，212ukx,kxf( y)x 212f ( y) vky, f( y)kyCy 2212k(xy ) C(a)等势线方程为等势线方程为x x2 2- -y y2 2= =常数，在常数，在xyxy平面上是分别以第一、三象限角平分线和平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图中的实线所示。第二、四象限角平分线为渐近

25、线的双曲线族，如图中的实线所示。 （2 2）再计算速度散度）再计算速度散度 0uvkkxy v说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数( (x,yx,y) )，ukx,kxyg(x)y0kyg( x)vky,g( x), g( x)Cx 上式中上式中C C为常数，流函数为为常数，流函数为 流线方程为流线方程为xyxy= =常数，在常数，在xyxy平面上是分别以平面上是分别以x x, ,y y轴为渐近线的双曲线族，如轴为渐近线的双曲线族，如图中的虚线所示。图中的虚线所示。x x, ,y y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正轴也是流线，称其为零流线

26、。流线族与等势线族正交。交。 kxy C(b)已知已知: 90: 90角域流的速度分布式为：角域流的速度分布式为：u u= =kx,vkx,v=-=-k ky y（k k为常数）。为常数）。 2212k(xy ) C(a)8.3基本平面势流基本平面势流 一、平行流一、平行流 设流体作等速直线流动。设流体作等速直线流动。 积分得速度势：积分得速度势： (a) 又又 , 00vvuu 00 ,vvyuux dyvdxudyydxxd00 yvxu00 0 0 vvxuuy 积分得流函数积分得流函数 (b) 显然（显然（a）,(b)两式满足两式满足Laplace方程，而且等势线方程，而且等势线 与流

27、线与流线 互相垂直。互相垂直。 二、点源与点汇二、点源与点汇 1.点源与点汇定义点源与点汇定义 设在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方设在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。如图流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。如图(a)。 若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点，如图为点汇，这个点称为汇点，如图(b)。yuxv00 )(00cyvxu )(00cyuxv 在这些流动中，从源点流出和向汇点流入都只有径向速在这些流动中，从源点流出和向汇点流入都只有径向速度。

28、将极坐标的原点作为源点（或汇点），则：度。将极坐标的原点作为源点（或汇点），则： 即即 2势函数势函数 每秒通过半径为的单位长度圆柱面的流量为：每秒通过半径为的单位长度圆柱面的流量为： 得得 点源点源 点汇点汇 0rvvrrvrdd rQvr 2 0v 0r Q0v 0r Q 积分得：积分得： 源点（汇点）为奇点。源点（汇点）为奇点。 3流函数流函数 积分得：积分得： 等势线是半径不同的同心圆，与流线正交。等势线是半径不同的同心圆，与流线正交。 同样可证明同样可证明和和都满足都满足Laplace方程，点源和方程，点源和点汇确是无旋流动。点汇确是无旋流动。rQvr 2 22ln =ln22QQr

29、xyyxxyyuxvddddd yyxQxxyxQyd)(2d)(22222 2tan2dd2122QcxyQyxxyyxQ 4压力分布压力分布 平面平面oxy是无限水平面，根据伯努里方程：是无限水平面，根据伯努里方程： 将将 表达式代入上式，得：表达式代入上式，得： 可见可见: 图中表示图中表示 时时, 点汇沿半径点汇沿半径 r的压力分的压力分布。布。 pgvpr22rv2221 8rgQpp 0 ,8 ; 21220 pgpQrrpr时时 rr0 三、涡流和点涡三、涡流和点涡 1涡束与涡流涡束与涡流 涡束象刚体一样以等角速度绕自身（涡束象刚体一样以等角速度绕自身（Z轴）旋转，轴）旋转，由涡

30、束诱导出的平面流由涡束诱导出的平面流, 称为涡流称为涡流. 如图如图,它是以它是以坐标原点为圆心的同心圆。坐标原点为圆心的同心圆。 按按Stokes定理定理, 沿圆周流线沿圆周流线 的速度环量等于涡束的漩的速度环量等于涡束的漩 涡强度（涡强度（I），即），即: 可见：可见： 常常数数 Irv 2)( ) ( 20势势流流旋旋转转区区rrrv 在涡束内在涡束内 2势流旋转区的压力分布势流旋转区的压力分布 伯努里方程：伯努里方程： 在涡束边缘在涡束边缘 由此解得涡核半径由此解得涡核半径 pgvp2222221 82rgpgvpp 2020220211 8vprgpp 02201 8ppgr 3涡核

31、区的压力分布涡核区的压力分布 平面定常流动的平面定常流动的Enlar运动方程：运动方程： 涡内速度涡内速度 代入代入, 再分别乘再分别乘 并相加得并相加得 即即 积分得：积分得： yypxxpyyxxdd)dd( 12xpyuvxuu 1ypyvvxvu 1xvyu ,yx d,dpyxd)(d 12222 cvcrp 22222 4压力分布图压力分布图 涡核中心的压力：涡核中心的压力： 涡核边缘的压力：涡核边缘的压力：202202020020000021 2121: , , ,B.C.vvppvpvvpvpcvvpprr 解解得得代代入入20vppc 20021vpp 故故 可见，涡核内、外

32、压降相等，都等于以涡核可见，涡核内、外压降相等，都等于以涡核边缘的速度计算的动压头。如图所示。边缘的速度计算的动压头。如图所示。20002121vppppppcc )( 5点涡点涡 成为一条涡线，这样的涡流称为点涡。成为一条涡线，这样的涡流称为点涡。 涡点是一奇点。涡点是一奇点。 (1) 速度势速度势 积分得速度势积分得速度势,00r, vr00rrvrvr 21 0 d2dddrrxy1tan22 （2）流函数）流函数 积分得流函数积分得流函数 环流逆时针环流逆时针, 环流顺时针环流顺时针.222yxxyx 222yxyxy 222222d212)( 2)(d2dddrryxyxyyxx r

33、ln2 0 0 8.4 基本平面势流的简单迭加基本平面势流的简单迭加 一、无旋流动的特性一、无旋流动的特性 无旋流动有一重要特性：几个无旋流动迭加无旋流动有一重要特性：几个无旋流动迭加后仍然是无旋流动。后仍然是无旋流动。 证：证： 设：设： 则则 同样：同样： ) ,Laplace,Laplace,(321321方方程程是是线线性性的的且且方方程程满满足足 3222122 3222122 求求 对对x的偏导数的偏导数 此即速度在此即速度在 x 方向的分量：方向的分量： 同样，求对同样，求对y的偏导数得：的偏导数得： 即即 可见，无旋流动的速度势及流函数的代数和可见，无旋流动的速度势及流函数的代

34、数和等于新的无旋流动的速度势和流函数，它的速度等于新的无旋流动的速度势和流函数，它的速度是这些无旋流动速度的矢量和。是这些无旋流动速度的矢量和。 xxxx321 321uuuu 321vvvv 二、点汇和点涡二、点汇和点涡螺旋流螺旋流 在旋风燃烧室、离心式喷油嘴和离心式除在旋风燃烧室、离心式喷油嘴和离心式除 尘器等设备中尘器等设备中, 流体自外沿流体自外沿 圆周切向进入圆周切向进入, 又从中央不又从中央不 断流出。这样的流动可认为断流出。这样的流动可认为 是点汇和点涡的迭加。设环是点汇和点涡的迭加。设环 流方向为逆时针方向流方向为逆时针方向,则迭加则迭加 后新的组合流动的速度势为：后新的组合流

35、动的速度势为： 流函数流函数)ln(212ln221 rQrQ)ln(21ln2221rQrQ 令令 =常数，常数， 得等势线得等势线 =常数，得流线常数，得流线 这是两组相互正交的对数螺旋线簇，如图，这是两组相互正交的对数螺旋线簇，如图，称为螺旋流。称为螺旋流。 切向速度：切向速度： 径向速度：径向速度： 代入伯努里方程，得流场中的压力分布代入伯努里方程，得流场中的压力分布 Qecr 1 Qecr2rrv 21 rQrvr 2 22212222111)(8rrQgpp 水泵、风机等外壳中的水泵、风机等外壳中的 流动是点源和点涡迭加流动是点源和点涡迭加 的例子，如图。的例子，如图。 三、点源和

36、点汇三、点源和点汇 偶极流偶极流 1.点源与点汇点源与点汇 将位于将位于A(-a, 0)的点源的点源 和位于和位于B(a, 0)的点汇迭的点汇迭 加加, 迭加后速度势为迭加后速度势为: BBAArQrQln2ln2 如图如图 若若 流函数流函数 式中式中 为动点为动点P与源点与源点A和汇和汇 点点B的连接线的连接线 之间的夹角。之间的夹角。 由流线方程，由流线方程， 得得, 即流线是经过即流线是经过源源 点点A和汇点和汇点B的圆线的圆线簇。簇。2222)(,)(axyPBraxyPArBA QQQBA 2222)()(ln4ln2)ln(ln2axyaxyQrrQrrQBABA PBAQQ 2

37、)(2 P CP 2偶极流偶极流 点源和点汇无限接近，即，点源和点汇无限接近，即， 就是偶极流。就是偶极流。 使使 (有限常量有限常量)，M为偶极矩。为偶极矩。 偶极流的速度势：偶极流的速度势： 如图如图, 0a, Qa0MaQ2 BbABArrrQrrQ122lnln BABABA, rrr ,MaQQ,a,arr202cos2时2a02a0BQQ22222cos2coslimln1lim22rcos 222AABaaQQrMrMxMxrrxy 22222212122222202222102222-111144 44 2 22lim2tan2lim, 022tan21tan2 )tan(ta

38、n2 cMycMxcMcMyxyxyMayxayQayxayQQaayxayQaxyaxyaxyaxyQaxyaxyQQaQa 得等势线得等势线常数常数得流线得流线常数常数令令时时 即流线是半径为，即流线是半径为， 圆心为圆心为 且与且与x轴在原点相切的轴在原点相切的 圆周簇，如图中实线。圆周簇，如图中实线。 等势线是半径为，等势线是半径为， 圆心为圆心为 且与且与y轴在原点相切轴在原点相切 的圆周簇，如图中虚线。的圆周簇，如图中虚线。14cM 14 , 0cM 24 cM 0,42 cM 8.5平行流绕圆柱体的流动平行流绕圆柱体的流动一一.平行流绕圆柱体无环量的流动平行流绕圆柱体无环量的流动

39、1.平行流和偶极流迭加而成的组合平面流动平行流和偶极流迭加而成的组合平面流动 流函数流函数 流线方程流线方程 零流线方程：零流线方程： 即即 2222211212yxVMyVyxyMyV ,c cyxyMyV 2220 c012122 yxVMyV VMyxy2 022 所以所以, 零流线是一个零流线是一个 以坐标原点为圆心以坐标原点为圆心,半径半径 的圆周的圆周 和和x轴所构成的图形。这轴所构成的图形。这 流线到流线到A处分成两股处分成两股,沿上、沿上、 下两个半圆周流到下两个半圆周流到B点，点， 又重新汇合，如图。又重新汇合，如图。 2、平行流绕圆柱体无环流的平面流动、平行流绕圆柱体无环流

40、的平面流动 一个平行流绕半径为一个平行流绕半径为 的圆柱体的平面流动，的圆柱体的平面流动，可以用这个平行流与偶极矩可以用这个平行流与偶极矩 的偶极流迭的偶极流迭加面成的组合流动代替。加面成的组合流动代替。 VMr200r202rVM 流函数：流函数： 速度势：速度势： 3、绕流的速度分布、绕流的速度分布 流场中任一点的速度分量流场中任一点的速度分量 沿包围圆柱体圆形周线的速度环量：沿包围圆柱体圆形周线的速度环量： 平行流绕圆柱体的平面流动没有速度环量。平行流绕圆柱体的平面流动没有速度环量。02202220 sin11rrrrrVyxryV 022022 cos12rrrrrVyxxMxV si

41、ncos220220111rrVrvrrVrvr0dsin1d220 rrrVsv 在圆柱面上速度按正在圆柱面上速度按正 弦曲线分布，如图。弦曲线分布，如图。 在在0和和180(A点点)处，处， , 称为驻称为驻点。在点。在90，270处，处， 达到最大值达到最大值 4、绕流的压力分布、绕流的压力分布 圆柱面上任一点的压力，由伯努里方程：圆柱面上任一点的压力，由伯努里方程： sin v 0 v )( rVrr20在圆柱面上0vv Vv2max)sin41(21 22 2222 Vppgvpgvp即即 工程上常用无因次的压力系数表示作用在物体任工程上常用无因次的压力系数表示作用在物体任一点的压力

42、，定义为：一点的压力，定义为： 对绕流圆柱体：对绕流圆柱体： 根据上式计算根据上式计算 出的理论无因出的理论无因 次压力系数曲次压力系数曲 线如图中实线线如图中实线 所示所示. 注意此时注意此时 角是从前驻角是从前驻 点沿顺时针点沿顺时针 方向增加。方向增加。221 VppCp 前驻点前驻点 (0)： ( 90): 后驻点（后驻点（180）：与点相同。）：与点相同。 可见，圆柱体所可见，圆柱体所 受流体压力上下受流体压力上下 左右都对称。因左右都对称。因 此，作用在圆柱此，作用在圆柱 面上的压力在各面上的压力在各 个方向上都互相个方向上都互相 平衡，合力等于平衡，合力等于 零。零。2max21

43、 , 1 , 0 VpppCvAp 2min0max23 , 3 ,2 VpppCVvvp 5、达朗伯疑题、达朗伯疑题 理想流体绕流圆柱体，理想流体绕流圆柱体， 作用在圆柱面上的合力作用在圆柱面上的合力 为零可用分析方法证明。为零可用分析方法证明。 如图，在单位柱长圆柱如图，在单位柱长圆柱 体上，作用在微元弧段体上，作用在微元弧段 的微小总压力的微小总压力 ，则，则 沿沿x向向y向的分量为：向的分量为： dd0rs ddF0pr Fd dsin-ddcosd00prFprFyx )sin41(2122 Vpp 流体作用在圆柱体上总压力沿流体作用在圆柱体上总压力沿x向和向和y向的分量：向的分量：

44、 即作用在圆柱体上的压力合力为零。圆柱体受即作用在圆柱体上的压力合力为零。圆柱体受到的与来流方向平行和垂直的力，又称为流体作到的与来流方向平行和垂直的力，又称为流体作用在圆柱体上的阻力和升力。所以当理想流体的用在圆柱体上的阻力和升力。所以当理想流体的平行流无环流地绕流圆柱体时，没有作用在圆柱平行流无环流地绕流圆柱体时，没有作用在圆柱体上的阻力和升力。这个结果与实验有很大的矛体上的阻力和升力。这个结果与实验有很大的矛盾，这就是著名的盾，这就是著名的达朗伯疑题达朗伯疑题。 其原因在于实际流体都是有粘性的。理想流体不其原因在于实际流体都是有粘性的。理想流体不考虑粘性，已不能适用于分析流动阻力这种流体考虑粘性，已不能适用于分析流动阻力这种流体粘性起作用的场合。